寒假讲义第三章矩形和菱形.docx

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寒假讲义第三章矩形和菱形

寒假讲义第三章矩形和菱形

第一讲矩形的性质

【自主学习】

一、温故知新：

回顾平行四边形有哪些性质？

然后填空。

1、平行四边形的对边__________相等。

表示方法：

若四边形ABCD是平行四边形，则___________;

2、平行四边形的对角__________相等。

表示方法：

若四边形ABCD是平行四边形，则___________;

3、平行四边形的对角线________。

表示方法：

在□ABCD中，AC与BD相交于O，则______________

4、平行四边形的对称性：

平行四边形是___对称图形，而不是______对称图形，对角线的交点是平行四边形的_________.

二、学习新知：

1．思考：

拿一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个顶点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？

为什么？

当平行四边形移动到一个角是直角时，这时的图形是________形。

归纳：

矩形定义：

__________________________________叫做矩形（通常也叫_________）．

2、矩形的性质：

矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：

矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．

【合作探究】如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什

么发现？

将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有

AO=BO=CO=DO=

AC=

BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半．

【典例讲解】

例1、在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACD=30°，AB=4.

（1）判断△AOD的形状；

（2）求对角线AC、BD的长.

例2、矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．

（A）12cm（B）10cm（C）7.5cm（D）5cm

例3、已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=4cm。

求矩形对角线的长。

例4、已知：

如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC。

求证：

EA=ED.

例5、已知：

矩形ABCD中，BC=2AB，E是AD的中点，求证：

EB⊥EC．

【巩固练习】

1．填空：

（1）矩形的定义中有两个条件：

一是，二是．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．

2．下列说法错误的是（）．A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等

C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．

A、2对B、4对C、6对D、8对

4．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为__________cm，cm，cm，cm．

5、已知：

如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

第二讲矩形的判定

【自主学习】

1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．

3.想一想：

矩形有哪些性质？

在这些性质中那些是平行四边形所没有的？

列表进行比较.

平行四边形

矩形

边

角

对角线

【合作探究】

1、矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形不具有的性质是：

2、怎样判定一个平行四边形是矩形呢?

总结：

矩形的判定方法．矩形判定方法1：

______________________________

矩形判定方法2：

_______________________________

【典例讲解】

例1、已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．

例

2、已知：

如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：

四边形EFGH是矩形．

例3、已知：

如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．

例4、已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，三角形CBE是等边三角形，求证：

四边形ABCD是矩形。

【巩固练习】

1、下列各句判定矩形的说法是否正确？

为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

   （3）四个角都相等的四边形是矩形；（）

     （4）对角线相等的四边形是矩形；（）

     （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）

   （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（）

2、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；

⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：

；

⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：

；

第三讲菱形的性质

【自主学习】自学课本的内容，完成下列问题：

1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来

的四边形叫做菱形

2.

按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？

②菱形是图形？

有对称轴。

图中相等的线段有：

图中相等的角有：

【合作探究】

1、你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？

自己完成证明。

菱形的性质1：

菱形的性质2：

菱形的性质3：

2、比较菱形的对角线和一般平行四边形的对角线你会发现什么？

你能利用菱形的对角线求菱形的面积吗？

如果菱形的两条对角线长分别是a和b，计算菱形的面积S。

【典例讲解】

例1．______________的平行四边形叫做菱形．

例2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,则

AB=AD=_______=_______,即菱形的_______________相等，图中

的等腰三角形有__________________，直角三角形有

______________，△AOD≌____________≌____________

≌_____________，由此可以得出菱形的对角线__________________,每一条对角线________________．

例3、按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得

到_____________的四边形是菱形．

例4、菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面积是______．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例5、下面性质中，菱形不一定具有的是（　）

　A对角线相等　　　B是中心对称图形　　　C是轴对称图形　　　D对角线互相平分

例6、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:

2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________．

例7、如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线AC长10cm。

求

（1）对角线BD的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

例8、已知：

如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：

∠AEF=∠AFE．

例9、如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。

第四讲菱形的判定

【自主学习】

温故知新：

1．菱形的定义：

2.菱形的性质

边：

__________________________;______________________________

角：

__________________________;______________________________

对角线：

______________________________________________________

对称性：

.

【合作探究】

二、学习新知：

探究一：

如图，四边形是菱形吗？

为什么？

菱形判定方法1：

有一组邻边的平行四边形是菱形

探究二：

用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

菱形判定方法2　：

对角线的平行四边形是菱形

证明上述结论：

菱形判定方法3：

的四边形是菱形

【典例讲解】

例1、如图，

ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6

求证:

四边形ABCD是菱形.

例2、如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．

（1）求证：

△ADE≌△CBF．

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?

请证明你的结论．

例3、已知：

如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：

四边形MEND是菱形．

【巩固练习】

1．填空：

（1）对角线互相平分的四边形是；

（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．

2．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．

（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直

（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分

3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，

求证：

四边形OCED是菱形。

4．已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

第5讲直角三角形的性质和判定专题学习

【自主学习】

1、直角三角形的性质：

（1）在直角三角形中，两锐角；

（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半；

（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________；

（4）勾股定理：

2、直角三角形的判定：

（1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形；

（2）勾股逆定理：

【合作探究】

猜想验证：

1．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角

等于________。

画出图形写出已知求证，并完成证明。

２.如果三角形一边上的中线等于这条边的，那么这个三角形是直角三角形。

画出图形写出已知求证，并完成证明。

【典例讲解】

例1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB，

（1）若BD=8，求AB的长；

（2）若AB=8，求BD的长。

例2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，

求CD和∠DCE。

例３、如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。

【巩固练习】

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2cm，AC=BC，CD⊥AB于D点，则CD=_______cm；

2、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形

3、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：

2：

3，它的最大边长为6cm，那么它的最小边长为_________cm；

4、直角三角形中一个锐角为30°，斜边和较小的边的和为

12cm，则斜边长为_____________;

5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4cm，

∠B=30°，则AC=_____cm

6、将一张长方形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C

落在C′点.已知AB=2,∠DEC′=30°,则折痕

DE的长为（）

A、2B、

C、4D、1

７、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。

MN、AC的位置关系如何？

证明你的猜想。