定积分练习题.docx
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定积分练习题
题型
1.定积分与极限的计算
2.计算下列定积分
3.计算下列广义积分
内容
一．定积分的概念与性质
1.定积分的定义
2.定积分的性质
3.变上限函数及其导数
4.牛顿—莱布尼茨公式
5.换元积分公式与分部积分公式
6.广义积分
题型
题型I利用定积分定义求极限
题型II比较定积分的大小
题型III利用积分估值定理解题
题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题
题型V定积分的计算
题型VI积分等式证明题型VII积分不等式证明
题型VHI广义积分的计算
自测题五
1.根据极限计算定积分
2.根据定积分求导
3.求极限
4.求下列定积分
5.证明题
4月21日定积分练习题
基础题：
一•选择题、填空题
A.
1e-e
B.2e
2
C_
e
D.e
1e
1
J
dx,
-J
7.右m
exdx,n
贝Um与n
的大小关系是（
）
0
1x
A.m
nB.
mn
C.m
nD.
无法确定
8•按万有引力定律，两质点间的吸引力Fkmimm2,k为常数，m1,m2为两质点的质量，
r
r为两点间距离，若两质点起始距离为a,质点沿直线移动至离m?
的距离为b处，试求
所作之功（
b>a）
9•由曲线
2
yx
1和x轴围成图形的面积等于S•给出下列结果：
12
①（X2
1、
1）dx;
1
②1（1
2
x）dx;
1202
③2o（x1）dx:
④2,1x）dx
则S等于
（）
A.①③
B.'
③④
C.②③
D.②④
x
10.y°（sintcostsint）dt，贝Vy的最大值是（）
A.1B.2
C.7
2
D.0
11.若f（x）是一次函数，
1
且0f（x）dx
1
5,Qxf（x）dx
17
—，那么
6
12f?
dx的值是
x
x0处连续，则c（）。
（A）.c0;
（B）.c1;
（C）.c不存在；
（D）.c1.
x
tf（t）dt
13.F（x）一-一,x0，其中f（x）在x0处连续，且f（0）0若F（x）在
x
c,x0
x0处连续，则c（）。
（A）.c0;
（B）.C1；
（C）.c不存在；
（D）.C1.
14•设bf（x）dx0且f（x）在［a,b］连续，则（
（A）.f（x）0;
（B）.必存在x使f（x）0;
（C）.存在唯一的一点x使f（x）0；
（D）.不一定存在点x使f（x）0。
15•设f（x）
sinx
x
，贝U0f（x）cos2xdx（）其余0
（A）3
4
（B）
（C）1
（D）—1
16.=
17.
定积分
等于
18.
定积分
等于（
（A）
0
（C）
19.
定积分
等于（
（A）
0
（C）
）
）
20.定积分等于（）
（B）
（D）
（B）
（D）
（B）
（A）
（C）
（D）
21.设
f（x）
x2
ln（1
t）dt,g（x）
arcsin^dt,则当x
02
0时,f（x）是g（x）的（）
（A）
同阶无穷小，但不等价
（B）等价无穷小
（C）低价无穷小
（D）高价无穷小
（A）
F（—）为极大值
F（0）为最小值
（B）
F（―）为极大值
但无最小值
（C）
F（―）为极小值
但无极大值
（D）
F（才为最小值
F（0）为最大值
综合题:
22.F（x）etcostdt,则F（x）在[0,]上有（）
0
（1）
1x2,
2dx
0x2x2
1
°ln（1x）dx
2
（3）2（x2‘4x2xcos5x）dx
dx
Inx）lnx
2
⑸0
（32xx
2tan2x[sin22xIn（x.1x2）]dx
2
dx
~3
爭
2
⑺0—
02
-4=x2dx
（8）已知函数f（x）在［0,2］上二阶可导，且:
f（x）dx4,求
；x2f''（2x）dx
f
（2）1,
f'
（2）0及
（9）1
arctanx,
2dx
x
dx
（0）1e^V7
0、、1tdt0sintdt）
（12）
1
12\10」
（1x）dx
1'/
（13）求极限lim（
x0
（14）用定积分定义计算极限：
lim（
n
22
2
xx
n-2）
n
（15）设隐函数yy（x）由方程x3
xt2
etdt
0
y3
In4
0所确定,
2xt2
0（e1）dt
（16）设f（x）x2
Ax0
处可导，并求出f'（0）.
°,问当A为何值时,
f（x）在x
b
af（x）dx
（17）设f（x）cos4x2：
f（x）dx,其中f（x）为连续函数，试求:
f（x）
x0a
xa
4月22日定积分练习题
基础题：
1.积分中值定理gf（x）dx
f（）（ba）
，其中（）。
（A）
是［a,b］内任一点；
（B）.
是［a,b］内必定存在的某一点；
（C）.
是［a,b］内唯一的某一点；
（D）.
