微分与积分中值定理及其应用.doc
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黄石理工学院数理学院毕业设计（论文）
第二讲微分与积分中值定理及其应用
1微积分中值定理 5
1.1微分中值定理 5
1.2积分中值定理 6
2微积分中值定理的应用 17
4.1证明方程根（零点）的存在性 17
4.2进行估值运算 19
4.3证明函数的单调性 20
4.4求极限 21
4.5证明不等式 22
引言
Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理。
微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。
1微积分中值定理
微分中值定理
罗尔（Rolle）定理:
若函数满足如下条件
（ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；
（ⅱ）在开区间（a,b）内可导；
（ⅲ）,
则在（a,b）内至少存在一点，使得
．
朗格朗日（Lagrange）中值定理:
设函数满足如下条件：
（ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；
（ⅱ）在开区间（a,b）上可导；
则在（a,b）内至少存在一点，使得
．
柯西中值定理:
设函数和满足
（ⅰ）在[a,b]上都连续；
（ⅱ）在（a,b）内都可导；
（ⅲ）和不同时为零；
（ⅳ），
则存在，使得
．
微分中值定理的推广
罗尔定理的推广
定理1:
设函数在（a,b）内可导，且有
，则存在点
，使得．
证明：
首先对A为有限值进行论证：
令
则易知函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导且．由Rolle定理可知，在（a,b）内至少存在一点，使得，而在（a,b）内有，所以．
其次对A=（）进行论证：
由引理1，在（a,b）内能取得最小值（最大值）．不妨设：
函数在处取得最小值（最大值）．此时函数在处也就取得极小值（极大值）．又因为在处可导，由Fermat引理，可得．
综上所述，从而定理得证．
定理2:
设函数在（a,）,内可导，且，证明：
在（a,）中存在一点，使得．
定理3:
设函数在（，b）,内可导，且，证明：
在（,b）中存在一点，使得．
定理4:
设函数在（，）,内可导，且，证明：
在（,）中存在一点，使得．
朗格朗日中值定理的推广
定理5:
如果函数满足条件：
在开区间（a,b）上可导且存在，则在（a,b）内至少存在一点，使得．
柯西中值定理的推广
定理6:
如果函数f（x）和F（x）满足条件：
①都在有限区间（a,b）内可导；
②
③
则在（a,b）内至少有一点，使得
证明：
作辅助函数A（x）,B（x）,并且令
则A（x）,B（x）在闭区间[a,b]上连续，开区间（a,b）内可导,
且对由Cauchy中值定理可知，至少有一点使得
又当时,
∴
即：
1.2积分中值定理
积分中值定理:
若在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点使得
.
积分中值定理的推广
推广的积分第一中值定理:
若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得
第一型曲线积分中值定理:
若函数在光滑有界闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使。
其中表示曲线的长。
第二型曲线积分中值定理:
若函数在有向光滑闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使
其中为有向光滑曲线在轴上的投影，符号是由曲线的方向确定。
第一型曲面积分中值定理:
若为平面上的有界闭区域，是光滑曲面，函数在上连续，则曲面上至少存在一点，使得
其中是曲面的面积。
第二型曲面积分中值定理:
若有光滑曲面：
，，其中是有界闭区域，函数在上连续，则在曲面上至少存在一点，使得
其中是的投影的面积。
3微积分中值定理的应用
3.1证明方程根（零点）的存在性
例1：
设函数和在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则在（a,b）内存在一点，使得．
证明：
令，则
，又有
，．易知在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，故运用Lagrange中值定理可得，存在一点，使得，
即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证．
例2:
设函数和在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且在闭区间[a,b]上，有意义，．则在（a,b）内存在一点，使得．
证明：
令，，易知和在区间[a,b]上满足Cauchy中值定理条件，故有，
即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证．
例1：
设为三个实数，证明：
方程的根不超过三个.
证明：
令，
则，，.
