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复变函数与数理方程作业题
数学科学系吴昊
2014年秋季
§1复变函数与积分变换
§1.1第01次课作业
刚刚开学，大家适应一下，本次课程不布置作业。
§1.2第02次课作业（10月9日提交）
习题1.1下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？
（并给出具体过程）
z
（1）|z−a|=|z−b|（a,b为复常数）,
（2）|z|+Rez≤1,（3）Re
（1）=2.
习题1.2计算下列数值（a,b,φ为实常数，x为实变量）
（1）ii,
（2）cosφ+cos2φ+···+cosnφ,（3）sin（a+ib）,（4）cos（ix）.
习题1.3
（1）用复变量表示过点（1,3）,（−1,4）的直线的方程；
（2）设A,C∈R,B∈C，问方程Azz∗+BZ∗+B∗z+C=0在什么条件是圆方程，并求其圆心和半径。
习题1.4已知解析函数f（z）的实部u（x,y）或虚部v（x,y），求该解析函数
（1）u=ex
x2y2
siny,
（2）u=（x2+y2）2,f（∞）=0,（3）u=lnρ,f
（1）=0.
习题1.5指出下列多值函数的支点及其阶
（1）√（z−a）（z−b）,
（2）ln（z−a）.
§1.3第03次课作业（10月16日提交）
习题1.6
（1）已知函数ψ（t,x）=e2tx−t2，将x作为参数，t为复变数，试应用
柯西积分公式将.
表示为回路积分。
∂nψ
∂tn.t=0
=（−1）n
x2dn
edxne
−x2.
习题1.7计算下面积分
（1）I
dz
|z|=1cosz
（2）I
dz
z2+2z+4,
|z|=1
（3）I
z3coszdz,（4）I
（4+3）dz.
|z|=2
习题1.8用积分
计算积分
|z|=4
I
dz
|z|=1z+2
z+1
z+2i
∫π1+2cosθ
dθ.
05+4cosθ
习题1.9求下列幂级数的收敛圆
∞∞
（1）
1（zi）k,
（2）
k
k=1
klnk（z−2）k,
k=1
（3）
∑k=1
k!
（z）k,（4）
∑k=1
kk（z−3）k.
§1.4第04次课作业（10月23日提交）
习题1.10在指定点z0的邻域上将下列函数展开为泰勒级数
（1）√3z,z0=i,
（2）ln（1+ez）,z0=0,
（3）（1+z）1/z,z0=0,（4）sin2z,z0=0.
习题1.11在挖去奇点z0的环域上或指定环域上将下列函数展开为洛朗级数
（1）z5e1/z,z0=0,
（2）1/z2（z−1）,z0=1
（3）1/（z2−3z+2）在1<|z|<2或2<|z|<∞,（4）sin（1/z）在奇点,（5）ez/z在奇点,（6）1/z2（z2−1）2在0<|z|<1或1<|z|<∞.
§1.5第05次课作业（10月30日提交）
习题1.12确定下列函数的奇点，求出函数在各奇点的留数
（1）ez/（1+z）,
（2）eiz/（z2+a2）,
（3）1/（z3−z5）,（4）z2n/（z+1）n,（5）e1/（1−z）.
习题1.13计算下列回路积分
（1）I
（2）I
dz,（ℓ的方程是x2+y2−2x−2y=0）,
（z2+1）（z−21）ℓ
zdz
.
|z|=22−sinz
习题1.14计算下列实变函数定积分
∫2πdx
∫2π
sin2xdx
（3）
∫2πcosxdx
（|ε|<1）,（4）
∫2π
（a>b>0）,
a+bcosx
cos2nxdx.
01−2εcosx+ε20
习题1.15计算下列实变函数定积分
∫∞dx
∫∞x2dx
（3）
∞x2+1
x6+1dx,（4）
∞x2m
x2n+1dx,（m
§1.6第06次课作业（11月6日提交）
习题1.16计算下列实变函数定积分
∫∞cosx∫∞
eimx
（3）∫∞sinmxdx,（m>0,a>0）,（4）∫∞xsinxdx.
习题1.17计算下列实变函数定积分
∫2πdx
∫πadx
（3）
∞x2+1
x4+1dx,（4）
−∞
∞cosmx
∞x2
（x2+a2）2dx,
∫∞sin2x
§1.7第07次课作业（11月13日提交）
{
习题1.18求下列函数的傅里叶变换
（1）f（x）=sinx,|x|≤π,
0,|x|>π.
1
（2）f（x）=a2+x2,a>0.
（3）f（x）=sin3x.（4）f（x）=eiω0xu（x）.（5）f（x）=1−2δ（x）+3δ′（x）.
习题1.19求函数f（x）=xe−x2的傅里叶变换，并推证
∫+∞−2
√−2
注：
该题必须写出具体推导过程，不能套用课本的例题结论。
习题1.20求下列函数的拉普拉斯变换
（1）f（x）=sh（αx）,
（2）f（x）=x2+3x+2,
（3）f（x）=xneαx,（n为自然数）,（4）f（x）=x2e−xsin3x,
（5）f（x）=
x
ξe−2ξsin3ξdξ,（6）f（x）=
0
0,x<0,
8,0≤x<2,
6,x≥2.
习题1.21利用拉普拉斯变换的性质，计算下列积分
（1）
∞1−cosxe−x
0x
dx,
（2）
∞x3e−x
0
sinxdx,（3）
∞sin2x
2dx.
