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数学模型

东北大学

研究生考试试卷

考试科目：

数学模型

课程编号：

阅卷人：

考试日期：

2012.12

姓名：

学号：

1200443

注意事项

1．考前研究生将上述项目填写清楚

2．字迹要清楚，保持卷面清洁

3．交卷时请将本试卷和题签一起上交

东北大学研究生院

数学模型在磨削加工中的应用

摘要

本文介绍了数学模型在磨削外形、磨削温度、磨削残余应力、磨削切削力、磨削件表面粗糙度方面的应用。

分析了数学模型在磨削加工中的应用方法，阐述了数学模型在磨削加工中的应用前景。

关键词：

数学模型；磨削；加工工艺；综述

MathematicalmodelinGrinding

Abstract

Thispaperintroducesthemathematicalmodelinthedimensionofgrinding,grindingtemperature,residualstressofgrinding,cuttingforceofgrinding,surfaceroughnessofgrinding.Itanalysesthemethodandprospectofmathematicalmodelapplicationingrinding.

Keywords:

mathematicalmodel;grinding;processingtechnology;overview

绪论

磨削是指用磨料，磨具切除工件上多余材料的加工方法。

它在机械加工中隶属于精加工方式，加工量少、精度高。

在机械制造行业中应用比较广泛。

磨削用于加工各种工件的内外圆柱面、圆锥面和平面,以及螺纹、齿轮和花键等特殊、复杂的成形表面。

磨削加工中由于工件与道具的强烈摩擦作用，会产生一系列的物理化学反应，如工件的热变形、振动、形状尺寸变化、残余应力等等。

如果不关注这些微小的变化，加工出的工件可能达不到所需的质量要求。

经验方法试制周期长，可靠性差，并不能完全满足工业生产的要求。

随着计算机科学在工业领域的广泛应用，通过建立与磨削相关的数学模型，导入到计算机进行模拟仿真，然后进行加工的工件质量好，周期短，能很好地满足工业生产的需要。

近些年来，数学模型在磨削领域中的应用越来越广泛。

本文将对磨削温度、残余应力、磨削外形、磨削力的数学模型作一综述。

外圆磨削温度数学模型：

磨削加工时磨削区的磨削温度很高，当超过材料的某个极限时就会引起工件的烧伤，因此建立磨削时磨削区的温度数学模型是很有意义的。

传统的磨削温度数学模型是在平面磨削的基础上建立的，其数学模型只适用于平面磨削方式。

在此基础上建立了外圆磨削时磨削区温度的数学磨型，所建立的模型有助于外圆磨削时磨削区温度的计算，具有很好的现实意义。

磨削残余应力数学模型：

通过对磨削表面的残余应力形成机理的分析，建立了一种反应莫小过程与磨削表面残余应力的数学模型。

该模型反映了磨削过程中力、温度、磨削冷却液冷却性能影响磨削表面残余应力的规律。

齿轮磨削中磨削力数学模型：

：

基于锥面砂轮磨齿展成运动的几何模型，计算出砂轮在任意冲程中所磨除金属材料的几何形状尺寸，在平面磨削磨削力计算公式的基础上对该被磨除金属材料沿磨削宽度方向进行积分，得到了齿轮磨削加工过程中磨削力的计算公式，应用该公式进行了仿真计算，得到了两种提高齿轮磨削加工质量的方法。

凸轮磨削模型通用数学模型：

根据平面推杆凸轮轴数控加工时磨头的位移公式，根据凸轮廓形的成形机理，通过推到极坐标式凸轮轴磨床加工所有制动推杆凸轮轴时的通用数学模型。

模型的优点为加工所有直动推杆凸轮时，只需要调动同一个程序，大大减少了变成工作量和控制难度。

工程陶瓷磨削表面粗糙度数学模型：

通过建立了表面粗糙度Rap和Rav值的数学模型公式,提出了改善磨削表面质量的措施,通过大量的试验证明了该模型公式能对工程陶瓷磨削表面质量进行预测与估计,但作为传统的建模方法,该方法的精度还显得不那么令人满意。

