一元一次方程应用题分类讲评Word文档下载推荐.docx

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追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。

由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有：

3x－1.5x=450 

∴x=300 

在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有：

3y+1.5y=450 

∴y=100

故往返共需的时间为 

x+y=300+100=400（秒）

例2 

汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：

若每小时行驶45km，就可以早到半小时。

求A、B 

两地的距离。

先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”。

在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。

本题中，设A、B两地的路程为xkm，速度为40km/小时，则时间为

小时；

速度为45km/小时，则时间为

小时，又早到与晚到之间相隔1小时，故有

－ 

=1 

∴　x=360

　　例3 

一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2km。

求甲、乙两地之间的距离。

设甲、乙两地之间的距离为xkm，则顺流速度为

km/小时，逆流速度为

km/小时，由航行问题中的重要等量关系有：

－２= 

+2 

∴ 

x=96

　　2.工程问题

工程问题的基本量有：

工作量、工作效率、工作时间。

①工作量=工作效率×

工作时间。

②工作时间=

，③工作效率=

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为

常见的相等关系有两种：

①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。

②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。

在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

例4．加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。

问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为

，乙的工作效率为

，设乙需工作x 

天，则甲再继续加工（12－x）天，乙完成的工作量为

，甲完成的工作量为

，依题意有 

+

=1 

∴x=8

例5．收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。

收割了

后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。

因此比预计时间提前1小时完工。

求这块麦地有多少亩？

设麦地有x亩，即总工作量为x亩，改用新式工具前工作效率为4亩/小时，割完x亩预计时间为

小时，收割

亩工作时间为

/4=

改用新式工具后，工作效率为1.5×

4=6亩/小时，割完剩下

亩时间为

/6=

小时，则实际用的时间为（

）小时，依题意“比预计时间提前1小时完工”有

－（

）=1 

x=36

例6. 

一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。

现在三管齐开，需多少时间注满水池？

由题设可知，甲、乙、丙工作效率分别为

、

、－

（进水管工作效率看作正数，排水管效率则记为负数），设ｘ小时可注满水池，则甲、乙、丙的工作量分别为

，

，由三水管完成整体工作量1，有 

－

＝1 

∴　x=5

　　3．经济问题

与生活、生产实际相关的经济类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。

经济类问题主要体现为三大类：

①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题。

这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。

⑴销售利润问题。

利润问题中有四个基本量：

成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

基本关系式有：

①利润=销售价（收入）－成本（进价）

【成本（进价）=销售价（收入）－利润】；

②利润率=

【利润=成本（进价）×

利润率】。

在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×

折扣率。

打折问题中常以进价不变作相等关系。

⑵优惠（促销）问题。

日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。

这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。

并以求得的数值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。

⑶存贷问题。

存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。

存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。

其关系式有：

①利息=本金×

利率×

期数；

②利息税=利息×

税率；

③本息和（本利）=本金+利息－利息税。

例7.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。

如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？

设销售价每件x 

元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（5×

10+40×

12.5），利润率为12％，利润为（5×

12.5）×

12％。

由关系式①有

（10+40）x－（5×

12.5）=（5×

12％ 

∴x=14.56

例8.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。

问这种商品的定价是多少？

设定价为x元，七五折售价为75％x，利润为－25元，进价则为75％x－（－25）=75％x+25；

九折销售售价为90％x，利润为20元，进价为90％x－20。

由进价一定，有

75％x+25=90％x－20 

x=300

例9. 

