2第二讲 因式分解.docx

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2第二讲因式分解

第二讲因式分解

第一部分知识梳理

一、因式分解

1．概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2．对分解因式的理解，一般从分解的“对象”和分解的“结果”两个方面去理解

（1）对象：

因式分解只针对多项式，而

这一变形则不属于因式分解，

不属于多项式。

（2）结果：

因式分解的结果只能是整式的积的形式，例如

属于因式分解，而

这一变形不属于因式分解，结果不是积的形式。

二、提公因式法分解因式

1．公因式

一个多项式中，各项都含有的公共的因式叫做这个多项式的公因式。

2．确定公因式的方法

（1）对于数字系数:

如果是整数系数，取各项系数的做大公约数作为公因数的系数

（2）对于字母：

一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取其次数最低的

3．提取公因式法：

（1）概念：

一般地，如果多项式的各部分都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法。

（2）步骤：

①找出公因式；②第二步提公因式并确定另一个因式．（提公因式时利用多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式，也可以用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式．）

三、运用公式法分解因式

1．平方差公式

（1）概念：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

字母表示：

其中，a、b可以是单项式也可以是多项式。

（2）特点：

左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积．

2．完全平方公式

（1）概念：

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

字母表示：

（2）特点：

左边是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可；右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方．（公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式）。

四、运用十字相乘法分解因式

1．十字相乘法的依据和具体内容

（1）对于二次项系数为1的二次三项式

方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。

①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；

②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式

它的特征是“拆两头，凑中间”。

①当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；

②常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

③常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

（3）注意：

用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：

一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

第二部分例题与解题思路方法归纳

【例题1】仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：

已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：

设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）

则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n

∴

．解得：

n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21

问题：

仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

〖选题意图〗这是一道阅读理解题，考察了同学们正确读懂例题的能力，如何利用待定系数法求解是本题的关键。

很好的考查了因式分解的意义。

〖解题思路〗根据例题中的已知的两个式子的关系，两个式子中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是1，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式。

〖参考答案〗解：

设另一个因式为（x+a），得x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）

则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a

∴

，解得：

a=4，k=20

∴另一个因式为（x+4），k的值为20

【课堂训练题】

1．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．

〖参考答案〗解：

设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．

∵2（x﹣1）（x﹣9）=2（x2﹣10x+9）=2x2﹣20x+18，

∴a=2，c=18；

又∵2（x﹣2）（x﹣4）=2（x2﹣6x+8）=2x2﹣12x+16，

∴b=﹣12．

∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得

2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．

2．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．

〖参考答案〗解：

设另一个因式是x+a，则有（x+5）•（x+a），

=x2+（5+a）x+5a=x2+mx+n，

∴5+a=m，5a=n这样就的到一个方程组

，解得

．

∴m、n的值分别是7、10．

【例题2】设

，

，…，

（n为大于0的自然数）．

（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．

〖选题意图〗本题考查了利用平方差公式计算的能力，需要阅读理解的部分考查了同学们信息迁移能力，是一道很好的开放型试题。

能否正确理解运用平方差公式，并推导出一般的规律是本题考查的重点所在。

〖解题思路〗

（1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2化简，可得结论；

（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律．

〖参考答案〗解：

（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，

又n为非零的自然数，∴an是8的倍数．

这个结论用文字语言表述为：

两个连续奇数的平方差是8的倍数。

（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．

n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数。

【课堂训练题】

1．化简：

（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2）

〖参考答案〗解：

（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2）

=（a﹣b）（a+b）（a+b﹣a+b）+2b（a2+b2）

=2b（a2﹣b2）+2b（a2+b2）

=2b（a2﹣b2+a2﹣b2）

=4a2b．

2．已知乘法公式：

a5+b5=（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4）；a5﹣b5=（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）．利用或者不利用上述公式，分解因式：

x8+x6+x4+x2+1

〖参考答案〗解：

【例题3】你知道数学中的整体思想吗？

解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？

①（x+2y）2﹣2（x+2y）+1②（a+b）2﹣4（a+b﹣1）

〖选题意图〗此题主要考查了利用完全平方式因式分解，并结合了整体思想的灵活运用。

〖解题思路〗观察①式可将（x+2y）写成（x+2y）×1，将（x+2y）看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解。

观察②式可将4（a+b﹣1）逆用分配律改写成4（a+b）﹣4，将（a+b）看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解。

〖参考答案〗解：

①（x+2y）2﹣2（x+2y）+1

=（x+2y）2﹣2（x+2y）×1+12

=〔（x+2y）—1〕2

=（x+2y﹣1）2

②（a+b）2﹣4（a+b﹣1）

=（a+b）2﹣4（a+b）+4

=（a+b）2﹣2×（a+b）×2+22

=〔（a+b）—2〕2

=（a+b﹣2）2

【课堂训练题】

1．分解因式：

（1）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2

（2）4m2n2﹣（m2+n2）2

〖参考答案〗解：

（1）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2

=[3（x﹣y）]2﹣2×2×3（x﹣y）+22

=（3x﹣3y﹣2）2

（2）解：

4m2n2﹣（m2+n2）2=﹣[（m2+n2）+2mn][（m2+n2）﹣2mn]

