届高考数学备考复习等差数列等比数列教案.docx
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届高考数学备考复习等差数列等比数列教案
2012届高考数学备考复习等差数列、等比数列教案
专题三：
数列
第一讲等差数列、等比数列
【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：
1．弄清等差、等比数列的基本概念及性质，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式。
2．掌握特殊数列的求和方法。
如：
倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等。
3．利用数列中与之间的关系，求能项公式及解决其他数列问题。
4．利用数列的递推关系,求通项公式,结合n项和公式,解决数列应用题。
．数列经常与函数、三角、不等式、解析几何等知识结合，综合考查等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的应用。
6．利用方程的思想、根据公式列方程（组），解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题；利用函数的思想或根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和的最值问题；利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差、等比数列问题解决；利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q是否为1等问题。
7．结合数学归纳法解决一类归纳——猜想——证明的题目。
第一讲等差数列、等比数列
【最新考纲透析】
1．数列的概念和简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2．等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念。
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。
【核心要点突破】
要点考向1：
有关等差数列的基本问题
考情聚焦：
1．等差数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。
2．该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。
3．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
考向链接：
1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；
2．等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d＞0,递增；d＜0，递减）；
3．证明数列{}为等差数列有如下方法：
①定义法；证明（与n值无关的常数）；②等差中项法：
证明。
例1：
（2010•浙江高考科•Ｔ19）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+1=0。
（Ⅰ）若=，求及a1；
（Ⅱ）求d的取值范围。
【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。
【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和求解即可。
【规范解答】（Ⅰ）由题意知S6==-3,=S6-S=-8。
所以
解得a1=7，所以S6=-3,a1=7
（Ⅱ）方法一：
因为SS6+1=0,所以（a1+10d）（6a1+1d）+1=0,即2a12+9da1+10d2+1=0
故（4a1+9d）2=d2-8所以d2≥8[故d的取值范围为d≤-2或d≥2
方法二：
因为SS6+1=0,所以（a1+10d）（6a1+1d）+1=0,即2a12+9da1+10d2+1=0
看成关于的一元二次方程，因为有根，所以，解得或。
要点考向2：
有关等比数列的基本问题
考情聚焦：
1．等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。
2．该类问题有时单独命题，考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式；但更多的是与函数的单调性、不等式结合在一起，在知识交汇点处命题。
3．选择、填空及解答题中都有可能出现，属中、高档题。
考向链接：
（1）证明数列{}为等比数列有如下方法：
①定义法：
证明。
②等比中项法：
。
（2）求一般数列{}通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。
例2：
（2010•辽宁高考理科•Ｔ6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。
已知a2a4=1,,则（）
（A）（B）（）（D）
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式
【思路点拨】列出关于a1q的方程组，解出a1q再利用前n项和公式求出
【规范解答】选B。
根据题意可得：
要点考向3：
等差、等比数列综合问题
考情聚焦：
1．等差、等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所体现。
2．单独考查等差数列或等比数列的问题较少，大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现，在两知识的交汇点处命题，同时考查其他数学知识、思想方法等。
3．多以解答题的形式出现，属中、高档题目。
例3：
（2010•陕西高考理科•Ｔ１6）
已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列
（Ⅰ）求数列的通项公式，（Ⅱ）求数列的前n项和
【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】已知关于d的方程d
【规范解答】【方法技巧】1在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
2．数列求通项的常见类型与方法：
公式法、由递推公式求通项，由求通项，累加法、累乘法等
3数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。
4．解综合题的成败在于审清题目，弄懂龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条，明确解题方向，形成解题策略．
【高考真题探究】
1．（2010•福建高考理科•Ｔ3）设等差数列的前n项和为。
若，，则当取最小值时，n等于（）
A6B78D9
【命题立意】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。
【思路点拨】。
【规范解答】选A，由，得到，从而，所以，因此当取得最小值时，=，又，故，从而,
2．（2010•辽宁高考科•Ｔ3）设为等比数列的前n项和，已知
则公比q=（）
（A）3（B）4（）（D）6
【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式。
