安徽省合肥市届高三数学第三次教学质量检测试题理及答案word版doc.docx
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安徽省合肥市届高三数学第三次教学质量检测试题理及答案word版doc
合肥市2019高三第三次教学质量检测
数学试题（理科）
一、选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是实数集，集合，，则（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合的补集再与集合进行交集运算。
【详解】
即
故选。
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。
2.已知是实数集，复数满足，则复数的共轭复数为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将化为，对其进行化简得到，利用共轭复数的性质得到。
【详解】可化为
的共轭复数为
故选C。
【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。
3.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案.
【详解】输入，，不成立，；
，成立，跳出循环，输出.故选D.
【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环.
4.已知是等差数列的前项和，若，，则（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
列出关于的方程组并解出，即可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为.
由题意得解得
所以.故选A.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和.等差数列的通项公式和前项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于的方程组来求.
5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：
产量（万件）
单位成本（元/件）
若根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则的值等于（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出，将其代入线性回归方程，即可得出的值。
【详解】
在线性回归方程上
则解得
故选B
【点睛】解题的关键在于要知道一定在线性回归方程上，这种方法经常在选择题里面出现。
6.若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，直线过定点，数形结合得出，即可得出实数的取值范围。
【详解】画出不等式组表示的平面区域,如下图所示
直线过定点
要使得直线与不等式组表示的平面区域有公共点
则
.
故选B
【点睛】对于求斜率的范围的线性规划，过定点作直线与不等式组表示的平面的区域有公共点，从而确定斜率的范围。
7.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）
A.横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B.横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
D.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件利用的图像变换规律，得到结论。
【详解】把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点向右平移个单位得到函数。
故选A
【点睛】解决本题的关键在于的图像变换规律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：
（1）先相位变换再周期变换；
（2）先周期变换再相位变换。
8.若是从集合中随机选取两个不同元素，则使得函数是奇函数的概率为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用古典概型概率公式即可得出函数是奇函数的概率。
【详解】从集合中随机选取的两个不同元素共有种
要使得函数是奇函数，必须都为奇数共有种
则函数是奇函数的概率为
故选B
【点睛】对于古典概型求概率：
可用事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数之比得出事件A的概率。
9.已知直线与圆交于点，，点在圆上，且，则实数的值等于（）
A.或B.或C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由圆的性质可得出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数的值.
【详解】由可得.
在中，，，
可得点到直线，即直线的距离为.
所以，解得或.故选B.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便.
10.已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别利用、对应边成比例、抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到。
【详解】过点A作轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D。
设，则.
①
，即
②
③
联立①②③解得，，
故选D
【点睛】抛物线过焦点的弦长AB可用公式得出。
11.若存在两个正实数，使得等式成立（其中，是以为底的对数），则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对进行变形，将求的取值范围转化为求的值域，利用导数即可得出实数的取值范围。
【详解】可化为
令则，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。
即，则
故选C
【点睛】求参数的范围可采用参数分离，再利用导数去得出函数的最值，从而得到参数的范围。
12.如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
当三棱锥体积最大时，平面平面，取中点，连接，则平面，平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值。
【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面，
边长为1的菱形中，
取中点，连接，则平面，平面，
以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系
则，
设异面直线与所成角为
即异面直线与所成角的余弦值为
故选D。
【点睛】求异面直线所成的角，转化为两直线的方向向量的夹角，建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标运算即可得出。
【详解】，
，解得
【点睛】若，平行或者共线，则。
14.在的展开式中，的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由二项式展开的通项公式确定，即可得到的系数。
【详解】
由题意可知，解得
则的系数为
【点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出，代回通项即可。
15.已知函数，若对任意实数，恒有，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到。
【详解】
对任意实数，恒有
则
即，
【点睛】本题的关键在于“变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式。
16.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率。
【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接，交于点C
设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为
在中，，
解得
即
则椭圆的离心率
【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦
之比，即。
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列满足,，数列满足.
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列
（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.
【详解】解：
（Ⅰ）当时，，故.
当时，，
则，
，
数列是首项为，公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
，
.
【点睛】（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法得出
（Ⅱ）采用分组求和：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列。
18.在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为的样本，其中城镇居民人，农村居民人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民人，农村居民人.
