积分中值定理的应用Word文件下载.doc

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（1）

定理2（推广的积分第一中值定理）若在闭区间上连续，且在上不变号，则在至少存在一点，使得

（2）

证明：

（推广的积分第一中值定理）

不妨设在上则在有

其中m,M分别为在上的最小值与最大值，则有：

若，则由上式知，从而对上任何一点，定理都成立。

若则由上式得：

则在上至少有一点，使得

即：

显然，当时，

（2）式即为

（1）式

二、积分中值定理的应用

由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，

在应用积分中值定理时应注意以下几点：

（1）在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件，否则，结论不一定成立。

例如：

显然在处间断。

由于

但在上，，所以，对任何都不能使.

（2）定理中的在上不变号这个条件也不能去掉.

令：

所以，不存在，使

（3）定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必须是的内点。

都有：

这也说明了未必是区间的内点。

下面就其应用进行讨论。

1、估计定积分的值

例1、估计的值

解：

由推广的积分第一中值定理：

，其中

2、求含有定积分的极限

例2、求

若直接用中值定理

因为而不能严格断定。

其症结在于没有排除，故采取下列措施：

，其中为任意小的正数。

对第一个积分使用推广的积分第一中值定理，有：

而第二个积分：

由于的任意性知其可任意小。

注：

求解此类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号。

在应用该定理时，要注意中值不仅依赖于积分区间，而且还依赖于限式中自变量的趋近方式。

3、证明中值的存在性命题

例3、设函数在上连续，在内可导，且

由积分中值定理得：

注：

在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用按积分中值定理。

4、证明积分不等式

例4、求证

证明:

其中,于是由即可获证.

由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理。

5证明函数的单调性

例5、设函数在上连续，,试证：

在内,若为非减函数，则为非增函数.

对上式求导，得：

利用积分中值定理，得：

若为非减函数，则，

，故为非增函数。

参考文献：

1、《数学分析》刘玉琏,傅沛仁编，高等教育出版社，上海1988年出版。

2、《高等数学解题方法指导》，马玲主编，大连理工大学出版社，大连1996年出版。

3、《高等数学题库精编》，薛嘉庆主编，东北大学出版社，沈阳2000年3月出版。

白永丽:

平顶山工业职业技术学院邮编467000

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