高三数学专题复习函数的性质与应用.docx

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高三数学专题复习函数的性质与应用

函数的性质及其应用

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

函数单调性是函数在定义域某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数

例1．

（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有　　个．

（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有　　个．

（3）（2013•）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），

f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=　　．

二、函数值域及最值求法

例2、

（1）（2011•）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）

=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为　　．

（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），

使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值围是　　．

（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值围是　　．

三、函数单调性与奇偶性

例3、

（1）（2013•资阳一模）已知函数

若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值围是　　．

（2）已知是R上的增函数，那么a的取值围是　　．

（3）（2012•）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g

（1）=1，则g（﹣1）=　　．

（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）=　　．

四、函数的周期性

例4、

（1）已知奇函数满足

的值为           。

（2）设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则下列四个命题：

①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x）3；③函数y=f（x）的图象关于x=1对称；④函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是　　．

五、函数图像的对称性

例5、

（1）已知函数

为偶函数，则函数

图像关于直线对称，函数

图像关于直线对称。

（2）设．则

　　．

（3）已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：

①若f（x﹣2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称；②若f（x+2）=﹣f（x﹣2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y=f（2+x）与函数y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称；④函数y=f（x﹣2）与函数y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称．其中正确的命题序号是　　．

　六、函数性质的综合应用

例6、（2013•春季）已知真命题：

“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b是奇函数”．

（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；

（3）已知命题：

“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．

例7、已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=，

（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；

（2）在

（1）的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，数k的取值围；

（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．

例8、（2012•）已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

例9、（2012•卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f（x）的“均值”．

（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；

（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，数a的取值围；

（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．

例10、已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．

（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1﹣x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；

（2）在

（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；

（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？

若可能，求出a的取值围；若不可能，请说明理由．

七、实战演练

一．填空题

1、（2009•）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为　　．

2、（2013•）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=　　．

3、（2008•）设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x﹣f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣x的图象一定过点　　．

3、（2011•）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为　　．

4、（2011•闸北区二模）设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数

f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为　　．

5、在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为　　．

6．（2013•）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值围为　　．

7．（2012•）若f（x）=为奇函数，则实数m=　　．

8．（2012•）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值围是　　．

9．（2012•）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f

（1）=1，若g（x）=f（x）+2，

则g（﹣1）=　　．

10．（2013•）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是　　．

11．（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值围是　　．

12．f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）=　　．

13．设函数f（x），g（x）的定义域分别为Df，Dg，且Df⊂Dg．若对于任意x∈Df，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在Dg上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=　　．

14．（2013•普陀区一模）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值围是　　．

15．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和

f（x+2）≥f（x）+2，若f（998）=1002，则f（2012）=　　．

16．（2010•西城区一模）设函数f（x）的定义域为D．若存在非零实数l使得对于任意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是

[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数．则实数m的取值围是----．

17．定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且

f

（1）≠0．则f（2013）=　　．

18．（2013•模拟）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值围为------

二．解答题　

19．（2012•交大附中）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则称g（x）为“对数V形函数”．

（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；

（2）当g（x）=x2+2时，证明：

g（x）是对数V形函数；

（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？

证明你的结论．

20．（2012•浦区一模）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得

f（a+x）•f（a﹣x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．

（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f（x）=x3②f（x）=2x

（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．

22．给出函数封闭的定义：

若对于定义域D的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．

（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭（写出推理过程）：

f1（x）=2x﹣1，f2（x）=﹣﹣+1，f3（x）=2x﹣1；

（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a，使得函数f（x）=在D2上封闭？

若存在，求出a的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．

23．若函数f（x）在定义域D某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”

（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．

（2）证明函数h（x）=x2+a2x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”．

函数的性质及其应用教师用

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

函数单调性是函数在定义域某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数

例1．

（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有　6　个．

解：

从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．

（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有　9　个．

解：

∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1

因此，定义域D有：

{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，

{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：

9

（3）（2013•）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=　2　．

解：

因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），

所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：

2．

二、函数值域及最值求法

例2、

（1）（2011•）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为　[﹣2，7]　．

解：

g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）

=[x+g（x）]+1，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6]…

（1）

同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]