=﹣（m+n）2（m﹣n）2

〖参考答案〗解：

①（a+3）（a﹣7）+25

=a2﹣4a﹣21+25

=a2﹣4a+4

=（a﹣2）2

②81a4+16b4﹣72a2b2

=（9a2﹣4b2）2

=（3a+2b）2（3a﹣2b）2

【例题4】先阅读，再分解因式：

x4+4=（x4+4x2+4）﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2﹣2x+2）

〖选题意图〗此题渗透了配方思想，并综合运用完全平方公式，平方差公式解题。

熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键。

〖解题思路〗根据题目的信息，是先利用配方法将x4配成完全平方式，然后再将x2+8视为整体，利用平方差公式进行因式分解。

〖参考答案〗解：

x4+64

=x4+16x2+64﹣16x2

=（x2+8）2﹣16x2

=（x2+8）2﹣（4x）2

=（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）

=（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）

【课堂训练题】

1．已知实数x，y满足x4+x2=3，y4﹣y2=3．求x4+y4的值．

〖参考答案〗解：

∵x4+x2=3①，y4﹣y2=3②，

①﹣②，得（x4+x2）﹣（y4﹣y2）=3﹣3，

∴（x2+y2）（x2﹣y2+1）=0，

∵x≠0，∴x2+y2≠0，

∴x2﹣y2+1=0，

即x2﹣y2=﹣1③．

①+②，得（x4+x2）+（y4﹣y2）=3+3，

∴（x4+y4）+（x2﹣y2）=6，

把③代入上式，得x4+y4=7．

2．分解因式（b2+a2﹣c2）2﹣4a2b2

〖参考答案〗解：

（b2+a2﹣c2）2﹣4a2b2

=（b2+a2﹣c2+2ab）（b2+a2﹣c2﹣2ab）

=[（b+a）2﹣c2][（b﹣a）2﹣c2]

=（b+a+c）（b+a﹣c）（b﹣a+c）（b﹣a﹣c）．

【例题5】阅读下面的材料并完成填空：

因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=q,a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．

如分解因式x2+5x+6．

解：

∵2×3=6，2+3=5，

∴x2+5x+6=（x+2）（x+3）．

再如分解因式x2﹣5x﹣6．

解：

∵﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，

∴x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．

同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？

试试看．

因式分解：

（1）x2+7x+12；

（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．

〖选题意图〗这是一道阅读理解型的题，以例题的形式提供十字相乘法分解因式的过程，解题的关键是准确理解范例的分解过程。

本题属于x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解的应用，通过阅读可以提取出用十字相乘法分解因式的规则：

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．考查同学们阅读理解以及灵活运用的能力。

〖解题思路〗发现规律：

二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）．

〖参考答案〗解：

（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4）；

（2）x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）；

（3）x2+4x﹣12=（x+6）（x﹣2）；

（4）x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．

【课堂训练题】

1．对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2项，使整个式子的值不变．于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．

像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添项法．

请用上述方法把m2﹣6m+8分解因式．

〖参考答案〗解：

m2﹣6m+8，

=m2﹣6m+9﹣1，

=（m﹣3）2﹣1，

=（m﹣3+1）（m﹣3﹣1），

=（m﹣2）（m﹣4）．

2．分解因式：

（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．

〖参考答案〗解：

设x2+4x+8=y，则

原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）

=（x2+6x+8）（x2+5x+8）

=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．

【例题6】已知：

a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．

〖选题意图〗此题考查了因式分解的应用．得到1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）是解此题的关键．

〖解题思路〗首先将1+a+a2+a3+…+a2012变形为：

1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3），然后将a3+a2+a+1=0代入即可求得答案．

〖参考答案〗解：

∵a3+a2+a+1=0，

∴1+a+a2+a3+…+a2012，

=1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）=1．

【课堂训练题】

1．已知：

a=6﹣b，c2=ab﹣9．求a﹣b+a﹣c的值．

〖参考答案〗解：

由题意，得c2=b（6﹣b）﹣9=6b﹣b2﹣9，

∴c2+b2﹣6b+9=0，即c2+（b﹣3）2=0．

∴c=0，b=3，

∴a=3．

∴a﹣b+a﹣c=3﹣3+30=

．

2．已知x2﹣x﹣1=0，求﹣x3+2x2+2011的值．

〖参考答案〗解：

∵﹣x3+2x2+2011

=﹣x3+x2+x2+2011

=x（﹣x2+x）+x2+2011①；

又∵x2﹣x﹣1=0，∴﹣x2+x=﹣1②，

将②代入①得，原式=x（﹣1）+x2+2011

=﹣x+x2+2011

=﹣（﹣x2+x）+2011③；

将②代入③得，原式=﹣（﹣1）+2011=2012．

【例题7】计算：

〖选题意图〗本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解因式．

〖解题思路〗将

分解为

即可逐项约分。

〖参考答案〗

【课堂训练题】

1．

（1）2012﹣201；

（2）5722﹣4282；（3）

．

〖参考答案〗解：

（1）2012﹣201=201（201﹣1）=201×200=40200；

（2）5722﹣4282=（572﹣428）（572+428）=144×1000=144000；

（3）（

）2﹣2×

×

+（

）2=（

﹣

）2=25．

2．求证：

817﹣279﹣913能被45整除．

〖参考答案〗证明：

原式=914﹣99×39﹣913=328﹣327﹣326

=326（32﹣3﹣1）=326×5=324×32×5=45×324．

所以能被45整除．

【例题8】已知，a，b，c是△ABC的三边，求证：

（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2＜0．

〖选题意图〗本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了三角形三边之间的关系，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