【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比q。
【规范解答】选B，两式相减可得：
。
故选B。
3．（2010•福建高考理科•Ｔ11）在等比数列{}中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=。
【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式。
【思路点拨】由前3项之和等于21求出，进而求出通项。
【规范解答】选A，,
【方法技巧】另解：
，
4．（2010•辽宁高考科•Ｔ14）设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=
【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式
【思路点拨】根据等差数列前n项和公式，列出关于首项a1和公差d的方程组，求出a1和d，再求出
【规范解答】记首项a1公差d,则有。
。
【答案】1
．（2010•浙江高考科•Ｔ14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是。
【命题立意】本题主要考察了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题。
【思路点拨】解决本题要先观察表格，找出表中各等差数列的特点。
【规范解答】第n行第一列的数为n，观察得，第n行的公差为n，所以第n0行的通项公式为，又因为为第n+1列，故可得答案为。
【答案】
6．（2010•北京高考科•Ｔ１6）已知为等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式等比数列的前n项和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
【思路点拨】
（1）由可列方程解出，从而可求出通项公式；
（2）求出，再求出公式。
代入等比数列的前n项和公式即可。
【规范解答】（Ⅰ）设等差数列的公差。
因为
所以解得，所以
（Ⅱ）设等比数列的公比为
因为所以即=3
所以的前项和公式为
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1，a3=3，则S4=（）
（A）12（B）10（）8（D）6
2设数列{xn}满足lg2xn+1=1+lg2xn,且x1+x2+x3+…+x10=10,则x11+x12+x13+…+x20的值为（）
（A）10×211（B）10×210
（）11×211（D）11×210
3已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7•a14的最大值是（）
（A）2（B）0（）100（D）不存在
4已知为等比数列，Sn是它的前n项和。
若，且与2的等差中项为，则=（）
A．3B3331D29
设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（）
A、B、
、D、
6（2010•潍坊模拟）已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9<S8=S7，则下列说法不正确的是（）
A．S9<S10B．d<0
．S7与S8均为Sn的最大值D．a8=0
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7将正偶数划分为数组：
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，则第n组各数的和是（用含n的式子表示）
8已知数列{an}满足:
a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2009=_______;a2014=_______
9已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=1,S=,则过点P（3,a3）,Q（10,a10）的直线的斜率为_______
三、解答题（10、11题每小题1分，12题16分，总分46分）
10数列的通项试问该数列有没有最大项？
若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由
11在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S,S+2,S+1成等差数列，则a,a+2,a+1成等差数列
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断逆命题是否为真？
并给出证明
12已知数列中，前n项和为，，并且（），
（1）求，的值；
（2）设，若实数使得数列为等差数列，求的值。
（3）在
（2）的条下，设数列的前n项和为，求证：
参考答案
一、选择题
1【解析】选S4==2×（1+3）=8
2【解析】选B∵lg2xn+1-lg2xn=1,∴{xn}为等比数列，其公比q=2,
又∵x1+x2+…+x10=10,
∴x11+x12+…+x20=q10（x1+x2+…+x10）=210×10
3【解析】选A∵S20=×20=100,
∴a1+a20=10,
∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10
∵an>0,∴a7•a14≤（）2=2
4【解析】选
由，又得
所以，，，，
【解析】选D，设等比数列的公比为，由题意，
，，所以，故D正确。
6【解析】选A由题意知d<0，a8=0，所以
二、填空题
7【解析】前组共有偶数的个数为
故第组共有个偶数，且第一个偶数是正偶数数列
的第，
所以第n组各数的和为
答案：
8【解析】依题意，得a2009=a4×03-3=1,a2014=a2×1007=a1007=a4×22-1=0
答案：
10
9【解析】∵a4=1,S=
∴==a3,∴a3=11
∴公差d=a4-a3=1-11=4
a10=a4+6d=1+24=39
∴P（3,11）,Q（10,39）
PQ==4
答案：
4
三、解答题
10【解析】方法1：
∴当n＜9时，
当时，
当n＞9时， ，
故，
∴数列中最大项为或其值为，其项数为9或10
∴数列中最大项为或其值为，其项数为9或10
11【解析】
（1）在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若a,a+2,a+1
成等差数列，则S,S+2,S+1成等差数列
（2）设数列{an}的首项为a1，公比为q
由题意知:
2a+2=a+a+1，
即2a1q+1=a1q-1+a1q
∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0,
12【解析】
（1）由（）得
即（）
∵
∴
（2）由条
∵为等差数列∴
即
解得
∴且，
∴，
即数列是公差为，首项为的等差数列
（3）由
（2）得（）
∴【备资】
4已知数列前n项和Sn=（-2）+an,其中n∈N*，>1
（1）证明：
{an}是等比数列；
（2）当a1<a2<…<an<…时，试确定的取值范围
【解析】
（1）Sn=（-2）+an,Sn+1=（-2）+an+1,
所以an+1=Sn+1-Sn=an+1-an,
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