平面向量知识点归纳与例题练习.docx
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平面向量知识点归纳与例题练习
:
知识框架图;
平面向量
"表示法仔臥几何型标）1
I在几何学中的丽1正弦、余弦定理药丽
二、详细知识要点讲解；
重点知识回顾
1.向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：
•
44
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③平面向量的坐标表
、，一、、4-
示：
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
任作一个向量a，由平
-H4
面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a二xi•yj，（x,y）叫做向量a的（直
角）坐标，记作a=（x,y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，‘=（1,0），j=（0,1），0=（0,0）。
a=Jx2+]2；若A（x1,y1），B（X2,y2），则AB=仪2-为』2-y1，ab=（X2=xj2—（yzPyj2
3.零向量、单位向量：
①长度为的向量叫零向量，记为0；②长度为个单位长
—*
度的向量，叫单位向量•（注：
就是单位向量）
|a|
4.平行向量：
①方向的向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行•
4扌彳十一，，4扌4_十一亠耳一「「亠冃
向量a、b、c平行，记作a//b//c.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量.
5.相等向量：
相等且相同的向量叫相等向量•
6.向量的基本运算
（1）向量的加减运算
几何运算：
向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：
设a=（xi,yi）,b=（x2,y2）贝Va+b=，a-b=。
（2）平面向量的数量积：
a*b=。
设a=（xi,yi）,b=（x2,y2）贝Ua«b=。
f'f
（3）两个向量平行的充要条件」//:
二一：
=入「（b不是零向量）
若_：
=（xi,y”，.■=（x2,y2），贝U一：
//-：
「；‘
rrr
（4）.两个非零向量垂直的充要条件是&丄DUd•D_。
‘rff
设-■=（xi,y1）,.■=（x2,y2），贝U一：
丄一：
.向量的加法、减法：
1求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向
量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：
a-b=玄+（-b）；
差向量的意义：
0A=a,OB=b,贝UBA=a_b
一4叩彳啤
3平面向量的坐标运算：
若a=（为，yj,b=（X2,y2），则ab=（xix2,yiy?
）,
呻d_
a_b—（Xi-x?
yi_y2）,.‘“a=（/-x^■-y）。
4向量加法的交换律:
a+b=b+a；向量加法的结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）
7.实数与向量的积：
实数入与向量a的积是一个向量，记作：
入a
（i）I入a|=|入||a|；
（2）入＞0时入a与a方向相同；入＜0时入a与a方向相反；入=0时入
a=0；（3）运算定律入（0）=a,（入+卩）3=,入（a+b）=。
（X<0）
8.向量共线定理向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：
有且只有
个非零实数入，使b=a。
9.平面向量基本定理：
如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平
面内的任一向量a，有且只有一对实数入1,入2使a=入ie+入2e2。
（1）不共线向量g、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不惟一，关键是不共线；（3）由定理可将
任一向量a在给出基底e、曳的条件下进行分解（4）基底给定时，分解形式惟一.入1,入2
是被a,e,e2唯一确定的数量。
10.向量a和b的数量积：
①a•b=其中二€[0,n]为a和b的夹角。
②
|b|cos^称为b在a的方向上的投影。
③a•b的几何意义是：
b的长度|b|在a的方向上的
投影的，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
4若a=（x1,%）,b=（x2,y2）,则a・b二x1x2-y1y2
5运算律：
a•b=b•a,（入a）•b=a•（入b）=入（a+b）•c=
a■b
6a和b的夹角公式：
cosB=^,4,=
d
11.两向量平行、垂直的充要条件设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）
ffHf呻
1a丄b：
=a•b=0,a_b=a=x1x2+%y2=0;
2a//b（a丰0）充要条件是：
有且只有一个非零实数入，使b=入a。
—F-—F
a//b二細2-乂2屮=0
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。
三：
难点、易错点；