此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2

所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7]…

（2）

由已知条件及

（1）

（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]

故答案为：

[﹣2，7]．

（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得

{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值围是　（0，4）　．

解：

∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为

[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，

所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．

∴实数m的取值围是（0，4）．故答案为：

（0，4）．

（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值围是　[﹣2，6]　．

解：

∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述围总能找到x2满足g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，

∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：

[﹣2，6]．

三、函数单调性与奇偶性

例3、

（1）（2013•资阳一模）已知函数

若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值围是　（﹣1，3）　．

解：

∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，

x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，

∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：

（﹣1，3）

（2）已知是R上的增函数，那么a的取值围是

　（1，3）　．

解：

∵是R上的增函数，

∴∴a∈（1，3）故答案为：

（1，3）

（3）（2012•）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g

（1）=1，则g（﹣1）=　3　．

解：

由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2

∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g

（1）=1

∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3

（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）=　﹣3　．

解：

由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f（0）=g

（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f

（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：

﹣3．

四、函数的周期性

例4、

（1）已知奇函数满足

的值为           。

　　　解：

（2）设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则下列四个命题：

①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x）3；③函数y=f（x）的图象关于x=1对称；④函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是　①②③④　．

解：

∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∵f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x﹣4）=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确．当x∈[1，3]时，x﹣2∈∈[﹣1，1]，f（x﹣2）=（x﹣2）3=﹣f（x），∴f（x）=（2﹣x）3，故②正确．∵f（x﹣2）=﹣f（x），

∴f（1+x）=f（1﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，故③正确．

∵当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x）3，∴f

（2）=0，∵f（x﹣2）=﹣f（x），

∴f（﹣x﹣2）=﹣f（﹣x）=f（x）=﹣f（x﹣2），∴f（x+2）=﹣f（x﹣2），∴函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．故正确的命题有①②③④，故答案选①②③④．

（2）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f[f1（n）]，…，fk+1（n）=f[fk（n）]k∈N*，则f2010（8）=　8　．

解：

f1（8）=f（8）=64+1=656+5=11，f2（8）=f[f1（8）]=f（11）=121+1=122=1+2+2=5

f3（8）=f[f2（8）]=f（5）=25+1=26=8，f4（8）=f[f3（8）]=f（8）

…所以f2010（8）=f3（8）=8，故答案为：

8

五、函数图像的对称性

例5、

（1）已知函数

为偶函数，则函数

图像关于直线对称，函数

图像关于直线对称。

解：

图像关于直线

对称，函数

图像关于直线

对称。

（2）设．则

　1006　．

解：

若a+b=1，则f（a）+f（b）==

===1，

所以

=[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]

=1+1+…+1=1006．故答案为：

1006．

（3）已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：

①若f（x﹣2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称；②若f（x+2）=﹣f（x﹣2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y=f（2+x）与函数y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称；④函数y=f（x﹣2）与函数y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称．其中正确的命题序号是　④　．

解：

①不正确．因为f（x﹣2）的图象是由f（x）的图象向右平移两个单位而得到，结合f（x﹣2）是偶函数知，f（x）的图象关于x=﹣2对称，

②由f（x+2）=﹣f（x﹣2）变形得f（x+8）=f（x）是周期函数．不能得出函数f（x）的图象关于原点对称，故不正确．③不正确，因为函数y=f（2+x）是由f（x）向左平移2个单位，函数y=f（2﹣x）的图象是由f（﹣x）的图象向右平移2个单位，故两函数的图象仍然关于原点对称．

④如图所示，正确．故答案为：

④

．　六、函数性质的综合应用

例6、（2013•春季）已知真命题：

“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b是奇函数”．

（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的