〖解题思路〗先利用平方差公式分解因式后再利用三角形的三边关系来判断正负．需要注意的是三角形任意两边之和和大于第三边．

〖参考答案〗证明：

∵（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2

=（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab）

=[（a2+2ab+b2）﹣c2][（a2﹣2ab+b2）﹣c2]

=[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2]

=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），

∵a，b，c是△ABC的三边，

∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，

∴（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2＜0．

【课堂训练题】

1．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．,

〖参考答案〗解：

∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0

∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0

（a﹣b）2+（b﹣c）2=0

∴a﹣b=0且b﹣c=0

即a=b=c，故该三角形是等边三角形．

2．已知：

a、b、c分别为△ABC的三条边的长度，请用所学知识说明：

（a﹣c）2﹣b2是正数、负数还是零？

〖参考答案〗解∵a、b、c分别为△ABC的三边，

∴a+b＞c，b+c＞a，

即a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0．

∴（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）＜0

∴（a﹣c）2﹣b2是负数．

第三部分课后自我检测试卷

A类试题：

1．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c）其中abc均为整数则a+b+c=（　　）

A．﹣12B．﹣32C．38D．72

2．（2008•绵阳）若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣3则实数p的值为（　　）

A．﹣5B．5C．﹣1D．1

3．下列因式分解错误的是（　　）

A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2

C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2

4．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：

设x2﹣4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2﹣4x+4）2（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　．

A、提取公因式B．平方差公式

C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底　　．（填“彻底”或“不彻底”）

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．

5．把下列各式因式分解

（1）﹣5a2+25a；

（2）a2﹣9b2；

（3）2x（a﹣3）﹣y（3﹣a）；（4）3x3﹣12x2y+12xy2．

6．因式分解：

（1）4x2﹣64

（2）m3（a﹣2）+m（2﹣a）

（3）x4﹣8x2y2+16y4

7．分解因式：

（x﹣1）+b2（1﹣x）

8．分解因式：

（1）x2﹣81

（2）（x+y）2﹣4（x+y）+4．

9．因式分解：

（1）﹣a2+6ab﹣9b2

（2）（p﹣4）（p+1）+3p

10．阅读：

对于关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，ax2+bx+c在实数范围内可以分解因式．例：

对于2x2﹣5x+1，因为：

b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×1＞0，所以：

2x2﹣5x+1在实数范围内可以分解因式．

问题：

当m取什么值的时候，2x2﹣6x+（1﹣m）在实数范围内可以分解因式．

B类试题：

11．若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x2﹣y2﹣m的一个因式则m的值为（　　）

A．4B．1C．﹣1D．0

12．因式分解：

（1）（a+b）2+6（a+b）+9；

（2）﹣2xy﹣x2﹣y2

（3）（x2﹣2xy）2+2y2（x2﹣2xy）+y4．

13．阅读理解

我们知道：

多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：

a2+6a+8=（a+3）2﹣1=（a+2）（a+4）．

请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：

（1）x2﹣6x﹣27；

（2）a2+3a﹣28；（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n．

14．分解因式（b2+a2﹣c2）2﹣4a2b2

15．分解因式（a2+ab+b2）2﹣9a2b2

16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2

=（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）2（1+x）

=（1+x）3

（1）上述分解因式的方法是　　，共应用了　　次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法　　次，结果是　．

（3）分解因式：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．

17.利用因式分解说明367﹣612能被140整除

18．利用分解因式证明：

257﹣512能被120整除．

19.已知A=a+2，B=a2﹣a+5，C=a2+5a﹣19，其中a＞2．

（1）求证：

B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）指出A与C哪个大？

说明理由．

20．

（1）已知3×9m×27m=316，求m的值；

（2）已知x﹣y=1，xy=2，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．

C类试题：

21．（2011四川凉山州）我国古代数学的许多发现都曾

位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。

如图，这个三角形的构造法则：

两腰上的数

都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了

（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。

例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应

展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着

展开式中的系数等等。

（1）根据上面的规律，写

出

的展开式。

（2）利用上面的规律计算：

22．232﹣1可以被10和20之间某两个数整除，求这两个数．

23．已知多项式ax3+bx2﹣47x﹣15可被3x+1和2x﹣3整除．试求a，b的值及另外的因式．

24．对于任意自然数n，（n+7）2﹣（n﹣5）2能否被24整除，为什么？

25．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：

把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：

x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2