动态规划矩阵连乘算法.docx
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动态规划矩阵连乘算法
问题描述：
给定n个矩阵：
A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。
确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
问题解析：
由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。
这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=（BC）
例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：
（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。
每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100,100*5,5*50按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:
10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:
10*5*50+10*100*50=75000次
所以问题是：
如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。
算法思路：
例：
设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：
A1：
30*35; A2：
35*15; A3：
15*5; A4：
5*10; A5：
10*20; A6：
20*25
递推关系：
设计算A[i:
j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时，A[i:
j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
当ij]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i<=km[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。
由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。
不过k的位置只有j-i个可能。
因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。
综上，有递推关系如下：
构造最优解：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。
s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:
j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为（A[i:
k]）（A[k+1:
j）。
因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:
n]的最优加括号方式为（A[1:
s[1][n]]）（A[s[1][n]+1:
n]），进一步递推，A[1:
s[1][n]]的最优加括号方式为（A[1:
s[1][s[1][n]]]）（A[s[1][s[1][n]]+1:
s[1][s[1][n]]]）。
同理可以确定A[s[1][n]+1:
n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:
n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。
1、穷举法
列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P（n）。
每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：
（A1...Ak）（Ak+1…An）可以得到关于P（n）的递推式如下：
以上递推关系说明，P（n）是随n的增长呈指数增长的。
因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：
//3d1-1重叠子问题的递归最优解
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"stdafx.h"
#include
usingnamespacestd;
constintL=7;
intRecurMatrixChain（inti,intj,int**s,int*p）;//递归求最优解
voidTraceback（inti,intj,int**s）;//构造最优解
intmain（）
{
intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];
for（inti=0;i{
s[i]=newint[L];
}
cout<<"矩阵的最少计算次数为：
"<cout<<"矩阵最优计算次序为：
"<Traceback（1,6,s）;
return0;
}
intRecurMatrixChain（inti,intj,int**s,int*p）
{
if（i==j）return0;
intu=RecurMatrixChain（i,i,s,p）+RecurMatrixChain（i+1,j,s,p）+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for（intk=i+1;k{
intt=RecurMatrixChain（i,k,s,p）+RecurMatrixChain（k+1,j,s,p）+p[i-1]*p[k]*p[j];
if（t{
u=t;
s[i][j]=k;
}
}
returnu;
}
voidTraceback（inti,intj,int**s）
{
if（i==j）return;
Traceback（i,s[i][j],s）;
Traceback（s[i][j]+1,j,s）;
cout<<"MultiplyA"<cout<<"andA"<<（s[i][j]+1）<<","<}
1.用算法RecurMatrixChain（1,4,s,p）计算a[1:
4]的计算递归树如下图所示：
2.
3.
4. 从上图可以看出很多子问题被重复运算。
可以证明，该算法的计算时间T（n）有指数下界。
设算法中判断语句和赋值语句为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T（n）的递归不等式：
5.
