第5章控制规律的离散化设计方法z变换大林.docx
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第5章控制规律的离散化设计方法z变换大林
Q5*扭•规W耐离傲化设廿方港
第5章控制规律的离散化设计方法
5・1离散系统「枷扫土
5・2离散系统性能力析
5・3数字控制器直接设讨
5・4大林（Dahlin）算法5・5数字控制器D⑵算法实现
Q5*扭•规W耐离傲化设廿方港
5.1离散系统分析基础
在连续系统分析屮，应用拉氏变换作为数学工具,将描述系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传递西数为基础的复域分析法，使得问趣得以人人简化。
那么在离散系统的分析屮是否也有类似的途径呢？
答案是肯定的，在离散系统屮，采用Z变换法，也町以将差分方程转化为代数方程，同样町以建立以Z传递函数为堆础的复域分析法。
連曲3g5*散化设廿方港
5.1.1Z变换及性质
1・Z变换左义
Z变换是拉氏变换的一种变形，是山采样函数的拉氏变换演变而來的。
连续信弓⑴的拉氏变换式EG）是复变就$的冇理函数。
A—泄条件下，微机控制系统中的采样可假设为理想采样。
将连续信号巩。
通过采样周期为T的理想采样后町得到采样信号€>*（/）,它是一组理想加权脉冲序列，每一个來样时刻的脉冲强度等丁该采样时刻的连续函数值，英表达式为
8
（5—1）
（5—2）
y（f）=工e{kT）^{t-kT）
jt=f）
金MS*Mir«dk敷化讼廿方港
—to*j（a）'''
对式（5—1）进行拉氏变换，得
£（巧=□》（/）]=£MkT）•严
k=0
式中含冇无穷多项，R每一项中含冇以®它足$的超越函数，而不是冇理函数，为了运算方便，引入新的变量乙，令ee®则式（5—2）可改'弓为
在式（5—3）中E（z）称为八W的Z变换。
记作：
Z[e*（0]=£（z）
W为Z变换只对采样点上的信号起作用，所以也町写为：
Z［亡⑴］=F（z）
将式（5—3）展开，得
E（Z）N（O）Z①+M1）Z」+巩2）尹+…+巩"!
比m+…（5—4）
曲此看出，采样函数的Z变换是变駅Z的‘4^级数（或称罗朗级数）.氏一般项心T）F的物理意义足心T）表征采样脉冲的幅值！
Z的:
fif次表征采样脉冲出现的时刻。
因为它既包含了量值信息e（kT）,乂包含了时间信息邪。
/Va.M5*I2MMITftdTT敷化讼好方港
2.Z变换的计算方法
求任总函数貞”的Z变换，通常分三步进行：
1£（『）被理想采样器采样，给出离散采样函数疋“小
6
2求gp）的拉氏变换，给岀£*（5）=£le*（Z）］=J
3在E心）中Hk替换给出E（z）=X心
帛汎M5*MirasMMlt■»■«•：
»•>*•
I）级数求和法
级数求和法是根据z变换的定义式求函数0（f）的z变换。
严格说來，时间函数或级数町以足任何函数，｛H足只們EG）表达式的无穷级数收敛时，它才叮农示为封闭形式。
下而通过典型信号的Z变换式來说明如何应用级数求和法计算Z变换。
【例5—1】求单位阶跃瓯数的Z变换解设"f）二1,求Z变换E⑵。
山定义可得:
00
£（Z）=Y1伙卩）・z"=1+乙"+込4+z"+…k"（5—5）
这是个公比为z"的等比级数…'"|1刊V1亦即匕1>1时,级数收敛，则式（5—5）可写成闭合形式：
Z-
（5—6）
臣皂3^5*垃傲化设廿方港
【例5—2】求单位理想脉冲序列的Z变换。
«0
解设&"）=»"）=艺（z-AD
&=0
求Z变换Ed），则
