江苏专用高考数学二轮复习专题五函数与导数第16讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件.docx
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江苏专用高考数学二轮复习专题五函数与导数第16讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件
第16讲利用导数研究函数的单调性、
极值与最值
第16讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值
「基础易错再练
1•若函数心）二心・12x+a的单调递减区间为（・2,2）,则实数"答案1
解析广（x）=3orM2vO的解集是（・2,2）,则心1・
2•己知x=0是函数心）*・2a）X+/x+2/）的极小值点,则实数a的取值范是答案（-00,0）U（2,4-00）
解析广（对二3空+（2/・4小=3x数的极小值点得
k'）
仇翅嚨得">2或XO・
答案（7T
解析函数心）的定义域为（0,+8）,则0vl・x2d,|<6/<1,
|1|广0）二・■—-兰“叫氏怖曹1或x>3,则心）的减区间为（0,1）,（3,+°°）,1'1114"
则（l“2a）匸（0,1）,17?
-仏韦・.
2d<1,
t1
4•定义在区间0,$的函数/仗）二8sinx-tanx的最大值为
解析广（X）二8COSX+
吨兀+弯馆蚩sj_1
cos~Xcos-X
得cosx=.,x
o卡何＞0后）递增*彳¥斜
⑴递减，所以■是极大值点，也是最大值点，故心九冃；分3
墜心题型突破
题型一导数与函数的单调性例1（2018盐城高三模拟）若对任意实数呛都有函数yhW+b+b的图象与直线y=kx+b相切，则称函数/（x）为“恒切函数”•设函数g（x）=ae-x-pa,a,pR.⑴讨论函数g（x）的单调性；
⑵已知函数gS）为“恒切函数”・
①求实数p的取值范围；②当p取最大值时,若函数h（x）=g（x）ex-m也为“恒切函数”，求证:
0^m<
（参考数据:
e3^20）
解析⑴g3二於・1,
当dWO时,g©）vO恒成立，函数g（x）在R上单调递减；
当°>0时，由g'（x）二0得x=lnd,由g'（x）>0得x>・lna,由g'（x）vO得xv・lna.
得函数g（x）在（a,・Ing）上单调递减，在（・lna,+oo）上单调递增.
⑵①若函数怒）为“恒切函数”，则函数产心）+也+心的图象与直线y=kx+b相切，设切点为（Xo,yo）,贝|J广（Xo）+R二k且/g））+a）+b二滋（）+/?
即•5）二0,/（如）二0・因为函数蛉）为"恒切函数”，所以存在如使得gGo）=o,g（x（））=o,
民协尸0（]Yo）…
0—1=0,e
设m（x）=ev（1-x）,
则M（x）=-xe；由加（x）vO,得x>0,由加（x）>0,得xvO,
故加（x）在（・oo,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减，从而加（兀爲=加（0）=1,故实数p的取值范围为
②当P取最大值时,/?
=!
^0=0,6/=严1,
则/z（x）=（ev-x-1）eA-m,
h\x）=（2e-x-2）e\因为函数力（x）也为“恒切函数”,
故存在兀0,使得用（兀0）=0,力（兀0）=0,
由冰垃）二0得（2「严p2）尹0,即2詡・2二0,
设n（x）=2ev-x-2,
则n*（x）=2ev-l,由侔）>0,得din2,由"（x）v0,得x・ln2,故吩）在（-°°rln2）上单调递减，在（Jn2,+oo）上单调递增，
1。
在单调递增区间（・ln2,+oo）上,n（0）二0,故如二0,由咫）=0,得m=0;
2。
在单调递减区间（-oorln2）上屛（・2）二2/>0,
得m=（Gx0-1）p.
=-■Xo（^o+2）=B（x0-Hi）2，■
函数心）=・■（兀+1）千仁2厂壬）递增,
（2）=0/*乙跑SV•综2所
I!
22/11II
述,0WahV—.
【方法归纳】
与单调性有关的两类问题的求解策略:
①若求单调区间（或
证明单调性），则只要在函数定义域内解（或证明）不等式f匕）＞0或厂S）v0即可.
②己知非常数函数产寸（无），用D单调递增（减）o/心）$0（/‘（x）W0）,xWQ恒成立,再利用分离参数或者直接利用函数最值求解•③已知函^y=f（x\x^D存在单调递增区间of'（x）＞0,xWD有解,再利用分离参数或者直接利用函数最值求解.
1-1已知函^k/（x）=lnx,g（x）=.ax+2x,a工0.
⑴若函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围;
⑵若函数h（x）=f（x）-g（x）在［1,4］上单调递减，求d的取值范围.