李勇同学假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。

整存整取，年利息为2.16％。

取款时扣除20％利息税。

李勇同学共得到本利504.32元。

问半年前李勇同学共存入多少元？

本题中要求的未知数是本金。

设存入的本金为x元，由年利率为2.16％，期数为0.5年，则利息为0.5×

2.16％x，利息税为20％×

0.5×

2.16％x，由存贷问题中关系式③有 

x+0.5×

2.16％x－20％×

2.16％x=504.32 

x=500

例10.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？

购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。

设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为（200+80％x）元，不买卡花费金额为x元，故有

200+80％x=x 

x=1000

当x 

＞1000时，如x=2000 

买卡消费的花费为：

200+80％×

2000=1800（元）

不买卡花费为：

2000（元） 

此时买卡购物合算。

＜1000时，如x=800 

800=840（元）

800（元） 

此时买卡不合算。

4.溶液（混合物）问题

溶液（混合物）问题有四个基本量：

溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。

其关系式为：

①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；

②浓度=

×

100％=

100％【纯度（含量）=

100％】；

③由①②可得到：

溶质=浓度×

溶液=浓度×

（溶质+溶剂）。

在溶液问题中关键量是“溶质”：

“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。

例11.把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，某同学未经考虑先加了300克水。

⑴试通过计算说明该同学加水是否过量？

⑵如果加水不过量，则应加入浓度为20％的酒精多少克？

如果加水过量，则需再加入浓度为95％的酒精多少克？

溶液问题中浓度的变化有稀释（通过加溶剂或浓度低的溶液，将浓度高的溶液的浓度降低）、浓化（通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液，将低浓度溶液的浓度提高）两种情况。

在浓度变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量，并结合有关公式进行分析，就不难找到相等关系，从而列出方程。

本题中，⑴加水前，原溶液1000克，浓度为80％，溶质（纯酒精）为1000×

80％克；

设加x克水后，浓度为60％，此时溶液变为（1000+x）克，则溶质（纯酒精）为（1000+x）×

60％克。

由加水前后溶质未变，有（1000+x）×

60％=1000×

80％

∴x= 

＞300 

∴该同学加水未过量。

⑵设应加入浓度为20％的酒精y克，此时总溶液为（1000+300+y）克，浓度为60％，溶质（纯酒精）为（1000+300+y）×

60％；

原两种溶液的浓度分别为1000×

80％、20％y，由混合前后溶质量不变，有（1000+300+y）×

80％+20％ 

y=50

5.数字问题

数字问题是常见的数学问题。

一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：

任何数=∑（数位上的数字×

位权），如两位数

=10a+b；

三位数

=100a+10b+c。

在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。

例12. 

一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。

求这个数。

设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（x+7），这个三位数则为100（x+7）+10x+3x。

依题意有（x+7）+x+3x=17 

∴x=2

∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926

例13. 

一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。

这个六位数最高位上的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每个数位上的数字被扩大10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。

设除去最高位上数字1后的5位数为x，则原数为10

+x，移动后的数为10x+1，依题意有 

10x+1=10

+x

∴x=42857 

则原数为142857

　　6.调配（分配）与比例问题

调配与比例问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。

调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。

在调配问题中主要考虑“总量不变”；

而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。

例14.甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相等。

问原来每架上各有多少书？

本题难点是正确设未知数，并用含未知数的代数式将另一书架上书的本数表示出来。

在调配问题中，调配后数量相等，即将原来多的一方多出的数量进行平分。

由题设中“从甲书架拿100本书到乙书架，两架书相等”，可知甲书架原有的书比乙书架上原有的书多200本。

故设乙架原有x本书，则甲架原有（x+200）本书。

从乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的书为（x－100）本，甲架书变为（x+200）+100本。

又甲架的书比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 

（x+200）+100=6（x－100）∴x=180 

x+200=380

例15.教室内共有灯管和吊扇总数为13个。

已知每条拉线管3个灯管或2个吊扇，共有这样的拉线5条，求室内灯管有多少个？

这是一道对开关拉线的分配问题。

设灯管有x支，则吊扇有（13－ｘ）个，灯管拉线为

条，吊扇拉线为

条，依题意“共有５条拉线”，有

＝５∴x=9

例16.某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝。

每人每天平均生产螺丝120个或螺母200个，一个螺丝要配两个螺母，应分配多少名工人生产螺丝，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？

产品配套（工人调配）问题，要根据产品的配套关系（比例关系）正确地找到它们间得数量关系，并依此作相等关系列出方程。

本题中，设有x名工人生产螺母，生产螺母的个数为200x个，则有（22－x）人生产螺丝，生产螺丝的个数为120（22－x）个。

由“一个螺丝要配两个螺母”即“螺母的个数是螺丝个数的2倍”，有 

200x=2×

120（22－x）

∴x=12 

22－x=10

例17. 

