秋人教版八年级数学上册第11章随课练《三角形》.docx

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秋人教版八年级数学上册第11章随课练《三角形》

第11章随课练：

《三角形》

一．选择题

1．已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（　　）

A．4B．6C．8D．10

2．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（　　）

A．6B．7C．8D．10

3．正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（　　）

A．5B．6C．7D．8

4．有下列长度的线段，不能组成三角形的是（　　）

A．1cm、2cm、3cmB．2cm、3cm、4cm

C．3cm、4cm、5cmD．4cm、5cm、6cm

5．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．360°B．250°C．180°D．140°

7．如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（　　）

A．140B．190C．320D．240

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（　　）

A．40°B．20°C．55°D．30°

9．如果三角形的三个内角的度数比是2：

3：

4，则它是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．钝角或直角三角形

10．一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示．则∠1，∠2，∠A之间的数量关系是（　　）

A．∠1＝∠2+∠AB．∠1＝2∠2+∠AC．∠1＝∠2+2∠AD．∠1＝2∠2+2∠A

二．填空题

11．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝　　．

12．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画　　个三角形．

13．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　　．

14．一个三角形有两边分别为4cm和8cm，则第三边长x的取值范围　　．

15．如图，足球图片正中的黑色正五边形的外角和是　　°．

三．解答题

16．在△ABC中，∠A＝40°

（1）如图1，若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，则∠P＝　　，∠A与∠P之间的数量关系是　　．为什么有这样的关系？

请证明它；

（2）如图2，若内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠P＝　　，∠A与∠P之间的数量关系是　　；

（3）如图3，若两外角∠EBC、∠FCB的角平分线交于点P，则∠P＝　　，∠A与∠P之间的数量关系是　　．

17．

（1）已知：

如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线，试探究：

当点P在斜边AB上移动时，∠DCE的大小是否会发生变化，请说明你的理由．

（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上，点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝　　；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是　　；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是　　．

18．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝

∠3，BE平分∠ABC．求∠4的度数．

19．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．

（1）如图1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度数；

（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝30°，请写出α、β所满足的等量关系式；

（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

20．

（1）如图1，角∠MON＝84°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：

随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？

若保持不变，请求出∠APB的度数．若发生变化，请说明理由．

（2）如图2，两条互相垂直的直线MN、PQ，垂足为O，OE是∠PON的角平分线，点A、B分别在射线OE、OP上移动，BD是∠ABP的平分线，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点P，随着点A、B位置的变化，此时∠APB的大小是否会变化？

