可知，电机输出的最大功率之比P1∶P2＝2∶1，C项正确；
由动能定理知，两个过程动能变化量相同，均为零，克服重力做功相同，故两次电机做功也相同，D项错误．
拓展训练1
（多选）（2018·安徽省安庆市二模）如图2甲所示，物体受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直线运动．通过力传感器和速度传感器监测到推力F和物体速度v随时间t变化的规律如图乙所示．重力加速度g＝10m/s2，则（ ）
图2
A．物体的质量m＝0.5kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2
C．第2s内物体克服摩擦力做的功Wf＝2J
D．前2s内推力F做功的平均功率
＝1.5W
答案 ACD
解析 由题图乙可知，在2～3s时间内物体匀速运动，处于平衡状态，所以滑动摩擦力的大小为2N．在1～2s时间内物体做匀加速运动，v－t图象的斜率代表加速度的大小，所以a＝
m/s2＝2m/s2，由牛顿第二定律可得：
F－Ff＝ma，所以m＝0.5kg，A正确；由Ff＝μFN＝μmg，则μ＝
＝0.4，B错误；第2s内物体的位移是：
x＝
at2＝1m，克服摩擦力做的功Wf＝Ffx＝2×1J＝2J，C正确；第1s内物体没有运动，推力F做功为零，第2s内物体运动，F做的功为W＝Fx＝3×1J＝3J，所以前2s内推力F做功的平均功率为
＝
＝
W＝1.5W，D正确．
拓展训练2
（多选）（2018·福建省三明市上学期期末）发动机额定功率为P0的汽车在水平路面上从静止开始先匀加速启动，最后达到最大速度并做匀速直线运动，已知汽车所受路面阻力恒为Ff，汽车刚开始启动时的牵引力和加速度分别为F0和a0，如图所示描绘的是汽车在这一过程中速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是（ ）
答案 AC
解析 汽车匀加速启动时，a一定，根据v＝at知v均匀增大，根据F＝ma＋Ff知F一定，根据P＝Fv知，功率P也均匀增大，达到P额后，功率保持不变，v继续增大，所以牵引力F＝
减小，a＝
减小，当F＝Ff时，a＝0，vm＝
，此后做匀速运动，故A、C正确，B、D错误．
高考题型2 动能定理的应用
1．应用动能定理解题的基本思路
（1）确定研究对象和研究过程；
（2）进行运动分析和受力分析，确定初、末速度和各力做功情况，利用动能定理全过程或者分过程列式．
2．动能定理的应用
（1）动能定理是根据恒力做功和直线运动推导出来的，但是也适用于变力做功和曲线运动．
（2）在涉及位移和速度而不涉及加速度和时间问题时，常选用动能定理分析．
例2
（2018·河南省郑州一中上学期期中）如图3所示，光滑绝缘的细圆管弯成半径为R的半圆形，固定在竖直面内，管口B、C的连线是水平直径．现有一带正电的、质量为m的小球（可视为质点）从B点正上方的A点自由下落，A、B两点间距离为4R.从小球进入管口开始，整个空间中突然加上一个匀强电场，电场力在竖直方向上的分力大小与重力大小相等，结果小球从管口C处脱离圆管后，其运动轨迹经过A点．设小球运动过程中带电荷量没有改变，重力加速度为g，空气阻力不计，求：
图3
（1）小球到达B点的速度大小；
（2）小球受到的电场力的大小；
（3）小球经过管口C处时对圆管壁的压力．
答案
（1）2
（2）
mg （3）3mg，方向水平向右
解析
（1）小球从开始自由下落至到达管口B的过程中由动能定理得，mg·4R＝
mvB2
到达B点时速度大小为vB＝2
（2）设电场力的竖直分力为Fy，水平分力为Fx，则Fy＝mg，方向竖直向上．小球从B运动到C的过程中，由动能定理得－Fx·2R＝
mvC2－
mvB2小球从管口C处脱离圆管后，做类平抛运动，其轨迹经过A点，有
4R＝vCt
2R＝
axt2＝
t2
联立解得：
Fx＝mg
电场力的大小为：
F＝
＝
mg
（3）小球经过管口C处时，向心力由Fx和圆管壁的弹力FN提供，设弹力FN的方向水平向左，则Fx＋FN＝m
解得：
FN＝3mg（方向向左）
根据牛顿第三定律可知，小球经过管口C处时对圆管壁的压力为FN′＝FN＝3mg，方向水平向右．
拓展训练3
（2018·全国卷Ⅱ·14）如图4，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度．木箱获得的动能一定（ ）
图4
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
答案 A
解析 由题意知，W拉－W阻＝ΔEk，则W拉>ΔEk，A项正确，B项错误；W阻与ΔEk的大小关系不确定，C、D项错误．
拓展训练4
如图5所示，水平轻质弹簧一端固定在墙壁上的O点，另一端自由伸长到A点，OA之间的水平面光滑．固定曲面在B处与水平面平滑连接．AB之间的距离s＝1m．质量m＝0.2kg的物块开始时静置于水平面上的B点，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.现给物块一个水平向左的初速度v0＝5m/s，g取10m/s2.