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度,
角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
四：
考点举例及配套课堂练习（例题讲解）
（一）基础知识训练
1.下列命题正确的是
（A）单位向量都相等（B）任一向量与它的相反向量不相等
（C）平行向量不一定是共线向量（D）模为0的向量与任意向量共线
2.已知正六边形ABCDEF中，若AB=a，FA=•b，则BC=（）
111
（A）—（a-b）（B）—（ab）（C）a-b（D）—ab
222
3.已知向量0=0,■•R，a=0••e2,b=2e“若向量a与b共线，则下列关系一定成立是（）
（A），=0（B）e2=0（C）e1//e（D）e1//e2或，=0
4.若向量a=（—1,x）,B=（—x,2）共线且方向相同，x=。
5.设0・：
：
v:
:
:
2二，已知两个向量OR=cosr,sinr,
OP2=（2+sin日,2—cos日），则向量丽长度的最大值是（）
A.、2B.、3C32D.23
（二）.典例分析例1：
（1）设a与b为非零向量，下列命题:
①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反;
错解：
（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4;也有学生认为①或④是错的，答案为2
或3;
（2）A或B或Co
分析：
学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。
第
（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。
共线向量（a与b共线）的充要条件中所存在的常数■可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量；若a,b为非零向量，则共线的a与b满足a与b同向时：
=|：
|乂，：
与b反向时:
一。
I冋b1
第
（2）小题中，正确答案为（D）。
学生的错误多为与实数运算相混淆所致。
选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。
例2设a、b是两个不共线向量。
AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2b
AB、D共线则k=（k€R）
解：
BD=BC+CD=+b+a-2b=2a-b
2a+kb=入（2a-b）=2入a-入b
2=2入且k=-入
•••k=-1
例3梯形ABCD且|AB|=2|DC|,M、N分别为DCAB中点。
AB=aAD=b用a,b来标DGBCMN
11
解：
DC=AB=a
22
11
BC=BD+DC=（AD-AB）+DC=b-a+a=b-a
22
MN=DN-DM=a-b-1a=丄a-b
244
例
4
|
a|=10b=（3,-4）且a//b求
a
解:
设
a=（x,y）则x+y=100
（1）
由
a//b得-4x-3y=0
（2）
解
（1）
（2）得x=6y=-8
。
或x=-6y=8
•-a=（6,-8）或（-6,8）
五.归纳小结
1.向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。
2.对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。
要善于运用待定系数法。
课堂练习
1、下列命题正确的是（）
A.若|a|=0，则a=0B.若|a|=|b|，则a=b或a=-b
C.若a||b，则|a|=|b|D.若a=0，则-a=0
2、已知平行四边形ABCD勺三个顶点A（-2,1）、B（-1,3）、C（3,4），则顶点D的坐标为（）
A.（1,2）B.（2,2）C.（2,1）D.（-2厂2）
—»—■—b
3、设|a|=m（m0），与a反向的单位向量是g，则a用g表示为
正确命题的个数是（
1-
①ADa
2
④ADBECF二0。
A.
5、化简：
CE+AC—DE—AD=。
6、已知向量a=3,b=（1,2），且a丄b，则a的坐标。
7、若a2=1,b2=2,a-b^0，则a与b的夹角为
8、已知向量a=須-2e2,b=4ee2,其中®=（1,0）,e2=（0,1）
求
（1）ab;a+b的值；
（2）a与b的夹角的余弦。
9、如果向量a与b,c的夹角都是60，而b_c,且|a|=|b|=|c|=1，求（a-2c）・（b，c）
的值。
课堂练习答案
基础知识训练:
9,-1
《平面向量》测试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知e1、e2是两个单位向量，下列命题中正确的是（）
22
A.e1e2=1B.e1_e2C.e1=e2D.e1〃e2
2.下列命题中：
①若a与b互为负向量，则a+b=0;②若k为实数，且ka=0,则a=0或k=0;③若ab=0,贝Ua=0或b=0;④若a与b为平行的向量，则ab=|a||b；⑤若|a|
=1,贝Ua=±1.其中假命题的个数为（）
A.5个
B.4个
C.3个
D.
2个
3.在AABC中,a
=5,b=8,C=60,则BCCa的值等于
（）
A.20
B.-20
C.20..3
D.
-20..3
4.设|a|=1,|b|=2,且a、b夹角
120。
，则|2a+b|等于
（
）
A.2
B.4
C.12
D.
2一3
5.已知△ABC的顶点坐标为A（3,4）,B（—2，-1）,C（4,5）,D在BC上，且S'abc^3Sabd,则AD的长为（）
A.寸2
B.
