专题一特殊的平行四边形.docx

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专题一特殊的平行四边形

专题一：

特殊的平行四边形矩形菱形正方形

一、学法指引

矩形菱形正方形是特殊的平行四边形，因此它们既具有平行四边形的一般性质，又具有自己的特殊性质，要求掌握各自的性质，判定，并能运用性质、判定解决相关问题

同时注意它们的包含与被包含的关系。

二、探究与思考

1）探究矩形的定义，性质，判定

①矩形的定义

矩形定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

②矩形的特殊性质

因为平行四边形的对角相等，邻角互补，而矩形有一个角是直角，所以矩形的四个角都是直角

.

矩形性质1　矩形的四个角都是直角．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，显然

△ABC≌△DCB,所以AC=BD,

矩形性质2　矩形的对角线相等．

直角三角形的性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

由性质2有AO=BO=CO=DO=

AC=

BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

例1、已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

！

例2、已知：

如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长

—

例3、如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，点E、F、G、H分别在四边形的边上。

求证：

FH=EG

讲中练

1．填空：

（1）矩形的定义中有两个条件：

一是，二是．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．

2．下列说法错误的是（）．

:

A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等

C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．

A、2对B、4对C、6对D、8对

4．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为__________cm，cm，cm，cm．

5、如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE=3∠BAE，则∠BAE=，

∠EAC=。

，

6、已知如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

^

7、如图（a），在矩形ABCD中，两条对角线交于点O,∠AOD＝120°，AB＝4．求：

（1）矩形对角线长；

（2）BC边的长;（3）若过O垂直于BD的直线交AD于E，交BC于F（图4-31（b））．求证：

EF＝BF，OF=CF；（4）如图4-31（c），若将矩形沿直线MN折叠，使顶点B与D重合，M，N交AD于M，交BC于N．求折痕MN长．

^

③矩形的判定：

判定一：

有一个角是90°的平行四边形

判定二：

有三个内角是直角的四边形

判定三：

对角线相等的平行四边形

由判定一、三可知要证明一个四边形是矩形，一般先证明它是平行四边形，再证明有一个角是直角。

例4、如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线。

四边形FDEC是矩形吗为什么

}

例5、如图，□ABCD的4个内角平分线围成的四边形PQRS是矩形吗为什么

例6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。

四边形EFGH是矩形吗为什么

讲中练

{

1、正确的打“√”，错误的打“×”

（1）四个角相等的四边形是矩形（）。

（2）对角线相等的四边形是矩形（）。

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）。

（4）一组对边平行另一组对相等且对角线相等的四边形是矩形（）。

2、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能识别它为矩形的是（）．

A、AO＝CO，BO＝DO，AB＝BCB、AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC

C、AB∥CD，AD∥BC，AO＝COD、AO＝BO＝CO＝DO

3、【问题一】如图，四边形ABCD中，AB＝

，BC＝

，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知道AD的长吗

^

【问题二】把矩形ABCD沿BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE是什么图形，并证明你的猜想。

!

4、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。

请回答下列问题（不要求证明）：

（1）四边形ADEF是什么四边形

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形

（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在

!

2）菱形，正方形

①菱形，正方形的定义、性质

菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

正方形定义：

一组邻边相等的矩形叫正方形

菱形的性质：

1、四边都相等

2、对角线互相垂直平分D

正方形性质：

1、四边都相等

2、对角线相等且互相垂直平分

例7、如图在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，求∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形。

/

例8、如图所示，正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F。

请猜想EF与PA的数量关系、位置关系，并说明理由。

②菱形，正方形的判定

例9、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，作CF∥BC交AD的延长线于F，E是CF的中点，试说明四边形OCED是菱形。

…

例10、如图所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试说明四边形CEDF为正方形。

拓展练习

一、填空题

#

1、一个菱形的周长等于20cm，菱形的一条对角线长为5cm，则菱形的四个内角分别是＿＿＿。

2、如图所示，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F是AC上一个动点，则EF＋BF的最小值是＿＿。