图5
（1）求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能Ep；
（2）求物块返回B点时的速度大小；
（3）若物块能冲上曲面的最大高度h＝0.2m，求物块沿曲面上滑过程所产生的热量．
答案 见解析
解析
（1）对物块从B点至压缩弹簧最短的过程有
－μmgs－W＝0－
mv02
W＝Ep
代入数据解得Ep＝1.7J
（2）对物块从B点开始运动至返回B点的过程有
－μmg·2s＝
mvB2－
mv02
代入数据解得vB＝3m/s
（3）对物块沿曲面上滑的过程，由动能定理得
－W克f－mgh＝0－
mvB2
又Q＝W克f
代入数据解得Q＝0.5J.
高考题型3 机械能守恒和能量守恒定律的应用
1．机械能守恒的判断
（1）利用机械能守恒的定义判断；
（2）利用做功判断；
（3）利用能量转化判断；
（4）对于绳突然绷紧和物体间非弹性碰撞问题，机械能往往不守恒．
2．解题步骤
（1）选取研究对象，分析物理过程及状态；
（2）分析受力及做功情况，判断机械能是否守恒；
（3）选取参考面，根据机械能守恒列式．
3．应用技巧
对于连接体的机械能守恒问题常常应用重力势能的减少量等于动能的增加量来分析和求解．
例3
（多选）（2018·山西省晋城市二模）如图6甲所示，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图象．已知小球在最高点C受到轨道的作用力为1.25N，空气阻力不计，g＝10m/s2，B点为AC轨道中点，下列说法正确的是（ ）
图6
A．小球质量为0.5kg
B．小球在B点受到轨道作用力为4.25N
C．图乙中x＝25m2/s2
D．小球在A点时重力的功率为5W
答案 BC
解析 由题图乙可知小球在C点的速度大小为vC＝3m/s，轨道半径R＝0.4m，因小球所受重力与弹力的合力提供向心力，所以有mg＋F＝
，代入数值可得m＝0.1kg，选项A错误；由机械能守恒定律可得，小球从B点到C点的过程有
mvB2＝mgR＋
mvC2，解得vB2＝17m2/s2，因小球在B点只有弹力提供向心力，所以有F′＝
，解得F′＝4.25N，选项B正确；再由机械能守恒定律可得，小球从A点到C点的过程有
mv02＝
mvC2＋2mgR，解得小球在A点的速度v0＝5m/s，所以题图乙中x＝25m2/s2，选项C正确；因在A点重力与速度方向垂直，所以小球在A点的重力的功率为0，选项D错误．
拓展训练5
（多选）（2018·辽宁师大附中上学期期中）如图7所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30°，质量分别为M、m的两个物体A、B通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板．开始时用手按住物体A，此时A与挡板的距离为s，B静止于地面，滑轮两边的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态．已知M＝2m，空气阻力不计．松开手后，关于二者的运动，下列说法中正确的是（ ）
图7
A．A和B组成的系统机械能守恒
B．当A的速度最大时，B与地面间的作用力为零
C．若A恰好能到达挡板处，则此时B的速度为零
D．若A恰好能到达挡板处，则此过程中重力对A做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体B的机械能增加量之和
答案 BD
解析 对于A、B、弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，但对于A和B组成的系统机械能不守恒，故A错误；据题意得：
A沿斜面方向的重力分力为Mgsinθ＝mg，可知物体A先做加速运动，当受力平衡时A速度达最大，此时B所受的拉力为FT＝mg，故B恰好与地面间的作用力为零，故B正确；若A恰好能到达挡板处，从B开始运动至A到达底部过程中，弹力的大小一直大于B的重力，故B一直做加速运动，A到达底部时，B的速度不为零，故C错误；若A恰好能到达挡板处，则此过程中重力对A做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体B的机械能增加量之和，故D正确．
高考题型4 力学中功能关系的理解和应用
例4
（2018·全国卷Ⅰ·18）如图8，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为（ ）
图8
A．2mgRB．4mgR
C．5mgRD．6mgR
答案 C
解析 小球从a运动到c，根据动能定理得
F·3R－mgR＝
mv12，又F＝mg，故v1＝2
，
小球离开c点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动．且水平方向与竖直方向的加速度大小相等，都为g，故小球从c点到最高点所用的时间t＝
＝2
，水平位移x＝
gt2＝2R，
根据功能关系，小球从a点到轨迹最高点机械能的增量为力F做的功，即ΔE＝F·（2R＋R＋x）＝5mgR，故选C.