用反证法，设原方程的根超过程3个，那么F（x）至少有4个零点，
不妨设为，
那么有罗尔定理，存在,使
，
再用罗尔定理，存在,使,
再用罗尔定理，存在,使,
因为,所以,矛盾，所以命题得证.
例2：
设函数在上连续，且。
证明：
一个，使。
证明：
令，显然在上连续。
可知在上满足零值定理。
故一个，使。
即
例3：
设实数满足关系式：
。
证明：
在内至少有一个实根。
证明：
令
显然在上连续，在内可导，
又，，故罗尔定理成立。
于是，使，
即：
。
故命题得证。
例4：
设在上连续。
，。
证明：
一个，使
证明：
在上连续，有最值定理有：
，
分别为在上最小最大值，于是：
，
，
，
由介值定理，一个，使
例5：
若在上连续，在内可导，证明在内方程至少存在一根。
证明:
令，
显然在上连续,在内可导，
而.
根据Rolle定理,至少存在一点，
使.
例6：
设在，在，证明：
在内存在一点，
使成立。
证明:
，则在，在，
由Lagrange定理，存在一点，使，
即，
即
例7：
设在，在，证明:
在内存在一点，
使成立。
证明：
令，对，在上运用Cauchy定理，
得，
即，
即.
例8：
证明方程在（0，1）内至少有一个根。
（p46,209）
例9:
设抛物线与x轴有两个交点x=a,x=b（a上二阶可导，f（a）=f（b）=0,并且曲线y=f（x）与在（a,b）内
有一个交点，证明：
存在使得（p46,209）
例10证明：
方程有且仅有三个实根（p46,211）
3.2进行估值运算
例1：
估计的值.
解：
由推广的积分第一中值定理,得
其中
因为
所以
即
故
例2：
估计的积分
解：
由于
，
即
。
于是
此时可得到估计的积分值为
。
3.3证明函数的单调性
例1；设函数在上可导，单调增加且，证明在上单调增加.
例2：
设函数在上连续，,试证：
在内,若为非减函数，则为非增函数.
证明：
对上式求导，得：
利用积分中值定理，得：
若为非减函数，则，
，故为非增函数。
3.4求极限
例1：
求。
解：
对函数在区间
上应用拉格朗日中值定理即可。
例2：
求，其中。
解：
根据题意，由Lagrangge定理，有
其中，
例3：
求极限
解：
利用广义积分中值定理
则
3.5证明不等式
例1：
求证
证明：
其中,于是由即可获证.
例2：
证明.
证明：
估计连续函数的积分值的一般的方法是求在的最大值和最小值,则
.
因为
所以
.
例3：
证明
证明：
估计积分的一般的方法是:
求在的最大值和最小值,又若,则
.
本题中令
.
因为
所以
.
例4：
证明.
证明：
在区间上求函数的最大值和最小值.
令,得驻点.
比较,,知为在上的最小值,而为在上的最大值.由积分中值定理得
即
.
3.6推广定理的应用
例1：
设在上可得，且，证明：
，使得
。
证明：
问题相当于要找，使，因函数在内可导，故，即
又，即
所以
由定理4知，使得，即题目得证。
．
．
例2：
设在[a,b]上连续（），在（a,b）上可导，证明存在一点，使得．
证：
根据定理7，令，那么，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得．
例5：
设a,b>0，证明存在一点，使得．
证：
根据定理7，令，，那么，，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得．
例6：
证明：
若是柱准面上的部分，是上的连续函数，则
证明：
设是在平面的上半部分，为在平面的下半部分，则。
由积分区间的可加性，有：
由于函数在：
上的部分上连续，所以函数在上连续，根据广义Riemann积分中推广，在上至少存在一点，使·
其中表示在平面上的投影区域的面积，由于关于平面对称，所以对上述，对应点，又与的方向相反，故有：
·
其中表示在平面上的投影区域的面积，又由于关于平面对称，所以有＝，。
所以有：
＝[·－·＝0
证明完毕。
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