（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
不经常阅读
合计
（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取位居民参加一次阅读交流活动，记这位居民中经常阅读的人数为，若用样本的频率作为概率，求随机变量的分布列和期望.
附：
，其中
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意填写列联表，利用公式求出，比较与的大小，即可得出有的把握认为，经常阅读与居民居住地有关。
（Ⅱ）根据题意得的可能取值为0,1,2,3,4，利用二项分布公式求出相应的概率，即可得出的分布列和期望。
【详解】（Ⅰ）由题意得：
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
不经常阅读
合计
则，
所以，有的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（Ⅱ）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取人，抽到经常阅读的人的概率是，且，所以的分布列为：
【点睛】解独立性检验题目基本步骤：
（1）作出列联表
（2）求出的观测值
（3）通过临界值表读出相应概率
（4）下结论
19.已知：
在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分别证明和即可得出平面；
（Ⅱ）以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面、平面的法向量、，利用得出二面角的余弦值。
【详解】解：
（Ⅰ）取的中点为，连结，，，设交于，连结.
，
四边形与四边形均为菱形
，
为等边三角形，为中点
平面平面且平面平面.
平面且
平面
平面
，分别为，的中点
又
平面
平面
（Ⅱ）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
.
设平面的一法向量.
由.令，则.
由（Ⅰ）可知，平面的一个法向量.
二面角的平面角的余弦值.
【点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.多用空间向量解决.
20.已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，，点为椭圆的左焦点，的周长为..
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，，求证：
直线与直线的交点在定直线上.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的性质及已知条件求出，即可得出椭圆的标准方程。
（Ⅱ）设出直线和直线的直线方程，分别代入椭圆的标准方程，利用弦长公式和韦达定理得出、，根据确定的值，联立直线和直线的方程得到点P的坐标，从而确定点P在定直线上。
【详解】解：
（Ⅰ）由已知，得，，，
椭圆标准方程.
（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.
令，，，，，.
将直线的方程代入椭圆方程得：
，
，，
同理，.
由得，此时，，
直线，
，即点的定直线上.
【点睛】圆锥曲线中弦长一般用以下方法：
若斜率为的直线与圆锥曲线相交于，两个不同的点，则弦长为或
21.已知函数（为自然对数的底数）
（Ⅰ）试讨论函数的导函数的极值；
（Ⅱ）若（为自然对数的底数），恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由导数的求导法则得出，利用导数求极值的步骤得出极值。
（Ⅱ）构造函数令，求导得到，利用导数求最值的方法对的值进行分类讨论，即可得出实数的取值范围。
【详解】（Ⅰ）的定义域为.，
当时，，函数在单调递增，函数没有极值.
当时，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增.
函数的极小值为，没有极大值.
（Ⅱ）对，恒成立，即对，，
对，.
令，则.
①当，即时，对，，在上单调递增，，解得，满足题意.
当时，即，对，，在上单调递减，
，解得满足题意.
③当，即时，对于，；对于，.
在上单调递减，在上单调递增，
.
即
设，由于在单调递减，
，即，
满足题意.
综上①②③可得，.
【点睛】本题在求的取值范围时，直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式从而求出参数的取值范围。
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.在以直角坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线分别交曲线、曲线于点，，求的面积的最大值.
【答案】
（1）曲线，曲线；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）消去参数可得曲线的普通方程；由可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.
（2）利用参数方程求出的坐标，再求的面积及其最大值.
【详解】
（1）由消去参数，可得曲线的普通方程为.
由，可得，则，
则曲线的直角坐标方程为.
（2）设，，其中，则.
要使得面积的最大，则.
.
，.
当，即时，的面积取最大值.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综合应用.
23.选修4-5：
不等式选讲
设的最小值为.
（1）求实数的值；
（2）设，，，求证：
.
【答案】
（1）；
（2）见详解.
【解析】
【分析】
（1）将函数表示为分段函数，再求其最小值.
（2）利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.
【详解】
（1）
当时，取得最小值，即.
（2）证明：
依题意，，则.
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立.
所以.
【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解.已知或（是正常数，）的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值.
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