拓展训练6
（多选）（2018·四川省攀枝花市第二次统考）物体由地面以120J的初动能竖直向上抛出，当它从抛出至上升到某一点A的过程中，动能减少40J，机械能减少10J．设空气阻力大小不变，以地面为参考平面，则物体（ ）
A．落回到地面时机械能为70J
B．到达最高点时机械能为90J
C．从最高点落回地面的过程中重力做功为60J
D．从抛出到落回地面的过程中克服空气阻力做功为60J
答案 BD
解析 物体以120J的初动能竖直向上抛出，做竖直上抛运动，向上运动的过程中重力和阻力都做负功，当上升到某一高度时，动能减少了40J，而机械能损失了10J．根据功能关系可知：
合力做功为－40J，空气阻力做功为－10J，对从抛出点到A点的过程，根据功能关系：
mgh－Ffh＝40J，－Ffh＝－10J，得Ff＝
mg；当上升到最高点时，动能为零，动能减小120J，设最大高度为H，则有：
mgH＋FfH＝120J，解得FfH＝30J，即机械能减小30J，在最高点时机械能为120J－30J＝90J，即上升过程机械能共减少了30J；下落过程中，由于空气阻力做功不变，所以机械能又损失了30J，故整个过程克服空气阻力做功为60J，则该物体落回到地面时的机械能为60J，从最高点落回地面的过程中重力做功为mgH＝90J，故A、C错误，B、D正确．
拓展训练7
（多选）（2018·广东省茂名市第二次模拟）如图9所示，两个倾角都为30°、足够长的光滑斜面对接在一起并固定在地面上，顶端安装一光滑的轻质定滑轮，质量分别为2m和m的a、b两物体分别放在左、右斜面上，不可伸长的轻绳跨过定滑轮将a、b两物体连接，b与右边斜面的底端挡板c之间连有轻质弹簧．现用手握住a，使弹簧刚好无形变，系统处于静止状态．松手后，从a、b开始运动到它们速度再次都为零的过程中（绳和弹簧都与斜面平行且弹簧伸长在弹性限度内）（ ）
图9
A．a、b组成的系统机械能守恒
B．a、b和弹簧组成的系统机械能守恒
C．a的重力势能减少量大于弹簧弹力所做的功
D．重力对a做功的平均功率大于弹簧弹力对b做功的平均功率
答案 BCD
解析 弹簧弹力对a、b组成的系统做功，所以a、b系统的机械能不守恒，A错误；对物体a，其重力2mg做正功，绳子的拉力FT做负功，二者的总功为零．对物体b，绳子的拉力FT做正功，其重力mg和弹簧弹力F做负功，总功等于零．绳子的拉力FT的总功等于零，a、b和弹簧组成的系统机械能守恒，B正确；a、b组成系统的机械能转化为弹簧弹性势能，a的重力势能减少量等于弹簧弹性势能增加量与b的重力势能增加量之和，C正确；各力所做功的时间相等，重力对a做功的平均功率等于克服弹簧弹力做功及重力对b做功之和的平均功率，故重力对a做功的平均功率大于弹簧弹力对b做功的平均功率，D正确．
专题强化练
1．（2018·辽宁省葫芦岛市一模）一辆CRH2型动车组的总质量M＝2×105kg，额定输出功率为4800kW.假设该动车组在水平轨道上运动时的最大速度为270km/h，受到的阻力Ff与速度v满足Ff＝kv.当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组的输出功率为（ ）
A．600kWB．1200kW
C．2400kWD．4800kW
答案 B
2．（2018·天津卷·2）滑雪运动深受人民群众喜爱．如图1所示，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中（ ）
图1
A．所受合外力始终为零
B．所受摩擦力大小不变
C．合外力做功一定为零
D．机械能始终保持不变
答案 C
3．（2018·广东省汕头市质检）一质量为m的汽车原来在平直路面上以速度v匀速行驶，发动机的输出功率为P.从某时刻开始，司机突然加大油门将汽车发动机的输出功率提升至某个值并保持不变，结果汽车在速度到达2v之后又开始匀速行驶．若汽车行驶过程所受路面阻力保持不变，不计空气阻力．下列说法正确的是（ ）
A．汽车加速过程的最大加速度为
B．汽车加速过程的平均速度为
v
C．汽车速度从v增大到2v过程中做匀加速运动
D．汽车速度增大时发动机产生的牵引力不断增大
答案 A
解析 设汽车所受的阻力为Ff，则开始时P＝Ffv，加大油门后，P1＝Ff·2v，则P1＝2P.汽车在开始加大油门时的加速度最大，最大加速度为am＝
