因式分解讲义.docx

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因式分解讲义

因式分解-讲义

因式分解

（一）-一般方法

　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

　　1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；　　

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

　　（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；　（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

　　（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

　　（8）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

　　（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　例1分解因式：

（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；　　

（2）x3-8y3-z3-6xyz；

　　（3）a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　　（4）a7-a5b2+a2b5-b7．

　　例2分解因式：

a3+b3+c3-3abc．

　　例3分解因式：

x15+x14+x13+…+x2+x+1．

　　2．拆项、添项法

　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

　　例4分解因式：

x3-9x+8．

　　例5分解因式：

（1）x9+x6+x3-3；　　

（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；

　　（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；　　（4）a3b-ab3+a2+b2+1．

　　3．换元法

　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

　　例6分解因式：

（x2+x+1）（x2+x+2）-12．

　　例7分解因式：

（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．

　　例8分解因式：

（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．

　　例9分解因式：

6x4+7x3-36x2-7x+6．

　　例10分解因式：

（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）．

　　1．

（2）x10+x5-2；

（4）（x5+x4+x3+x2+x+1）2-x5．

2．

（1）x3+3x2-4；　　

（2）x4-11x2y2+y2；

　　（3）x3+9x2+26x+24；　　（4）x4-12x+323．

3．

（1）（2x2-3x+1）2-22x2+33x-1；　　

（2）x4+7x3+14x2+7x+1；

（3）（x+y）3+2xy（1-x-y）-1；　　（4）（x+3）（x2-1）（x+5）-20．

4、

（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2=；

（2）x2-y2+5x+3y+4=；

　　（3）xy+y2+x-y-2=；

（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2=;

（5）2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=.

因式分解

（二）--求根法分解因式

　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如

　　f（x）=x2-3x+2，g（x）=x5+x2+6，…，

　　当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

　　f

（1）=12-3×1+2=0；　　f（-2）=（-2）2-3×（-2）+2=12．

　　若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

　　定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a．

　　根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

定理2

　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数．

　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

　　例1分解因式：

x3-4x2+6x-4．

　　例2分解因式：

9x4-3x3+7x2-3x-2．

练习二

1．用双十字相乘法分解因式：

（1）x2-8xy+15y2+2x-4y-3；　

（2）x2-xy+2x+y-3；（3）3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．

2．用求根法分解因式：

（1）x3+x2-10x-6；　　

（2）x4+3x3-3x2-12x-4；　　（3）4x4+4x3-9x2-x+2．

3．用待定系数法分解因式：

（1）2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

（2）x4+5x3+15x-9．