（2题图）（5题图）（7题图）（9题图）

3、正方形的对称轴有＿＿＿条，它的对称中心是＿＿＿。

4、正方形的边长为4cm，则周长为＿＿，面积为＿＿＿。

5、如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，O是正方形ABCD的旋转对称中心，则图中阴影部分的面积是＿＿

）

6、已知：

矩形ABCD中，AB＝2CB，点E中DC上，且AE＝AB，则∠EBC＝＿＿＿。

7、如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂直平分线GH交AB于G，交CD于H，若AM＝10cm，则GH＝＿＿。

8、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10cm，那么菱形的周长为＿＿＿cm。

9、如图所示，把25个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、C、D都是小正方形的顶点，则四边形ABCD的面积为＿＿＿。

10、正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和是＿＿＿

二、选择题

1、同学们玩过万花筒，它是三块等宽、等长的玻璃片围成的。

如图所示的是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形（四边相等）AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心＿＿＿得到的。

A、顺时针旋转60°　B、逆时针旋转60°　C、顺时针旋转120°　D、逆时针旋转120°

/

（1题图）（6题图）（7题图）

2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是＿＿。

A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD　B、AD∥BC，∠A＝∠C　

C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC

3、正方形具有而菱形没有的性质是＿＿＿。

A、对角线互相平分　B、每条对角线平分一组对角　

C、对角线相等　D、对边相等

~

4、在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有＿＿。

A、5个　B、12个　C、9个　D、15个

5、能判定一个四边形是菱形的条件是＿＿。

A、对角线互相平分且相等　B、对角线互相垂直且相等　C、对角线互相垂直且两组对角相等　D、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角

6、如图所示，菱形ABCD的边长与正三角形AEF的边长相等，且E、F分别在BC、CD上，则∠BAD的度数是＿＿。

A、80°　B、90°　C、100°　D、120°

7、如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE，则∠AEB＝＿＿＿。

A、10°　B、15°　C、20°　D、°

8、如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝2DC，M、N分别在AB两边的延长线上，且有MA＝AB＝BN，则MC与DN的关系是＿＿。

A、相等　B、垂直　C、垂直且相等　D、不能确定

`

（8题图）（9题图）

9、如图所示，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE＝CH，连结DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是＿＿。

A、BE＝DH　B、∠H＋∠BEC＝90°　C、BG⊥DH　D、∠HDC＋∠ABE＝90°

能力升级

1、

已知：

如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE。

试说明：

DG＝BE。

?

2、已知：

如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的交点，AF、BE交于点G，连结CG，试说明：

ΔCGB是等腰三角形。

.

3、已知：

如图所示，E、F分别是正方形的边BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，

求证：

BE＋DF＝EF

（

4、如图所示，在正方形ABCD中，M为AB上任意一点，MN⊥DM，BN平分∠CBE，

试说明：

MD＝MN。

?

5、已知：

如图所示，ABCD是正方形，过B作BF∥AC，E是BF上一点，四边形AEFC是菱形，试说明：

∠FCA＝5∠F。

、

6、如图所示，ABCD是正方形，AE∥DB，BE＝BD，BE交AD于F，试说明：

ΔDEF是腰三角形。

…

7、如图①所示，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，请说明OE＝OF

.

对于上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图②所示，请你想一想，结论“OE＝OF”还成立吗如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。

8、如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F。

~

①当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形，请猜想并说明理由。

②在①中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形为什么

:

9、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝12cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。

如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤12），那么：

①当t为何值时，ΔQAP为等腰直角三角形；

②求出此时四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论。

^

10、

如图所示，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于E、F、O，试说明四边形AFCE是菱形。

（

11、如图所示，菱形ABCD中，E是AB的中点，DE⊥AB，AB＝a，BE＝h。

求：

①∠ABC的度数；②AC的长；③菱形ABCD的面积。

12、①如图所示，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗说说你的理由。

　②如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，AE∥BD，DE、AE交于点E，四边形OAED是菱形吗

13、已知：

如图所示，在

ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于E，∠ABC的平分线交AD于F，AE、BF相交于O。

则四边形ABEF为菱形，请说明理由。

14、如图所示，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是异于A、D的两点的动点，F是CD上的动点，满足AE＋CF＝a，试说明：

不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。