武汉大学数学分析研究.docx
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武汉大学数学分析研究
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武汉大学
2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答
一、设｛xn｝满足:
|xn1xn||qn||xnxn1|,|qn|r1，证明｛xn｝收敛.
证明：
（分析：
压缩映像原理）
1r
令：
m1r,则显然|qn|m12n
|xn1xn||qn||xnxn1|m|xnxn1|
（此即压缩映像原理证明）以下证明压缩映像原理
利用Cauchy收敛准则，对,
np1
p1
|xnpxn||xixi1|（1m...m）|xn1xn|
in1
1m
ln
取N|x2x1|+1,对任意的nN
lnm
|xnpxn|。
从而知命题收敛
致收敛.
、对任意δ>0.证明级数1n在（1,1+δ）上不
n0x
证明：
（利用反证法，Cauchy收敛准则和定义证明.）如果级数收敛，
那么对于0,x（1,1）,N,当n,MN时
1MN1
M111（x）MN11nnx1nnNxx11xx
只需令x（1,min{1,n}）（1,1）,代入上式，矛盾
从而知非一致收敛
、设f（x）01|xy|sinydy,求f"（x）
解，（本题利用莱布尼兹求导法则：
）
0（xy）sinydy,x（1,）
0（yx）sinydy,x（,0）x1
f'（x）
0sinydyxxsinydy,x[0,1]0sinydy,x（1,）
sinydy,x（,0）
2sinx,x[0,1]f"（x）0,x（1,）
0,x（,0）
四、判断级数lnlnnsinn地绝对收敛性和相对收敛性
n2lnn
解：
（1）绝对收敛性：
（主要使用放缩法）
1首先，不难证明对于nN,|sinn||sin（n1）|2sinA当M足够大的时候,lnlnM1
lnlnnlnlnnlnlnn
|sinn||sinn||sinn|nMlnnnMlnnnMlnn
A
A。
显然，该级数发散。
即不绝对收敛
nMln2n
2
（2）相对收敛性：
（A-D判别法）<1>{an}收敛于0，bn有界<2>{an}有界，an收敛满足上述任意一个条件anbn收敛
1
cos1
sinn12sinn1（积化和差）
n2cos1n2cos1
22
limlnlnnlim10（L'Hospital法则）
nlnnnlnn
根据Dirichlet判别法，知该级数收敛
五、计算I（y2z）dx（x2yz）dy（xy2）dz，其中Γ为曲线
从z轴地正方向看过去，Γ是逆时针方向
x2y2z2a2
22,z0,02ba，x2y22bx
解：
（利用奇偶性做）
ya2z2sin,代入方程得到zz
I（y2z）dx（x2yz）dy（xy2）dz
2xdy,（利用奇偶性，第一第三个积分为0）
2
b22（cos21）cos2d2b2cos2d
2
d2b2
4
21cos2
b
1
六、设f（x）在[0,1]上变号，且为连续函数，求证：
minf（x）|f'（t）|dt
[0,1]0
证明：
（画出函数图像，分两段讨论：
）利用介值定理，取[0，1]，inf{x|f（x）0},不难证明f（）0
1
（1）xmin[0,]f（x）minxf'（t）dtx|f'（t）|dt0|f'（t）|dt
xminxmin0
xminxmin1
（2）xmin[，1]f（x）minminf'（t）dtmin|f'（t）|dt0|f'（t）|dt
七、证明含参变量反常积分sinxydy在［，］上一致收敛，其中δ>0，但是0x（1y）
在（0,）内不一定一致收敛.
证明：
反证法：
根据Cauchy收敛准则，>0,N,MN,当x时
M
当M足够大时，上式显然不成立，矛盾。
故原命题成立
八、在底面半径为a，高为h地正圆锥内作长方体，其一面与圆锥地面重合，对面四个顶点在锥面上，求长方体地最大体积.b5E2RGbCAP解：
首先，由于顶点所在的平面和圆锥的交线为一个圆A，四个顶点组成在圆上所以，易知长方体的底面中点和圆锥底面的中点重合。
另外，顶面的长方形对角线为圆A的直径d，即为定值。
1
S顶sin1d2,当且仅当底面为正方形的时候取到
不妨设，高为h'
122adhddhdd3
V21d2（2a2adh）ahd2d2（2ad）ah（d2d2（2ad））3
本题还可以用Lagrange乘子法解决。
但是，我觉得用初等方法也可以。
我不用Lagrange乘子法用意是学习了高等数学不应该把初等数学方法忘记了
九、设a（0，1），f（x）在［0,a］上连续，在（0,a）,在（0，a）内可导，以及在（0,a）内取到最值，且满足f（0）=0,f（a）=a.证明：
1）（0,a）,使得f（）a；
2）（0,a）,使得f'（）a
证明：
1）命题有问题，取a=1/2,f（x）=5x-8x2f（0）=0,f（1/2）=1/2f（x）在5/16取到最值，但是f（x）-ax只在x=0,x=9/16等于0，与命题1矛盾.
2）构造函数g（x）f（x）ax。
由于f（x）为连续函数，所以g（x）在［0,a］上为连续函数，且一致连续反证法：
如果命题不正确，那么g（x）0,x（0,a）根据题设，存在（0,a）,使得f'（）0g'（）a
由于g（）0,加上一致连续的条件，存在',g（'）g（）由于g（0）0,利用连续性和介值定理，存在（0,'）,g（）g（）
根据Rolle中值定理，得到（,）,g'（）0f'（）a
武汉大学2006年数学分析试题
x2axb
、已知：
lim3，求常数a,b.x11x
二、已知：
1n（x1）n2，求其收敛域.
n12n（2x1）
2n2x1
三、f在0,1上可导，且f
（1）2f（0），求证：
（0,1），使得
（1）f（）f（）.
四、已知f（x）在0,1上可导，f（0）0,0f（x）1.求证：
11
（f（x）dx）2f3（x）dx.
五、已知f在［a,b］上单调递增，f（a）a,f（b）b，求证：
［a,b］，使得
f（）
六、在过O（0,A0）,地（曲线L:
yasinx（a中，求出使得
（1y3）dx（2xy）dy地值最小地L
七、求第二型曲面积分Ixdydzydzdxz3dxdy，S为椭圆x22y22z221地S（x2y2z2）2abc
外侧
sinx
八、求证sinxexydx在0,1上一致收敛.
0xy
九、已知方程x2ycos（xy）0
（1）研究上述方程并说明它在什么时候可以在点（0,1）附近确定函数yy（x），
且y（0）1.
（2）研究函数yy（x）在点（0,1）附近地可微性.
（3）研究函数yy（x）在点（0,1）附近地单调性.
（4）试问上述方程在点（0,1）地充分小邻域内可否确定函数xx（y）,x
（1）0？
并说明理由
版权申明
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