2^2C.3豆
D.
2
6.
已知a=
（2,1）,b=
（3,入），若（2a—b）丄b，则入的值为
（
）
A.3
B.
—1C.—1或3
D.
—3或1
7.
向量a=
=（1,—2）,
|b|=4|a|,且a、b共线，则b可能是
（
）
A.（4,
8）
B.
（—4,8）C.（—4,—
8）
D.
（8,4）
―15
AB
=a,
AC=b,ab<0,S出bc=一,
a=3,
b=5
，贝Ua与
b的夹角为
8.
已知△ABC中，
4
（
）
A.30°
B.
—150°C.150°
D.
30°或150°
9.
若a_b
=J41-20、$,a
=4,b=5,则a，b=（
）
A.1^3
B.
-10^3c.1072
D.
10
44
4I4
4
10.
已知向量a,b满足
a=1,'b=4,且ab=2,则a与b的夹角为
JI
JI
JtJt
A.—
B.-
C.-D.-
6
4
—*
32
:
（2,1）平行，且|b|=2V5，贝
—1-
11.
若平面冋量b与冋量
a二
出b=
（
）
A.（4,2）B.（Y,—2）C.（6-3）D.（4,2）或（—4,—2）
12.下列命题正确的是（）
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量（）
C.|a+b|=|a-b|,则Xb=0^
D.若ao与bo是单位向量，则aobo-1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.向量a=（2k+3,3k+2）与b=（3,k）共线，则k=
14.已知a
=|,k,b=[k,8,且a与b为互相平行的向量，则k的值为
15.已知向量a=（cosB,sin日），向量b=（j3,_1），则2a-b'的最大值是
16•若向量|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a-b|=
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.（本小题满分12分）
—孑———予
设0为原点，0A=3,1,0B二-1,2,0C—OB,BC//OA,试求满足ODOA=OC的OD的
坐标.
18.（本小题满分12分）
设e1和e2是两个单位向量，夹角是60°,试求向量a=2e1e2和b二-302e2的夹角.
19.已知向量a与b的夹角为60,|b|=4,（a•2b）.（a-3b）=-72，求向量a的模。
TTTT
20.已知点B（2,-1），且原点O分AB的比为-3，又b=（1,3），求b在AB上的投影。
21.已知
（1）
a驾％b匚（-3,2）,当k为何值时,
kab与a-3b垂直？
（2）kab与a-3b平行？
平行时它们是同向还是反向?
参考答案
1.C2.C3.B4.A5.C6.C7.B8.C9.A10.C
b=k霁（2k,k）,,而|b|=2j5，则•,5k2=2、、5,k=_,b=（4,2）,或（-4,-2）
解析：
单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b=0时，a与c可以为任意向量;
Ia•b|=|a-b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
13321。
14一6；
4..6由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
f+謂+弹一寸2=2；护+2；b?
二怜+孑=2£2+2庸一;玄一住'=2+2汉4一4=6
、17.解：
设OD二x,y,则OC=ODOA=x3,y1
BC=OC〔OB4,y-1由OC_OB得：
-x32y1]=0,即x2y1=0①
?
—亨
由BC〃OA得3y-1-x•4=0,即x-3y-7=0……②由①，②联立，解得x=11,y=6,即OD坐标为11,6.
18.解：
a=|2e1+e2,b=—3e1+2e2
e2
2
=4^
=414111=7,
2
222
b=9e1+4e2-12e1-e2
丄1
=94—12117.
2
丁ab=（2e<|+e2卜（一3e<|+2e2）—6e12十^e2+2e22
'■"曲日=崙=厂7
|a||b|4747
故0=120°
2一2旨—24=0,
（a'-
20.解:
设A（x,y）,竺二―3，得AO=-3OB，即（-x,-y）二一3（2,-1）,x=6,y=—3
OB
21.解:
kab=k（12）（-3,2）=（k-3,2k2）a-3b=（1,2）-3（-3,2）=（10,-4）
（1）（kab）_（a「3b）,
得（kabL（a-3b）=10（k-3）-4（2k2）=2k-38=0,k=19
1
（2）（kab）//（a-3b），得-4（k-3）=10（2k2）,k-
1041
此时kab十亍十（10_），所以方向相反。
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