北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细标准答案.docx
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北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细标准答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案
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北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明
一．选择题（共12小题）
1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．
3
B．
4
C．
6
D．
5
2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？
（ ）
A．
24
B．
30
C．
32
D．
36
3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足
+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．
7或8
B．
6或1O
C．
6或7
D．
7或10
4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．
2.5
B．
C．
D．
2
5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．
18cm
B．
22cm
C．
24cm
D．
26cm
6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（ ）
A．
10cm
B．
8cm
C．
5cm
D．
2.5cm
7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A．
2
B．
C．
D．
8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：
∠CAE=3：
1，则∠C等于（ ）
A．
28°
B．
25°
C．
22.5°
D．
20°
9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（ ）
A．
88°或2°
B．
4°或86°
C．
88°或4°
D．
4°或46°
10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A．
3
B．
3.5
C．
2.5
D．
2.8
11．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（ ）
A．
1
B．
2
C．
D．
12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（ ）
A．
20°
B．
25°
C．
30°
D．
40°
二．填空题（共6小题）
13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 _________ ．
14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 _________ ．
15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE= _________ ．
16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：
S△BCO：
S△CAO= _________ ．
17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是 _________ ．
18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________ 度．
三．解答题（共12小题）
19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．
20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：
CE⊥CF．
21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．
22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：
CE=DE．
24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：
EF∥BC；
（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．
25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．
求证：
AD=BE．
26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．
（1）求证：
AE=CF；
（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．
27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．
（1）求证：
EF⊥AD；
（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．
28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．
29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．
30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：
CD=CE．
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．
3
B．
4
C．
6
D．
5
考点：
角平分线的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
解答：
解：
如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴
×4×2+
×AC×2=7，
解得AC=3．
故选：
A．
点评：
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？
（ ）
A．
24
B．
30
C．
32
D．
36
考点：
线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．
解答：
解：
∵直线M为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠CBP．
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，
即3∠ABP+60°+24°=180°，
解得∠ABP=32°．
故选：
C．
点评：
本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．
3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足
+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．
7或8
B．
6或1O
C．
6或7
D．
7或10
考点：
等腰三角形的性质；非负数的性质：
偶次方；非负数的性质：
算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．菁优网版权所有
分析：
先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．
解答：
解：
∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，
∴
，
解得
，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；
综上所述此等腰三角形的周长为7或8．
故选：
A．
点评：
本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．
4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．
2.5
B．
C．
D．
2
考点：
直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解答：
解：
如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=
，CF=3
，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF=
=
=2
，
∵H是AF的中点，
∴CH=
AF=
×2
=
．
故选：
B．
点评：
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．
18cm
B．
22cm
C．
24cm
D．
26cm
考点：
线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解答：
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
∵AE=4cm，
∴AC=2AE=2×4=8cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．
故选B．
点评：
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．
6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（ ）
A．
10cm
B．
8cm
C．
5cm
D．
2.5cm
考点：
线段垂直平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．
解答：
解：
连接AD，
∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，
∴AD=BD=10，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，
∵∠C=90°，
∴AC=
AD=5cm．
故选C．
点评：
本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．
7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A．
2
B．
C．
D．
考点：
角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
解答：
解：
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE=
CP=1，
∴PE=
=
，
∴OP=2PE=2
，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM=
OP=
．
故选：
C．
点评：
此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：
∠CAE=3：
1，则∠C等于（ ）
A．
28°
B．
25°
C．
22.5°
D．
20°
考点：
线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．
解答：
解：
设∠CAE=x，则∠EAB=3x．
∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，
∴AE=CE．
∴∠C=∠CAE=x．
根据三角形的内角和定理，得
∠C+∠BAC=180°﹣∠B，
即x+4x=140°，
x=28°．
则∠C=28°．
故选A．
点评：
此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（ ）
A．
88°或2°
B．
4°或86°
C．
88°或4°
D．
4°或46°
考点：
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．
解答：
解：
88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，
88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，
综上所述，它的顶角是88°或4°．
故选C．
点评：
本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．
10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A．
3
B．
3.5
C．
2.5
D．
2.8
考点：
线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：
解：
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即x2=22+（4﹣x）2，
解得x=2.5，
即CE的长为2.5．
故选：
C．
点评：
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．
11．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（ ）
A．
1
B．
2
C．
D．
考点：
角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
解答：
解：
∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠DBC=∠ACB，
∴BD=CD=4，
在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，
∴AD=
BD=
×4=2，
过点D作DE⊥BC于点E，
则DE=AD=2．
故选B．
点评：
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（ ）
A．
20°
B．
25°
C．
30°
D．
40°
考点：
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．
解答：
解：
∵AC=AE，BC=BD
∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°﹣2x°，
∠B=180°﹣2y°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，
∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．
点评：
根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．
二．填空题（共6小题）
13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 15 ．
考点：
角平分线的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．
解答：
解：
作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD的面积为
×3×10=15．
故答案是：
15．
点评：
此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．
14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 2 ．
考点：
含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．
解答：
解：
∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∵∠F=30°，
∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴直角△DBE中，BE=2DE=2．
故答案是：
2．
点评：
本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．
15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE= 55° ．
考点：
角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．
解答：
解：
过点E作EF⊥BD于点F
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