＝
，选项A正确；若汽车做匀加速运动，则平均速度为
＝
v，但随速度的增加，由P＝Fv可知汽车牵引力减小，则加速度减小，即汽车做加速度减小的加速运动，则平均速度不等于
v，选项B、C、D错误．
4．（2018·河北省唐山市模拟）两轮平衡车（如图2所示）广受年轻人的喜爱，它的动力系统由电池驱动，能够输出的最大功率为P0，小明驾驶平衡车在水平路面上沿直线运动，受到的阻力恒为Ff.已知小明和平衡车的总质量为m，从启动到达到最大速度的整个过程中，小明和平衡车可视为质点，不计小明对平衡车做的功．设平衡车启动后的一段时间内是由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则（ ）
图2
A．平衡车做匀加速直线运动过程中能达到的最大速度为v＝
B．平衡车运动过程中所需的最小牵引力为F＝ma
C．平衡车达到最大速度所用的时间t＝
D．平衡车能达到的最大行驶速度v0＝
答案 A
解析 平衡车做匀加速直线运动过程中，由牛顿第二定律，F－Ff＝ma，则根据P0＝Fv可得能达到的最大速度为v＝
＝
，选项A正确；当平衡车的加速度为零时，牵引力最小，此时F＝Ff，选项B错误；平衡车匀加速达到最大速度所用的时间t＝
＝
，匀加速结束后，平衡车可减小牵引力，减小加速度，最后当牵引力等于阻力时达到最大速度，此时vm＝
，可知平衡车达到最大速度所用的时间大于t＝
，选项C、D错误．
5．（多选）如图3所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置．物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点．在从A到B的过程中，物块（ ）
图3
A．加速度先减小后增大
B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功
D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
答案 AD
解析 由A点开始运动时，F弹>Ff，合力向右，小物块向右加速运动，弹簧压缩量逐渐减小，F弹减小，由F弹－Ff＝ma知，a减小；当运动到F弹＝Ff时，a减小为零，此时弹簧仍处于压缩状态，由于惯性，小物块继续向右运动，此时F弹6．（多选）（2018·广东省潮州市下学期综合测试）如图4所示，竖直平面内有一半径为R的固定
圆轨道与水平轨道相切于最低点B.一质量为m的小物块P（可视为质点）从A处由静止滑下，经过最低点B后沿水平轨道运动，到C处停下，B、C两点间的距离为R，物块P与圆轨道、水平轨道之间的动摩擦因数均为μ.现用力F将该小物块沿下滑的路径从C处缓慢拉回圆弧轨道的顶端A，拉力F的方向始终与小物块的运动方向一致，小物块从B处经圆弧轨道到达A处过程中，克服摩擦力做的功为μmgR，下列说法正确的是（ ）
图4
A．物块在下滑过程中，运动到B处时速度最大
B．物块从A滑到C的过程中克服摩擦力做的功等于2μmgR
C．拉力F做的功小于2mgR
D．拉力F做的功为mgR（1＋2μ）
答案 CD
解析 物块在下滑过程中，开始阶段，重力沿轨道切线方向的分力大于滑动摩擦力，物块的速度增大．后来，重力沿轨道切线方向的分力小于滑动摩擦力，速度减小，则当重力沿轨道切线方向的分力等于滑动摩擦力时速度最大，此位置在AB之间，故A错误；物块缓慢地从B被拉到A，克服摩擦力做的功为μmgR，而物块从A滑到B的过程中，物块做圆周运动，根据向心力知识可知物块所受的支持力比缓慢运动时要大，则滑动摩擦力较大，所以克服摩擦力做的功Wf大于μmgR，因此物块从A滑到C的过程中克服摩擦力做的功大于μmg·2R，故B错误；从C到A的过程中，根据动能定理得：
WF－mgR－μmgR－μmgR＝0－0，则由此可得拉力F做的功为WF＝mgR（1＋2μ），故D正确；从A到C的过程中，根据动能定理得：
mgR－Wf－μmgR＝0，因为Wf>μmgR，由此可得：
mgR>μmgR＋μmgR，由以上可得：
WF<2mgR，故C
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