目前人工神经网技术的广泛应用,可通过神经网络建立表面粗糙度与磨削工艺参数之间的关系式,提高模型的预测精度、准确性与可靠性。

通过应用数学模型对磨削加工各方面进行建模求解，为一些实际问题提供了理论的求解方法，甚至解决了部分尚未解决的问题。

应用建模并结合计算机对实际问题模拟仿真，周期短，成本低，是未来求解磨削加工问题的有效方法之一。

1磨削温度数学模型

磨削加工是一种重要的加工工艺，它被广泛应用于高精度低表面粗糙度工件的加工过程中。

与其他加工工艺相比，磨削加工切除单位体积材料时需要非常高的能量输入，这些能量几乎全部转化为热量集中在磨削区内，导致磨削区的温度升高。

当磨削温度较高时，会使零件表层金相组织发生变化，甚至出现磨削烧伤。

磨削温度的升高对工件表面质量及工具的使用性能都有极大的影响。

因此建立磨削时磨削区的温度数学模型是很有意义的，传统的磨削温度数学模型是在平面磨削的基础上建立的，其数学模型只实用于平面磨削方式。

外圆磨削时磨削区温度的数学模型的建立弥补了外圆磨削时磨削区温度的计算，具有很高的现实意义。

首先分析平面磨削时磨削区温度的建模过程，然后根据这个过程来建立外圆磨削时磨削区温度的数学磨型。

磨削接触区温度场的计算公式为：

其中，

T为任一坐标是（x,0,z）的点M处的温度,℃；vw为线热源的移动速度，即工件的速度,m/s；qw入工件的热流密度,W；k为工件材料的导热率，W·（m·k）;a为工件材料的热扩散率[1]。

2磨削残余应力数学模型

磨削加工中，影响磨削表面残余应力的主要因素可归纳为：

磨削力、磨削温度和密削液的冷却性。

力和温度是磨削过程中产生的两种磨削现象，直接对残余应力产生影响；而磨削液对残余应力的影响，一方面是通过表面的降温过程直接产生的．另一方面是通过对力和温度的影响间接产生的。

本模型可通过对力和温度的实验数据，以及磨削表面二维残余应力测试数据的数学处理，给出一种反应力、温度和磨削液的冷却性能与表面残余应力关系的数学模型。

数学模型公式为：

其中，A、B、C、D—反映磨削力，磨削温度，磨削液冷却性能影响磨削表面残余应力的系数。

α—磨削液冷却系数；

θ—磨削区最高温度；

Ｆ—磨削力（可采用切向力）[2]。

3磨削力数学模型

磨齿是精加工齿轮齿形的方法，主要用于硬齿面的磨削，它能全面提高齿轮的各项精度。

而在磨削加工过程中，磨削力与砂轮耐用度、磨削表面粗糙度、磨削比能等均有直接关系。

它起源于工件与砂轮接触后引起的弹性变形、塑性变形、切屑形成以及磨粒和结合剂与工件表面之间的摩擦作用。

在锥面砂轮磨齿过程中，由于齿轮齿廓渐开线上各点曲率不同以及磨齿展成运动的影响，齿轮上各点的磨削深度、磨削速度都不相同且在不断地变化，而磨削宽度也在不断地变化，并且砂轮的前一个磨削冲程对后一个磨削冲程的磨削深度和磨削宽度也有重要影响。

由于在磨齿过程中这些磨削条件不断地变化，故磨削力的大小也在不断地变化。

因此需要根据锥面砂轮磨齿的工作特点建立磨削力计算公式。

数学模型公式为：

式中：

Ｖs为砂轮线速度，m/s；Vw为工件进给速度，m/s；ap为磨削深度，mm；b为磨削宽度，mm；A为砂轮磨削表面积比；de为砂轮当量直径，mm；α、β为由摩擦表面的物理和机械性质决定的系数；K1、K2、P0为实验常数[3]。