E（z）=yI伙IT）才=|+厂十^-2+乙-'+..・=
A=oZ一
（5—7）
比较式（5—6）和式（5—7）町以看出，不同的曲），n|以得到和同的E⑵。
这是由于阶跃倍号采样后严⑷与理想脉冲串绘一样的.所以Z变换只是对采样点上的信息冇效只要护W相同，E⑵就和同，但采样前的"『）对以足不同的。
疟皂弟5*etiMKira&TiniM■讼廿方港
【例5—3】单位斜坡信号。
解设求Z变换£（乙），则
E（z）=£伙巧・z"
k二0
0O
（"1）2
（乙>1）
E（z）=Y（―M）辽
/t=0
【例5—4】指数函数。
解设W）二严，求Z变换E⑵，a为实常数，贝1]
£（^）=£严•亍=1+严丁•乙」+尸刃•厂+严.Z一3
*=0
（5—9）这是一个公L-匕为的等比级数，半叫＜1时，
级数收敛，则式（5—9）可写成闭介形式：
2）部分分式展开法
川部分分式展开法求Z变换，即l2知时间函数的拉氏变换E（s）,求该时间函数£⑴的Z变换。
它足通过$域和时间域之间的关系，來建立S域和辽域之间的关系的°其解法的具体步骤足：
U知口$）,将Z分解成部分分式Z和，賁变换表求时间曲数吃）="[EG）],利用式（5—3）或查Z变换表求ili£（3）o
设连续时间函数⑴的拉氏变换E（£）为冇理分式函数
帛汎M5*££*1JVtir*d7*敷化讼卄方港
*^n>\jBD''
式（5—11）中，MG）和NG）分别为父变帚S的冇理多项式。
当E（s）没冇重根时，即EG）没仃重极点，可将EG）展开成部分分式利的形式，即
（5—12）
£（$）=£△
/=1S-P,
式（5—12）屮，巾是拉氏变换式EG）的第/个极点，即MC的零点；儿是第f项系数，町用待定系数法求得，即当N（$）lL分解为因式乘积时
NC$）
或者当NG）耒分解力因式乘积时
_M（s）
'~/V\.s）
式（5—14）屮N®是NG）对S的导数。
市拉氏变换知道，4"（M）相对应的时间函数为Aiepit.根据式（5—10）便可求衍与A/G诃）项对应的Z变换为
4二4?
1一护^一1Z—€卩卩
因此，函数eW的Z变换便可山£（$）求得，并可写作
4込
Z-严
（5—15）
"4”
£U）=Z|£（.）1=X匸加=艺
/=!
'_亡•1=1
3g5*垃個机律曲血敷化讼廿方港
【例5—5】已知£（$）=—-—，求它的Z变换E（z）。
£（$+«）
解先对E（$）进行部分分式分解:
£（巧=〒^=
s（s+d）sy+d
/V汎MS*l£«JVtlTttdK敷化讼廿方港
"wXJCD■■
查表得
II7
£,U）=Z[-1=-—=—
s\-zz-1
〔2⑵=Z[—]=-_a丁_]=Z
$+d\-ezz-z
一、、z1z（l—E®）
£（z）=ZEG）=y-=one严
Z-II-eZ（z-l）（乙一£
_Z（1-严）
■込2-（1+€5）2+严丁
/VitMS*JVtlTttdK敷化讼廿方港
—wUCD■■
3）留数计算法
若己知连续时间函数W⑴的拉氏变换式EG）及：
11全部极点卩口=1,2,…，小则E⑴的Z变换还町以通过下列留数计舁求得，即
n7
£（z）=SRe5[£（p,.）^^l
/=!
乙一小
«17
=y{心一p）£（s）—]}
纟©-1）!
d”八z-严r
（5—16）
式屮，H为全部极点数，为极点S=Pi的贡数，T为采样周期。
W此，在已知连续凶数£（『）的拉氏变换式£（可全部极点宀的条件下，可采用式（5—16）求0（0的Z变换式。
弟5*垃•散化设廿方港
【例5—6】已知控制系统的传递函数为E（s）=!