若保持不变，请求出∠APB的度数．若发生变化，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：

∵一个三角形的三条边长均为正整数，

并且其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，

①当边长为5是最大的边长时，可能的情况有3、4、5；4、4、5；3、3、5；4、2、5等四种情况．

②当边长为5是第二大的边长时，可能的情况有2、5、6；3、5、7；3、5、6；4、5、6；4、5、7；4、5、8；共十种情况．

所以共有10个三角形．

故选：

D．

2．解：

根据n边形的内角和公式，得

（n﹣2）•180＝1080，

解得n＝8．

∴这个多边形的边数是8．

故选：

C．

3．解：

设所求正多边形边数为n，

则60°•n＝360°，

解得n＝6．

故正多边形的边数是6．

故选：

B．

4．解：

A、3﹣2＝1＜3+2，不能组成三角形；故A选项正确；

B、4﹣3＜2＜4+3，能组成三角形；故B选项错误；

C、5﹣4＜3＜5+4，能组成三角形；故C选项错误；

D、6﹣5＜4＜6+5，能组成三角形；故D选项错误；

故选：

A．

5．解：

根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．

故选：

D．

6．解：

∵∠1、∠2是△CDE的外角，

∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，

即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．

故选：

B．

7．解：

∵∠A+∠ADE＝∠1，∠A+∠AED＝∠2，

∴∠A+（∠A+∠ADE+∠AED）＝∠1+∠2，

∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝60°，

∴∠1+∠2＝60°+180°＝240°．

故选：

D．

8．解：

∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACB＝100°，∠A＝20°，

∴∠B＝60°，

根据翻折不变性可知：

∠CB′D＝∠B＝60°，

∵∠DB′C＝∠A+∠ADB′，

∴60°＝20°+∠ADB′，

∴∠ADB′＝40°，

故选：

A．

9．解：

设三个内角分别为2k、3k、4k，

则2k+3k+4k＝180°，

解得k＝20°，

所以，最大的角为4×20°＝80°，

所以，三角形是锐角三角形．

故选：

A．

10．解：

如图：

由折叠得：

∠A＝∠A′，

∵∠1是△MDA的外角，

∴∠1＝∠A+∠MDA，

同理：

∠MDA＝∠2+∠A′，

∴∠1＝∠A+∠2+∠A′，

即：

∠1＝2∠A+∠2，

故选：

C．

二．填空题（共5小题）

11．解：

给图中角标上序号，如图所示．

∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，

∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，

∴∠1＝∠3＝105°．

故答案为：

105°．

12．解：

如图所示，以A，B为顶点，得△ABC，△ADB，△ABE，

以A，C为顶点，得△ACD，ACE，

以A，D为顶点，得△ADE，以B，C为顶点，得△BCE，△BCD，

以B，D为顶点，得△BDE，以C，D为顶点，得△CDE，

故以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，

故答案为：

10．

13．解：

多边形的边数：

360°÷30°＝12，

则这个多边形的边数为12．

故答案为：

12．

14．解：

∵三角形的两边的长分别为4cm和8cm，第三边的长为x，

∴根据三角形的三边关系，得：

8﹣4＜x＜4+8，即：

4cm＜x＜12cm．

故答案为：

4cm＜x＜12cm．

15．解：

任意多边形的外角和都是360°，

故正五边形的外角和是360°．

故答案为：

360．

三．解答题（共5小题）

16．解：

（1）∠ABC+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°

∴

（∠ABC+∠C）＝

×140°＝70°，

∴∠P＝180°﹣

（∠ABC+∠C）＝110°．

∠A与∠P之间的数量关系是∠P＝90°+

∠A；

（2）∵

∠ACE＝

∠ABC+∠P，

∴

（∠A+∠ABC）＝

∠ABC+∠P，

∴

（40°+∠ABC）＝

∠ABC+∠P，

∴∠P＝20°．

∠A与∠P之间的数量关系是∠P＝

∠A；

（3）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，

∴∠EBC+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，

∴∠PBC+∠PCB＝90°+

∠A．

又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，

∴90°+

∠A+∠P＝180°，即∠P＝90°﹣

∠A．

17．解：

（1）如图1，∠DCE的大小不会发生变化，理由如下：

∵CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线，

∴∠DCP＝

∠ACP，∠PCE＝

∠BCP，

∴∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝

∠ACP+

∠BCP＝

∠ACB＝45°；

（2）当点A和点B在直线MN的上方时（如图2），∠ACM+∠BCN＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°；

当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），

∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，

∴∠BCN﹣∠ACM＝（180°﹣∠BCM）﹣（90°﹣∠BCM）＝90°；

当点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），

∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，

∴∠ACM+∠BCN＝（180°﹣∠BCM）+（90°+∠BCM）＝270°．

故答案为90°，∠BCN﹣∠ACM＝90°，∠ACM+∠BCN＝270°．

18．解：

∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，

∴∠3＝20°，

∵∠2＝

∠3，

∴∠2＝10°，

∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝35°，

∵∠4＝∠2+∠ABE，

∴∠4＝45°．

19．解：

（1）∵∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β）＝240°，

∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝120°．

（2）β﹣α＝60°

理由：

如图1，连接BD，

由

（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBG＝

∠MBC，∠CDG＝

∠NDC，

∴∠CBG+∠CDG＝

∠MBC+

∠NDC＝

（∠MBC+∠NDC）＝

（α+β），

在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，

在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，

∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，

∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，

∴

（α+β）+180°﹣β+30°＝180°，

∴β﹣α＝60°，

（3）平行，

理由：

如图2，延长BC交DF于H，

由

（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBE＝

∠MBC，∠CDH＝

∠NDC，

∴∠CBE+∠CDH＝

∠MBC+

∠NDC＝

（∠MBC+∠NDC）＝

（α+β），

∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，

∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，

∴∠CBE+β﹣∠DHB＝

（α+β），

∵α＝β，

∴∠CBE+β﹣∠DHB＝

（β+β）＝β，

∴∠CBE＝∠DHB，

∴BE∥DF．

20．解：

（1）∠APB的大小不变，始终为132°．

∵在△OAB中，

∵∠MON＝84°，

∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠MON＝96°．

∵△AOB的角平分线AC与BD交于点P，

∴∠PAB+∠PBA＝

（∠OAB+∠OBA）＝48°

∴在△PAB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝132°；

（2）∠APB的大小不变，始终为22.5°．

∵MN⊥PQ，且OE平分∠PON，

∴∠BOA＝45°，

∴∠PBA﹣∠BAO＝∠BOA＝45°，

∵OE是∠PON的角平分线，BD是∠ABP的平分线，

∴

∠PBA﹣

∠BAO＝

∠BOA＝22.5°

∴∠APB＝∠DBA﹣∠PAB＝

∠PBA﹣

∠BAO＝22.5°．