是［a,b］的中点。
1
2.1。
x）.1x2dx（
）
（A）
（B）—
（C）2
（D）—
2
4
3.设f
1
C［0,1］，且
0
f（x）dx2,
2
贝y'f（cosx）sin2xdx
（A）2
（B）3
（C）4
（D）1
4.设f（x）在［a,b］上连续，且
0,则（
）。
（）
2
（18）设正整数a，且满足关系lim（-—）x1xe4xdx，试求a的值。
2
5.x32x2xdx=（）
0
（A）-（2.2）
15
4厂
（B）-（22）
（C）
（C）ln（1lnx）ln（12x）
（D）ln（1lnx）2ln（12x）
（A）连续,但不可导
（B）可导,但导函数不连续
（C）不连续
（D）导函数连续
11
（A）
（B）
（C）
（D）
dx
1
1e
1e
1e
1e
1
填空、选择题
（1）02sin8xdx,02cos7xdx
4月23日定积分练习题
•计算下列定积分的值
（4x
x2）dx；
（2）
2（x1）5dx-
I'7，
（3）02（xsinx）dx;（4）
cos2xdx；
（5）
n
22cos0
（6）
1
0（2x3）dx；
（7）
11
01
（8）
e2dxexlnx；
（9）
1x
1e
02
（10）
■32
3tanxdx
0
（11）
9—
4（X
1
x）dx;
•x
4dx
（12）
（13）
：
丄（Inx）2dxex
2
（14）0
5cos
xsin2xdx;
（15）02
exsinxdx;
（1®
dx
r^;
（17）
cosx
:
~2~sinx
dx;
1dx
（18）0g
二求下列极限:
1x2
⑴lim；0costdt;
⑵lim
X
xt22
°edt）
Jdt
0
三•利用定积分求极限
（1）lim
n
n—
（n
1
（n2）2
1
（nn）2
（2）lim
n
1
n（L
1
（n22）
1
27）;
四•证明题
（1设f'（x）在（
）上连续,
证明：
2（
dx
x
a（xt）f'（t）dt）
f（x）
f（a）。
・3
（2）证明:
2sinxdx
0sinxcosx
3
2cosx
0sinxcosx
dx,并求出积分值。
⑶设函数f（x）在［0,］上连续，且of（x）dx0,of（x）cosxdx0试证明在（0,）内至少
存在两个不同的点1,2,使f
（1）f
（2）0
x
（作辅助函数F（x）°f（t）dt,x（0,）,再使用积分中值定理和Rolle定理）
1
（4）设f（x）在［0,1］上可导，且满足f
（1）2jxf（x）dx,证明：
必存在点（0,1），
使得f'（）丄0（利用积分中值定理和Rolle定理证明）
4月24日定积分练习题
、填空题:
b
1.
如果在区间[a,b]上，f（x）1,则f（x）dx
a
0
（E）
F（―）为极大值
F（0）为最小值
（F）
F（―）为极大值
但无最小值
（G）
F（—）为极小值
但无极大值
（H）
F（?
）为最小值
F（0）为最大值
x
xsintdt
dy
8.设方程组0
确定了y是x的函数，则
鱼（
y0costdt
dx
（A）
cott
（B）tant
（C）
sint
（D）cost
9.设f（x）是区间a,b
x22厂
上的连续函数，且f（t）dtx、3，则f
（2）（
1
）
2设I1=xdx,
1o
I2=%2dx，则[]
1
（A）2
（B）-2
（C）
（D）
1
4
i
4
（A）
1
（B）
（C）
（D）
11.定积分
=（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
12.下述结论错误的是
（）
（A）0
Jdx
发散
（B）
1x
（C）
0
（D）
13.设函数
，则极限
等于（
）
（A）
（B）
（C）
（D）不存在
10.定积分
（）
一dx收敛
1x
%dx发散
1x2
x
14.设f（x）为连续函数，且满足0f（tx）dt
ex1，则f（x）
（A）
（B）xex
（C）xe
（D）xex
15.设正定函数
C[a,b）,F（x）
x
af（t）dt
x1
b帀dt，则F（x）0在
（a,b）内根的个数为（）
（A）0（B）1
（C）2
（D）3
16.定积分的定义为
（A）随然要求当
af（X）dX
limf（JXj,以下哪些任意性是错误的?
i1
maxXj0时，f（JXj的极限存在且有限，但极限值仍是
ji
任意的。
（B）积分区间［a,b］所分成的分数n是任意的。
（C）对给定的份数n，如何将［a,b］分成n份的分法也是任意的，即除区间端点
ax0,bXn外，各个分点x1x2
Xn1的取法是任意的。
［Xj1，Xj］的取法也是任意的。
.Inx
d
17.
ln（1
dX2x
t）dt
=（）
（D）
丄1门（1
X
lnx）
2ln（12x）
（E）
丄ln（1
X
lnx）
ln（1
2x）
（F）
ln（1Inx）
ln（1
2x）
（D）
ln（1Inx）2ln（1
2x）
（D）对指定的一组分点，各个
18.4（ft21tdt）（）
dx
（A）x2.1X（B）
（C）X41X2（D）
三.计算题：
1.—X-1t2dt2.
dx0
2xUx2
sinxdx
5.
7.
1dx
4.
Xt22
（0$dt）2
Xte2^dt
0
_1
x2
1
te
2dt
=dx（aa
0）
6.
4dx
1
8.
-x
edx
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