~~-
（5+1）（5+4）,求瓦Z变换式・
解山传递*1数求出的极点为：
6=1,r,=l；
$2=4,/*2二1。
Z变换式为
£
（2）=（$+1）-__—一—
（5+1）（5+4）
+（5+4）
（5'+1）（5+4）
Z
3（z-茁了）3（z-严）
【例5-71求连续时间函数e（Z）=r
I宀tn0
对应的z变换式。
解丘⑴的拉氏变换为E（s）=
（s+d）・
则52=2。
丿IJ式（5—16）对它进行变换后，得
3.Z变换基本定理
与拉氏变换类似，在Z变换屮右•一些基本定理，它们町以使Z变换变得简单和方便。
1）线性定理
若lL知勺⑴和勺⑴冇Z变换分别为d⑵和d⑵，且5和。
，为常数，贝IJ
■
Z［⑷^⑴土如勺（f）］=«|E］⑵土6/2^2（^）
（5—17）
帛汎ar5*iftMMir«d7<敷住设卄方港
•^n>*jBD■
2）右移位定理
若Z[>（”]=£（z）.则
（5—18）
Z\_e{t-nT}'}ynE⑵
英屮，n为止整数。
说明：
该定理农明，"广域小ft
/%ivar5*Mir«d7<敷住设卄方港
■^n>\jBD■
3）九移位定理
若Z&（『）]=E（z）,贝ij
Z（e（t+nT）]
=z”{E（z）—“0）-dT）J-NCH2_..._£[G—i）7jz77
英中，〃为疋整数。
（5—19）
=Z”[E（z）-Xe伙T）Z“]
Jt=O
/%ivMS*仪《1MITftdTT敷化设卄方港
—TO*JCD
【例5—8】求被延迟一个采样周期卩的单位阶跃函数的Z变换。
解丿应用右移（延迟）定理，白
z[l（r-r）=z'^Z[l（r）J=z-'丄=丄
z-l乙一1
4）复位移定理
若函数HO冇Z变换E⑵，则
式中，是常数。
MS*仪《1MITftdTT敷化设卄方港
"^n>uOD
5）初值定理
若Z»（”]=E（汰H.极限hmE（z）存在，贝U当Z—>s
匸<）时的采样信号訂⑴的初frte（O）取决rlimE{z）
•—>oc
的极限值.即
（5—21）
e（（））=lim£（/zr）=lim£（z）/?
—>（）
/V汎ar5*MfTftd离敷化设卄方港
~*jBD
6）终值定理
若Z［⑷）］=£U）,H.（l-r'）FU）在单位闘上和单位
圆外无极点（该条件确保/⑴存在有界终值），则有
0（8）=limE（nT）=lim（z-l）F（z）=lim（l一z"*）£（z）
fl—>0QZ—>I2fI
（5—22）
根据初值定理和终值定理，可以f（接由Z变换式E（z）获紂相应的采样时间序列心门的初值和终值。
【例5—9】已知Z变换为E（z）=——Gr-
其>|'lul解
（1）由初值疋理，得巩kD的初值为
（2）因（YMz）=k，极点心
在单位I员I内，故可以利用终值定理求终值，即
£（8）=lime（kT）=lim（l—=lim
"TSZTl一1]—a乙
/Wiar5*I2MMiTttd房铀匕畑叶方港
—5.1.2Z反变换
1*除法
通常E（z）是Z的佇理函数，町表示为两个Z的多项式
Z比，即
E（Z）=%{+处二+尿二+•••+"，”（5-23）
qz"+y+幻？
+…・+匕］
对式（5-23）川分母除分子，并将商按L的升海排
歹ij，有
C才
（5—24）
6
£■⑵之0+0忆7+乙¥一2+•••+%"+•••=》
女=0
/Va.MS*MITttdkieg畑叶方港
式（5—24）恰为Z变换的定义式，其系数c&=0,I,2,…）就足£（『）在采样时刻/=切甘的值e（kT}。
此法在实际屮应用较为方便，通常计算自限料项就够了，缺点是要得到e（kr）{^i一般表达式轶为闲难。
/Vaar5*££«Mir«d敷化讼廿方港
—UWJQD
【例5-10］已知E（z）=—————，试求其Z反变换。
（<-l）（z-2）
lOz"'
lOz
解
E{Z）=—=—7^7+…
（Z-l）（Z-2）I-3L+2z7
10厂|+30严+70辽7
I-3乙T+2厂2
10厂-30;：
7+20厂
30尹-20z7
3（比T_9（）z7+60z7
lOz
70z7-60厂
7（『-21（才+140广'
应川上面的长除法，对得
E（z）=10r'+30r-+70z<'+,-
所以
Cp）=O+l（W（"7）+3O（X“2刀+70…