4外形加工数学模型—凸轮磨削通用数学模型

凸轮轴是汽车、拖拉机等发动机的关键部件之一,其加工精度直接影响着发动机的动力性能.数控凸轮轴磨床首要的关键技术是凸轮轮廓数控加工的数学模型研究.在数控凸轮轴磨床中,凸轮外形轮廓曲线生成方式主要有3种:

第1种是摇架式,凸轮工件既绕主轴转动又随摇架往复摆动.第2种成形方式也叫极坐标式,它是依靠工件主轴转动（C轴运动）和磨头（砂轮架）的移动（X轴运动）这两个坐标联动来实现的.第3种是在第2种的基础上增加磨头的Y轴运动.其中,第2种成形方式算法和控制相对容易实现,加工精度较高,生产柔性大,并随着CBN砂轮的推广使用,凸轮工件从粗磨到半精磨一次完成,生产效率有了很大程度的提高,现已成为国外的凸轮轴磨削设备.以下是这种两坐标方式数控凸轮轴磨床加工所有直动（偏距）推杆凸轮轴的磨头位移的通用数学模型。

当偏距为0时可看作是对心情况;当滚子半径为0时可看作尖顶推杆;当滚子半径为时可看作平面推杆.在实际加工时,只要设置不同的r1和e值,就能代表不同的推杆情况,即加工所有的直动推杆凸轮时只需要调用同一个程序即可,这样就大大减轻了编程工作量和控制难度。

磨头位移数学模型公式为：

其中，r为基圆半径，mm；r1为滚子半径mm；e为推杆运动方向与基圆圆心的偏距，mm；R为砂轮半径，mm；θ为凸轮转角；β为切点的转角[4]。

5粗糙度模型—工程陶瓷磨削表面粗糙度数学模型

工程陶瓷具有高强度、耐热等一系列优点,因而在许多生产工程和科技领域获得了日趋广泛的应用。

但由于工程陶瓷的硬脆特性,导热性差而且耐磨,其机械加工非常困难,目前基本上还是采用金刚石砂轮磨削技术,所以开发与研究高效率、高精度的磨削加工技术是引人注目的一个领域,而磨削表面质量的研究是其中的重要内容之一。

工程陶瓷用作结构件时,其表面质量至关重要。

虽然材料本身性能和缺陷对强度有决定性的影响,但良好的加工表面质量可使表面缺陷减小到最小程度,提高零件间的配合可靠性、接触刚度与强度等,延长零件的使用寿命。

既然表面质量在很大程度上反映了工程表面的功能特性,因此必须合理选择表面质量的评定参数。

表面粗糙度一直是衡量表面质量的指标之一,目前大多数情况下测量垂直于磨削方向的表面粗糙度Rav,但实际上一个粗糙不平的表面构成三维过程,用二维参数描述它是不适当的,特别是对于易产生加工破碎的硬脆材料表面更是如此。

在测量垂直于磨削方向的表面粗糙度Rav的同时,测量平行于磨削方向的表面粗糙度Rap,利用Rap和Rav值来同时衡量磨削表面质量,即能较完整地反映表面的微观几何特性。

目前在工程陶瓷的磨削过程中,还不能对磨削表面粗糙度进行预测与估计,都要卸下工件才能测得其表面粗糙度,费工耗时。

通过建立表面粗糙度Rap和Rav与磨削用量及工艺参数（砂轮速度、工件进给量、磨削深度、光磨次数等）之间的数学模型关系式,对磨削表面质量进行预测与估计,及时改变磨削工艺参数,保证获得良好的磨削表面质量。