地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制搅拌而成。

现已将前三种料称好，公5600千克，应加多少千克的水搅拌？

前三种料各称了多少千克？

解决比例问题的一般方法是：

按比例设未知数，并根据题设中的相等关系列出方程进行求解。

本题中，由四种坯料比例25∶2∶1∶6，设四种坯料分别为25x、2x、x、6x千克，由前三种坯料共5600千克，有 

25x+2x+x=5600

∴　x=20025x=5000 

2x=400 

x=200 

6x=1200 

例18. 

苹果若干个分给小朋友，每人m个余14个，每人9个，则最后一人得6个。

问小朋友有几人？

这是一个分配问题。

设小朋友x人，每人分m个苹果余14个，苹果总数为mx+14，每人9个苹果最后一人6个，则苹果总数为9（x－１）+６。

苹果总数不变，有　　　　　　

mx+14＝9（x－１）+６　∴ｘ＝

　∵x、m均为整数∴9－ｍ＝１　ｘ＝１７

例19. 

出口1吨猪肉可以换5吨钢材，7吨猪肉价格与4吨砂糖的价格相等，现有288吨砂糖，把这些砂糖出口，可换回多少吨钢材？

本题可转换成一个比例问题。

由猪肉∶钢材=1∶5，猪肉∶砂糖=7∶4，得猪肉∶钢材∶砂糖=7∶35∶4，设可换回钢材x吨，则有 

x∶288=35∶4 

∴x=2620

7.需设中间（间接）未知数求解的问题

一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。

例20.甲、乙、丙、丁四个数的和是43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4，得到的4个数却相等。

求甲、乙、丙、丁四个数。

本题中要求4个量，在后面可用方程组求解。

若用一元一次方程求解，如果设某个数为未知数，其余的数用未知数表示很麻烦。

这里由甲、乙、丙、丁变化后得到的数相等，故设这个相等的数为x，则甲数为

，乙数为

，丙数为

，丁数为

，由四个数的和是43，有 

=43 

∴x=36

=14 

=12 

=9 

=8

　　例21.某县中学生足球联赛共赛10轮（即每队均需比赛10场），其中胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分。

向明中学足球队在这次联赛中所负场数比平场数少3场，结果公得19分。

向明中学在这次联赛中胜了多少场？

本题中若直接将胜的场次设为未知数，无法用未知数的式子表示出负的场数和平的场数，但设平或负的场数，则可表示出胜的场数。

故设平x场，则负x－3场，胜10－（ｘ+ｘ－３）场，依题意有 

3[10－（x+x－3）]+x=19 

∴x=4 

10－（ｘ+ｘ－３）=5

8.设而不求（设中间参数）的问题

一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。

这时，我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。

这将有利于我们对问题本质的理解。

例22.一艘轮船从重庆到上海要5昼夜，从上海驶向重庆要7昼夜，问从重庆放竹牌到上海要几昼夜？

（竹排的速度为水的流速）

分析：

航行问题要抓住路程、速度、时间三个基本量，一般有两种已知量才能求出第三种未知量。

本题中已知时间量，所求也是时间量，故需在路程和速度两个量中设一个中间参数才能列出方程。

本题中考虑到路程量不变，故设两地路程为a公里，则顺水速度为

，逆水速度为

，设水流速度为x，有

－ｘ＝

+ｘ　∴ｘ＝

，又设竹排从重庆到上海的时间为y昼夜，有 

·

x=a 

∴x=35

例23. 

某校两名教师带若干名学生去旅游，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是：

1名教师全部收费，其余7．5折收费；

乙旅行社的优惠条件是：

全部师生8折优惠。

⑴当学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？

　　⑵若核算结果，甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便宜

，问学生人数是多少？

　　讲评：

在本题中两家旅行社的标价和学生人数都是未知量，又都是列方程时不可少的基本量，但标价不需求解。

⑴中设标价为a元，学生人数x人，甲旅行社的收费为a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收费为0.8a（x+2）元，有 

a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2） 

x=3

⑵中设学生人数为y人，甲旅行社收费为a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收费为0.8a（x+2）元，有 

0.8a（x+2）－［a+0.75a（x+1）］＝

0.8a（x+2）　∴x=8。