解析（l）/z（x）=lnx-■衣-2%,兀丘（0,+°°）,
所以R（x）=・-ax-2.
因为此）在（0,+°°）上存在单调递减区间，所以当xW（0,+8）时，.yx・2v0有解，即存在兀丘（0,+8）,使得Q.・
1:
I
设G（x）二二・.（xU（0,+°°））,所以只要a>G（x）m[n即可・
I:
I
而G（x）=f1-1,祈以当炸（0,+呵时,G（x）丽二丄
所以u>-lMu=#O.
⑵因为此）在［1,4］上单调递减，
所以［1,4］时,〃G）=.・ox-2W0恒成立，
即当%e［l,4］时,恒成立，所以u^G（x）max.I!
I
对于6（力=卜甲为炸［1,4］,所以ej，卜［
所以G（x）max=G（4）=-■，所以.・
iTiT
当.时,h\x）=匕x-2^7x—4X-V—4）
11IIi16x
9：
x^[lA],：
.h\x）=
l（vc
即加力在［1,4］上为减函数.
故实数Q的取值范用是■且d工0.II
题型二导数与函数的极值例2（2018扬州高三考前调研）已知函数心）=lnz+去⑴二强中g为参
I（'
数）.
⑴若对任意用R,不等式g（x）-b（2）当"二.时，求函数/仗）的单调区间；
（3）求函数/（兀）的极值.
解析⑴由题意知对任意用R,b>g（x）恒成立，对g（x）求导得二
=0,则*1,
g\x）,g（x）随x的变化情况如下表：
1
00）
+
0
g（x）
7
极大值
故gWmaX=g（l）=I，所以/?
>■•
（2护>）的定义域为（0,+8）,其导函数为『心（冲呼时?
广（朗二.:
at
（兀丁1）©1—兀）
由⑴知JW.，即e'SMO,当且仅当*1时取等号，
令厂9）=0,则*1,
广（兀）,/（兀）随兀的变化如下表：
（0,1）
1
（1,+c
广（兀）
-
0
+
\
极大值
/
理:
1当dWO时,/二vO,此时/d）在（0,1）上递增，在（1,+°°）上递减，
所以心）极大值l）=^e-1，无极小值；
2当时皿二$0,此时/⑴在（0,1）上递减，在（1,+8）上递增,所以心）极小值=求$）=处・1，无极大值；
3当Ovx・时、令（p（x）=cf，下面证能）在（0,1）、（1,+8）上各有一个零点.
!
（
因为卩⑺）二4、>0,卩
（1）二炉・vog）在@,1）上递减且连续，所以0（力在@,1）上有I
唯一零点九且—么，
「I•!
■e11"—易证:
x>0时,ev>x2（过程略），故卩■=——乂—
噌唯一零点乜,且
■
1,■-
{ea
又卩⑴二―.vO,g）心|丄上递增且连续，所以久兀）在
故心）在（0內）上递减，在3,1）上递增，在（1尢）上递减，在（兀2,+°°）上递增,
所以/W极大值曲1）=处・1,/（无）极小值审兀】）=xim=l+lna,
综上得：
“WO时,沧）极大值=/0）二处丄无极小值；
当0$.时,沧）极小值=川）=处丄无极大值；
当Ovx.时,/（力极大值曲1）二处丄沧）极小值二1+lna.
【方法归纳】导数在函数极值中的应用主要有两种类型，一是求函数的极值，步骤是求定义域、求导数/•'（*）、解方程/'（力=0、列表得极值情况;二是已知函数尸心）（含参数）在*如处取得极值,求参数的取值，利用/—（对=0求出参数的值，再代入解析式进行检验.
2-1己知函数/仗）=丄心0且c$l*GR）恰有一个极大值点和一个极小值厂+C
点，其中一个是X=C・
（1）求函数/仪）的另一个极值点；
⑵求函数心）的极大值M和极小值加，并求M询$1时k的取值范围.
的士匚/1v、kQc+乙9一2x（&+l）—kx^—2x+ck
解析⑴心齐厂
由题意知f（・c）=O,即C?
匕2z£=0,（*）
由广⑴二o得-2・2兀+松0,
・••另一个极值点为x=c・■，即X=l・
⑵由（*）式得,c=l+L・
当C>1时*>0;当Ovcvl时衣v-2.