数学模型公式为：

式中，ap为磨削深度，μm；vw为表面质量影响系数；v为磨轮转速，n/min[5]。

表面质量数学模型公式虽然在定量计算上有一定的误差,但能够定性地分析表面质量的变化趋势,因而对工程陶瓷磨削表面质量的预测与估计有较大的实际意义。

在实际磨削过程中,可以采取以下相应的措施,以改善磨削表面质量,使加工表面的实际值接近于模型公式的理论值磨削工程陶瓷时必须进行光磨,一般光磨次左右即可得到比较稳定的加工表面质量。

在实际磨削过程中,提高砂轮的转速比降低工件横向进给速度及磨削深度更能有效地降低表面粗糙度Rap和Rav值,提高加工表面质量。

提高砂轮的修整效果、选择合适的冷却液降低砂轮状况系数及冷却效果系数,也能有效地改善加工表面质量。

展望

磨削是一个复杂的多变量影响过程。

据美国公司调查，非最优化加工每年给美国企业造成的损失达到100亿美元。

所以，研究对磨削信息的智能化处理和决策，实现柔性自动化和最优化至观重要。

目前磨削中人工智能的主要应用包括磨削过程建模、磨具和磨削参数合理选择、磨削过程监测预报和控制、自适应控制优化、智能化工艺设计和智能工艺库等方面。

近几年来，磨削过程建模、模拟和仿真技术有很大发展，并已达到实用水平。

磨削加工是机械制造中重要的加工工艺。

随着机械产品的精度、可靠性及寿命的要求不断提高，高硬度、高强度、高耐磨性、高功能性的新型材料应用增多，给磨削加工提出了许多新问题，如材料的磨削加工性及表面完整性、超精密磨削、高效磨削和磨削自动化等问题。

所以，当前磨削技术发展的趋势是，发展超硬磨料磨具，研究精密及超精密磨削、高速高效磨削机理并开发其新的磨削工艺技术，研制高精度、高刚性的自动化磨床。

磨削自动化是当前磨削技术研究的重要方向之一。

当前磨削自动化主要技术动向：

用有限元算法、模态分析、及技术对磨削机床进行动、静刚度研究，优化磨床结构，解决振动及高稳定性的加工。

发展静、动压技术，采用油轴承、空气轴承及磁轴承，解决磨床主轴高速化及高精密化。

利用静动压导轨、直线导轨、静动压丝杠，解决导轨及进给机构的高速化与高精密化。

注重热变形对策研究，排除或降低热源，抑制热产生，隔离及防止热扩散。

面对发展越来越快，技术含量越来越高的各种磨削方法，如何合理把握这些方法，如何减少研究生产成本，如何尽快实现实用化，这些都是摆在科学家和技术人员面前的难题。

作为联系数学问题和实际问题的桥梁的数学模型在一定程度上能解决磨削实际应用的诸多问题。

现在，在磨削温度场、磨削外型、磨削力、磨削残余应力、磨削表面粗糙度方面已经有了越来越多的成熟模型。

随着计算机技术和数学模型科学的发展，磨削加工的研究与数学模型会有越来越紧密的联系。

参考文献

1董新峰,马燕玲.外圆磨削磨削区磨削温度的数学模型[J].机密制造与自动化,2011.01:

10-12.

2牛兴华,张孟湘.磨削过程与磨削表面残余应力关系的数学模型[J].制造技术与机床,1999.07:

32-34.

3唐进元,杜晋,陈勇平.齿轮磨削中磨削力数学模型的研究[J].工艺与检测,2008.01:

73-76.

4余顺,陈庭,李志明.凸轮数控磨削加工的通用数学模型研究[J].湖北工业大学报,2005.06:

97-99.

5柯宏发,赵燕,张耀辉.工程陶瓷磨削表面粗糙度数学模型的研究[J].机械工程师,1998.04:

05-06.

6王涛,李剑,高航.磨削技术的现状与发展趋势[J].机械设计与制造,2003.02:

116-118.

7荣烈润.高速磨削技术的现状及发展前景[J].机电一体化,2003.01:

06-10.