6. 用数学归纳法可以证明
，因此，算法RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。
7. 3、备忘录递归算法
8. 备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新计算。
备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。
在求解的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。
若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。
若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。
此时从记录项中取出该子问题的解答即可，而不必重新计算。
//3d1-2矩阵连乘备忘录递归实现
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"stdafx.h"
#include
usingnamespacestd;
constintL=7;
intLookupChain（inti,intj,int**m,int**s,int*p）;
intMemoizedMatrixChain（intn,int**m,int**s,int*p）;
voidTraceback（inti,intj,int**s）;//构造最优解
intmain（）
{
intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];
int**m=newint*[L];
for（inti=0;i{
s[i]=newint[L];
m[i]=newint[L];
}
cout<<"矩阵的最少计算次数为：
"<cout<<"矩阵最优计算次序为：
"<Traceback（1,6,s）;
return0;
}
intMemoizedMatrixChain（intn,int**m,int**s,int*p）
{
for（inti=1;i<=n;i++）
{
for（intj=1;j<=n;j++）
{
m[i][j]=0;
}
}
returnLookupChain（1,n,m,s,p）;
}
intLookupChain（inti,intj,int**m,int**s,int*p）
{
if（m[i][j]>0）
{
returnm[i][j];
}
if（i==j）
{
return0;
}
intu=LookupChain（i,i,m,s,p）+LookupChain（i+1,j,m,s,p）+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for（intk=i+1;k{
intt=LookupChain（i,k,m,s,p）+LookupChain（k+1,j,m,s,p）+p[i-1]*p[k]*p[j];
if（t{
u=t;
s[i][j]=k;
}
}
m[i][j]=u;
returnu;
}
voidTraceback（inti,intj,int**s）
{
if（i==j）return;
Traceback（i,s[i][j],s）;
Traceback（s[i][j]+1,j,s）;
cout<<"MultiplyA"<cout<<"andA"<<（s[i][j]+1）<<","<}
算法通过数组m记录子问题的最优值，m初始化为0，表明相应的子问题还没有被计算。
在调用LookupChain时，若m[i][j]>0，则表示其中存储的是所要求子问题的计算结果，直接返回即可。
否则与直接递归算法一样递归计算，并将计算结果存入m[i][j]中返回。
备忘录算法耗时O（n^3），将直接递归算法的计算时间从2^n降至O（n^3）。
3、动态规划迭代实现
用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。
在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。
//3d1-2矩阵连乘动态规划迭代实现
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"stdafx.h"
#include
usingnamespacestd;
constintL=7;
intMatrixChain（intn,int**m,int**s,int*p）;
voidTraceback（inti,intj,int**s）;//构造最优解
intmain（）
{
intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];
int**m=newint*[L];
for（inti=0;i{
s[i]=newint[L];
m[i]=newint[L];
}
cout<<"矩阵的最少计算次数为：
"<cout<<"矩阵最优计算次序为：
"<Traceback（1,6,s）;
return0;
}
intMatrixChain（intn,int**m,int**s,int*p）
{
for（inti=1;i<=n;i++）
{
m[i][i]=0;
}
for（intr=2;r<=n;r++）//r为当前计算的链长（子问题规模）
{
for（inti=1;i<=n-r+1;i++）//n-r+1为最后一个r链的前边界
{
intj=i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//将链ij划分为A（i）*（A[i+1:
j]）
s[i][j]=i;
for（intk=i+1;k{
//将链ij划分为（A[i:
k]）*（A[k+1:
j]）
intt=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if（t{
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
returnm[1][L-1];
}
voidTraceback（inti,intj,int**s）
{
if（i==j）return;
Traceback（i,s[i][j],s）;
Traceback（s[i][j]+1,j,s）;
cout<<"MultiplyA"<cout<<"andA"<<（s[i][j]+1）<<","<}
上述迭代算法的运行过程如下图所示：
如图所示：
当R=2时，先迭代计算出：
m[1:
2]=m[1:
1]+m[2:
2}+p[0]*p[1]*p[2]；
m[2:
3]=m[2:
2]+m[3:
3]+p[1]*p[2]*p[3];
m[3:
4]=m[3:
3]+m[4][4]+p[2]*p[3]*p[4];
m[4:
5]=m[4:
4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];
m[5:
6]=m[5][5]+m[6][6]+p[4]*p[5]*p[6]的值；
当R=3时，迭代计算出：
m[1:
3]=min（m[1:
1]+m[2:
3]+p[0]*p[1]*p[3],m[1:
2]+m[3:
3]+p[0]*p[2]*p[3]）;
m[2:
4]=min（m[2:
2]+m[3:
4]+p[1]*p[2]*p[4],m[2:
3]+m[4:
4]+p[1]*p[3]*p[4]）;
......
m[4:
6]=min（m[4:
4]+m[5:
6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:
5]+m[6:
6]+p[3]*p[5]*p[6]）;
......
依次类推，根据之前计算的m值，迭代计算最优解。
与备忘录方法相比，此方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子问题中的部分子问题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结构可以看出，该方法只解那些确实需要求解的子问题
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