244弧长和扇形面积讲义 学生版.docx
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244弧长和扇形面积讲义学生版
24.4弧长和扇形面积
一、教学目标
(1)掌握扇形的面积公式,会利用扇形的弧长公式进行有关的计算.
(2)了解圆锥的侧面展开图是一个扇形.
(3)了解圆锥侧面积、全面积的计算方法,并会运用公式解决问题.
2、教学重难点
(1)教学重点:
弧长公式、圆锥及有关概念;
(2)教学难点:
圆锥的侧面积和全面积;
知识点一:
弧长公式
在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr,所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°(l=n°x2πr/360°)
例:
半径为1cm,45°的圆心角所对的弧长为
l=nπr/180
=45×π×1/180
=45×3.14×1/180
约等于0.785
【提醒】
(1)在弧长公式中,n表示“1°”的圆心角的倍数,在公式计算时,“n”和“180”不应再写单位;
(2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量,即三个量中知二可求一;
(3)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等,度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长相等的弧也不一定是等弧,要充分注意,只有在同圆或等圆中,才可能是等弧,才有这三者的统一.
例1.如图,AB是⊙O的直径,点D为⊙O上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则
的长为( )
A.
B.
C.2πD.
例2.如图,⊙O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为( )
A.2πB.
C.
D.
变式1.一个扇形的圆心角是120°.它的半径是3cm.则扇形的弧长为 cm.
变式2.一个扇形的圆心角为120°,它所对的弧长为6πcm,则此扇形的半径为 cm.
知识点二:
扇形与扇形的面积公式
1.扇形的定义
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。
显然,它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
《几何原本》中这样定义扇形:
由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。
2.扇形的面积公式
①角度制计算
其中l是弧长,n是扇形圆心角,π是圆周率,R是扇形半径。
②弧度制计算
,其中l是弧长,|α|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值,R是扇形半径。
【提醒】
(1)对于扇形的面积公式与三角形的面积公式有些类似,可以把扇形看作一个曲边三角形,吧弧长l看做底边,R看做高,这样对比,便于记忆,也便于应用,实际上,把扇形的弧分得越来越小,作经过各分点的半径,并顺次连接各分点,得到越来越多的小三角形,那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.
(2)根据扇形面积公式和弧长公式,已知S,l,n,R四个量中的任意两个,都可以求出另外两个量.
例1.一个扇形的圆心角为135°,弧长为3πcm,则此扇形的面积是 cm2.
例2.已知扇形的弧长为2πcm,圆心角为120°,则扇形的面积为 cm2.
变式1.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为( )
A.
2B.
C.πm2D.2πm2
变式2.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,⊙C的半径为3,则图中阴影部分的面积是( )
A.πB.2πC.3πD.6π
知识点三:
圆锥及有关概念
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体,如图所示,我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
【提醒】
圆锥的特征:
(1)底面的特征:
圆锥的底面都是一个圆。
(2)侧面的特征:
圆锥的侧面是曲面。
(3)高的特征:
一个圆锥只有一条高。
(4)母线的特征:
圆锥母线的长度大于圆锥的高。
圆锥的底面半径r,高h和母线l构成了一个直角三角形,由勾股定理可得,半径的平方+高的平方=母线的平方.
点拨方法:
判断一个图形是圆锥的条件:
①底面是一个圆;②侧面是一个曲面,③只有一条条高;④有一个顶点。
例1.说一说下面哪些是圆锥
例2.
1、判断
(1)圆柱有无数条高,圆锥只有一条高。
()
(2)从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫做圆锥的高。
()
(3)圆锥从正面或侧面看,都是一个等腰三角形。
()
2、下面图形中是圆锥的在括号里打“√”,不是的打“×”。
(1)()
(2)()(3)()(4)()(5)()
变式1.下面各图标出圆锥的高正确吗?
为什么?
变式2.下列对高的测量正确的是()
ABC
拓展点一:
弧长公式的应用
例1.如图,A,B,P是半径为2的⊙上的三点,∠APB=45°,则
的长为( )
A.πB.2πC.3πD.4π
例2.如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=30°,⊙O的半径为6,则
的长等于( )
A.πB.2πC.3πD.4π
例3.如图,A、B、C三点在⊙O上,若∠BAC=36°,且⊙O的半径为1,则劣弧BC的长是( )
A.
πB.
πC.
πD.
π
变式1.如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连结BC.
(1)求证:
AE=ED;
(2)若AB=10,∠CBD=36°,求
的长.
拓展点二:
扇形面积公式的应用
例1.如图,△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD长为半径画一弧交AC于E点,若∠A=60°,∠B=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为何?
( )
A.
B.
C.
D.
例2.如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.4π﹣16B.8π﹣16C.16π﹣32D.32π﹣16
变式1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,若AB=2,AC=
.
(1)求∠A的度数.
(2)求弧CBD的长.
(3)求弓形CBD的面积.
拓展点三:
阴影部分的面积的计算
例1.如图所示,扇形AOB的圆心角为120°,半径为2,则图中阴影部分的面积为 .
例2.已知:
如图,AB是⊙O的直径,OC⊥AB,D是CO的中点,DE∥AB,设⊙O的半径为6cm.
(1)求DE的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
拓展点四:
圆锥的有关计算
例1.求下列圆锥的体积。
(单位:
cm)
例2.一个扇形纸片的半径为30,圆心角为120°.
(1)求这个扇形纸片的面积;
(2)若用这个扇形纸片围成一个圆锥的侧面,求这个圆锥的底面圆半径.
拓展点五:
运动型问题
例1.已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,△ABC绕AC边旋转一周得到一个圆锥体,求圆锥体的全面积.