I例j心卩占牛’试求畑反变换。
应川反除法可得
£（3）=（I-严耳2」+（19加吸-2+（]-“"7）込-3+所以
£>*（0=（I-严7）力（卜7>（I-丘心◎决卜27）+（1Y亠厂妙（卜7）+…
2.部分分式展开法
Z变换函数E（z）可用部分分式展开的方法将氏变成分式和的形式，然后通过Z变换表（见附录）找出展开式小每一项所对应的时间函数刃），并将英转变为采样依号丘S
在进行部分分式展开时，Z变换和拉氏变换稍冇不同。
参隗Z变换表町以看到，所rrz变换函数E⑵在其分了上都仃因子Z。
因此，我们可以先把E（z）除以Z,并将E（z）/z展开成部分分式，然后将所得结果的每一项都乘以Z，即得£（z）的部分分式展开式。
下血按E
（2）的特征方程白、无重根两种悄况举例说明。
3r5*垃*机佯gng讼廿方港
1）特征方程无重根【例5—12］给定Z变换
—（1-宀？
E（乙）一〒~
（z-l）（z-严）
式中。
是常数，用部分分式法求E⑵的Z反变换丘（）。
解E⑵的特征方程式为（71）（"0二0,解Z得
Z1=1，Z2=E
将E（z）/z展成部分分式
/V孔ar5*££«Mir«dgm匕讼廿方港
■^n>\jOD'
E（z）_A,
—十
zz-l
~ut>O™
所以
査Z变换农得
所以采样浙数为
e*（t）=X（1-宀）/（/W）
火=0
2）特征方稈有朿根
【例—3】己沁变换占'求坨反变换。
解Ed）的特征方程式为
Z■-2z+l=0
解得S=1为两重根。
设£（z）_4，人
—^"（<-1）2百町得
小_14
22=1
M5*疑•Miras化讼卄方港
~\j（iD''
为求每，先将方程两边同乘（"1*得
（込_1）2竺1=4+（Z_］皿
Z
再将上式两端对込求导，得
d2E（zkd
A=—r（z-l）1-1=—（-3z+l）
azzdz.
E（z）=-—-—
（Z-1）2Z-1
e（f）=—2t—3-1（f）
所以采样函数为
R（F）=£[-2kT-3-KkT）]3（t-kT）
k=i）
/V汎章5*JVtlTftdK敷化讼卄方港
^n>\jOD
山厂£（识”％=此I工心
厂A=0
4换积分与和式次序，有
S
血£⑵严衣=工讹门也
严-1灰1（5—26）
k=Q
根拥复变因数柯两赵理知
rt—IJ
厂Zdz=
77=（）
这样，式（5—26）的右边只存在川m的一项，其余项均为零，于是式（5—26）变成
£E（乙）寸T"乙=2兀je（kT）
所以
W）=茹血EZF
（5-27）
Mir«d*处g畑叶方港
式（5—27）就是Z的反变换公式，曲于厂内包国r所有极点，根据复变函数的留数理论，式（5—27）右端的积分乂等于「内所包含各极点留数之和,即
“
"灯）=工［E（乙）才"在厂内极点的留数］
/=|
或写作
e（kT）=XReHE⑵占I］心
<=1
/Viv第5*MLir«dKJIME讼廿方港
-^n>*JQB
式屮，'的极点数；Res[£（z）z^'],=^.表示
E⑵戶在E⑵极点石上的留数，当石为II迹极点时，
Res[E（z）zZ]r=1型（Z-乙）£*（叹1
当迓为作垃极点时，
1小T
臣醞"5*垃•MWQKia化设廿方港
【例5—141已知Z变换
（1—严比
Res|E（W,巳吧y時[（""E⑵严]
F（z）=T
（"1）（2-严）
试用留数计算JtZ反变换。
解E（z）的两个极点是0=1,勺=严八则
2/]一e{kT}=yRcs[—-—
台（C-l）（Z-
（[_w・aQ上
見—
=1-严
7T
£丿乙—,
Je）
+（l-f_严
（z—l）y-水"）
）乙
曲"
*^n>u（iD
釆样函数为
OO
eXkT）=》（1-厂灯）5（/-"）
k=Q
帛汎M5*££«MITttd离敷化讼卄方港
^n>uOD
【例5—151已知Z变换
E（z）=^^l^（Z-0.5）'试用留数计算HZ反变换。
解£⑵的两个极点£,.2=0.5,贝IJ
dZ:
Q=Res[0~'）：
;?
一1-05
（2—0.5）2」吧皿
=—-—limZ[（z-0.5）2（DzI（2—1）!
也皿丈（Z"0・5）2
=limIkz^-'-伙+1）4
.V|2=0.5
=（Jk-1）0.5'
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