0
§2数理方程与特殊函数
§2.1第08次课作业（无需提交）
本次课程不安排作业。
§2.2第09次课作业（无需提交）
本次课程不安排作业。
§2.3第10次课作业（12月4日提交）
习题2.1设ℓ为参数，试求出方程
∂2u∂2u2∂2u
（ℓ+x）∂x2+2xy∂x∂y−y∂y2=0
的双曲型、椭圆型与抛物型的区域，并研究它们对ℓ的依赖性。
习题2.2试选取适当的辅助函数w（x,t），使得u（x,t）满足的方程
∂tu−∂xxu+a∂xu+bu=f（x,t）,a,b是常数
经过函数代换后u=vw，化成
∂tv−∂xxv=f˜（x,t）
的形式。
的形式。
习题2.3试证明在自变量代换
ξ=x−αt,τ=t
下，方程具有形式
∂tu+α∂xu=α2∂xxu
∂τu=α2∂ξξu.
习题2.4已知ui（x,t）,（i=1,2,3）,φ（x）,ψ（x）和f（x,t）充分光滑，并且ui分别满足定解问题
Qu1=0,u1（x,0）=φ（x）,∂tu1（x,0）=0,
Qu2=0,u2（x,0）=0,∂tu2（x,0）=ψ（x）,
Qu3=f,u3（x,0）=0,∂tu3（x,0）=0.
这里Q=∂tt−a2∂xx为一维波动算子，假定u2=Mψ（x,t）给出上述定解问题的解，试证u1,u3可分别表为（其中fτ=f（x,τ））
∫t
习题2.5接上题，若已求得
1∫x+at
试利用上式结论求u1,u3的表达式，并由此给出定解问题
Qu=f（x,t）,u（x,0）=φ（x）,∂tu（x,0）=ψ（x）,
解u（x,t）的表达式。
习题2.6接上题，根据u（x,t）的表达式，试证明如下结论：
（1）若φ（x）,ψ（x）和f（x,t）分别满足
φ（−x）=−φ（x）,ψ（−x）=−ψ（x）,f（−x,t）=−f（x,t）,x∈R,
则有
u（−x,t）=−u（x,t）,x∈R.
（2）若φ（x）,ψ（x）和f（x,t）分别满足
φ（x+L）=φ（x）,ψ（x+L）=ψ（x）,f（x+L,t）=f（x,t）,x∈R
这里L>0为某给定常数，则有
u（x+L,t）=u（x,t）,x∈R.
习题2.7在半无界区域Q¯={0≤x<∞,0≤t<∞}上考虑定解问题
∂ttua2∂xxu=f（x,t）,00,
u（x,0）=φ（x）,0≤x<∞,
∂xu（0,t）=g（t）,t>0.
（1）选取适当的辅助函数w（x,t），使得经过函数代换后，函数v（x,t）在Q¯满足齐次边值的定解问题
∂ttva2∂xxv=f1（x,t）,00,
v（x,0）=φ1（x）,0≤x<∞,
∂xv（0,t）=0,t>0,
并且给出f1（x,t）,φ1（x）,ψ1（x）的具体形式；
（2）对f1（x,t）,φ1（x）,ψ1（x）作开拓，试将半无界问题转化成初值问题，并给出初值问题的具体形式；
（3）试导出半无界问题v（x,t）解的具体表达式（用f1（x,t）,φ1（x）,ψ1（x））表示；
（4）试讨论f,g,φ和ψ在角点（0,0）需要满足什么条件，以保证解在定解区域Q内是二次可微连续的。
习题2.8已知三维波动方程为
∂2u
2（∂2u
∂2u
∂2u）
将直角坐标转换成空间球坐标（r,θ,φ），试证明球坐标下的三维波动方程为
1∂2u
1∂
（2∂u）
1∂（
∂u）
1∂2u
§2.4第11次课作业（12月11日提交）
{
习题2.9如果已知下述常微分方程的初值问题
−y′′+y=0,x>0,y（0）=0,y′（0）=1,
{
的解为y=Y（x），试通过它写出一般初值问题
−y′′+y=f（x）,x>0,y（0）=a,y′（0）=b,
解的表达式（提示：
参考齐次化原理）。
习题2.10用特征线法求解下述Cauchy问题
（1）∂tu+2∂xu=0,t>0,−∞2∂tu=∂xuxu,t>0,x2
u（x,0）=2xe2,−∞
习题2.11若u=u（x,y,z,t）是波动方程初值问题
∂ttu−a2（∂xxu+∂yyu+∂zzu）=0,u（x,y,z,0）=f（x）+g（y）,
∂tu（x,y,z,0）=φ（y）+ψ（z）,
的解，试求解的表达式。
{
习题2.12试求解波动方程的古尔萨（Goursat）问题
∂ttu−a2∂xxu=0,
u|x−at=0=φ（x）,u|x+at=0=ψ（x）,φ（0）=ψ（0）.
{
习题2.13若u=u（x,t）是一维热传导方程初值问题
∂tu−a2∂xxu=0,（x,t）∈R×R+
u（x,0）=φ（x）,x∈R
的解，且φ（x）和f（x,t）分别满足
φ（−x）=φ（x）,f（−x,t）=f（x,t）,x∈R,
试证明
u（−x,t）=u（x,t）,x∈R.
{
习题2.14利用傅里叶变换方法求解以下定解问题
∂tu−a2∂xxu−b∂xu−cu=f（x,t）,−∞0,u（x,0）=φ（x）,−∞
习题2.15求解下列积分方程
（1）φ（t）=
∫t
（2）
0
t
∫
φ（τ）dτ+1,
0
习题2.16用积分变换法求解
∂2u
∂x∂y
=1,x>0,y>0,
≥
u（0,y）=y+1,y0,
u（x,0）=1,x≥0.
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