①当Q0时,/U）在（・oo,・c）秋1,+00）上是减函数，在（・c,l）上是增函数,/.M=f
（1）=>+丄^>（）,m=/（-c）=-鹿+1<0.~
777.c2+cl（k+2）
由M-m=^+「Ml及A>0懈得kN.f
:
2（i+2）
②当X2时肿在（・8,・c）和（l,+oo）上是增函数，在（Y,l）上是减函数,
•••M=f^c）=1）=<（h
2（R+2）
此时二七匸,釘也箴也
2（1+2）:
k+2
综上可知，所求£的取值范围为（a,-2）U[#8）・
题型三导数与函数的最值例3（2018徐州高三考前模拟）已知函数/（力二Inx-ax+a.aER.
⑴若a=l,解关于x的方程心）=0;
⑵求函数/仗）在［l,e］上的最大值.
解析⑴当a二1时,/（x）=lnx-x4-1,显然/⑴=0,所以*1是方程/⑴=0的一个根・
又因为八对二.-14-X且当00,当x>1时，广（x）v0,
1I
所以兀）在（0,1）上单调递增，在（1,+OO）上单调递减，从而心九冃⑴二0,所以x=l是方程/匕）=0的唯一根.
⑵因为f3二.2-恢>0）.
1当“W0时，恒有T（$>0,所以心）在［l,e］上单调递增，所以几叽冃（e）=l+ze;
2当Q0时,当00,
当兀>・时，广d）vO,
I
所以/U）在卜出单调递增，在
.a
若.$6即05今，/（兀九冃2）二1+/处;
若OV.W1,即dN1,/（Qna冃⑴二O.
1+（/-（/e,（/<—5e综上所述，沧）在［l,e］上的最大值为心冶二"-1-讥丄—O.（i>1.
【方法归纳】含参数的函数的最值问题常在以下情况中需要分类讨论:
①使导数为零的自变量不确定时需要讨论;②使导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定时需要讨论;③端点处的函数值和极值大小不确定时需要讨论;④参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定时需要讨论.
3-1（2018扬艸I高三考前调研）已知函数心）二
%则实数g的取值集合为•答案{-2^2,2}
2x+“-
解析当d20时,/（兀）二<"视使夬兀>的最小值为匕则解得dx2-ax+2,x<0,
二2;当aV0时，兀>0时,f（x）min=a+1,
a+122-.
■解得a=^2-2
a=?
-—
4
XW0时,f（x）min=f；吕2-眾使心）的最小值为d,则
■
综上可得，实数G的取值集合为卜2屈,2}・
3-2（2018淮海中学高三模拟）已知函数丘R）有极值，且函数心的极值点是g（x）的极值点，其中e是自然对数的底数（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于°的函数关系式；
⑵当a>0时,若函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值为M（a）,证明:
M（a）<-.
解析
（1）因为/*©）二e'+（x+“）eJ（x+a+1）e\令y*G）=o,解得兀="1.
列表如下：
极小值
广（Q■
沧）\
所以当4"1时,/（x）取得械小值.―
因为g\x）=3xi+2ax+b,由题意可知0（"1）二0,且/二4/・12/?
>0,
所以3（-u-1）+2u（-6/-1）+b二0,化简得b=-a-4a-3.
由J=4u2-12b二4/+12（a+1）@+3）>0,得a丰-.
所以b=-a2-4a-3u/-—
2丿
⑵证明:
因为F（x）=f（x）-g（x）=（x+1/）e'-（x'+axL+bx）,所以F（x）=f,（x）-^,（x）=（x+a+1）ev-[3x2+2or-（6z+l）（u+3）J=（x+a+1）e=（兀+“+1）（3x-a-3）=（x+a+1）（eA-3x+u+3）.记/z（x）=ev-3x+u+3,则R（x）二e=3,令g）=0,解得日n3,列表如下.
X
（-oo,ln3）
In3
（In3.
-
0
+
h[x）
极小值
/
1所以*ln3时,/心）取得极小1
1值，也是最小值,
此时力（In3）=e,n3-31n3+d+3=6・31n3+u=3（2-ln3）+u=31n—qqO.令F（x）=O,解
、
得i・L列表如下.
-a-\
（"
F（x）
—
0
+
F（x）
\
极小值
/
所以时,沧）取得极小值,也是最小值.
所以M（g）=F（"1）=（“1+g<[（"1）%（"1丫+“"1）]=・严@+1）2@+2）・令r=-a-1,则rv-1,
记加（f）=e"（1书=e'+F・Fjv・1,则加（f）=e'+3几2yvJ.
因为・lv心vOvO,3几力>5,所以加⑴>0,所有加（r）单调递增.所以/n（0<-ez-2<-1-2=a，所以M（a）*・
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