工程结构拓扑优化的理论研究及应用满宏亮.docx
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工程结构拓扑优化的理论研究及应用满宏亮
提要
本文首先介绍了国内外拓扑优化技术的研究发展现状，讨论了拓扑优化的
原理、方法以及各种拓扑优化算法。
其次，着重研究了SIMP材料插值方法，
建立了基于SIMP理论的连续体结构拓扑优化模型，选取准则优化法对其密
度迭代格式进行了推导；并且利用MATLAB软件编程实现，有效地进行了平
面结构的分析和拓扑优化设计。
然后，分析了拓扑优化中的数值计算不稳定性
现象，研究了能够有效消除拓扑优化中的数值计算不稳定性现象的各种解决方
法，并对其进行了比较。
最后，利用连续体结构拓扑优化求解理论和算法，使
用结构有限元分析软件Hyperworks对具体工程结构部件进行了拓扑优化设计
研究，成功地应用到了实际工程问题中，算例结果表明了该优化方法的有效性
和正确性。
关键词：
有限元拓扑优化材料插值模型数值计算不稳定性优化
求解算法
Keywords:
FEATopologyoptimizationMaterialInterpolation
ModelNumericalCalculationInstabilitiesOptimizationSolutionAlgorithm-i-
第一章绪论...................................................1
1.1前言........................................................1
1.2国内外拓扑优化研究概况......................................3
1.3本文研究内容及意义..........................................9
第二章现代结构拓扑优化理论...................................11
2.1拓扑的概念.................................................11
2.1.1拓扑学的由来...........................................11
2.1.2拓扑学及拓扑性质.......................................13
2.2结构拓扑优化原理和方法.....................................16
2.2.1拓扑优化的基本原理.....................................17
2.2.2结构拓扑优化设计方法...................................17
2.2.3拓扑优化设计方法比较...................................21
2.3拓扑优化设计的优化算法概述.................................22
2.3.1优化算法分类...........................................22
2.3.2拓扑优化常用算法.......................................24
第三章连续体结构拓扑优化的模型建立与求解算法.................27
3.1连续体结构拓扑优化设计的模型描述...........................29
3.2数学模型的有限元离散.......................................34
3.2.1单元应变和应力.........................................34吉林大学硕士研究生学位论文
-ii-
3.2.2单元平衡方程...........................................35
3.2.3连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式...........38
3.3基于SIMP理论的优化准则法..................................39
第四章结构拓扑优化程序实现...................................45
4.1基于SIMP理论的优化准则法迭代分析流程......................45
4.2优化过程的MATLAB编程实现..................................47
4.3计算实例...................................................48
4.3.1单一工况简支梁算例.....................................48
4.3.2单一工况悬臂梁算例.....................................49
4.3.3多工况简支梁算例.......................................50
第五章连续体结构拓扑优化中数值不稳定问题的研究................51
5.1多孔材料问题...............................................52
5.2棋盘格式问题...............................................52
5.2.1棋盘格现象.............................................52
5.2.2棋盘格式产生的原因.....................................53
5.2.3棋盘格解决方法.........................................53
5.3网格依赖性问题.............................................56
5.3.1网格依赖性现象.........................................56
5.3.2网格依赖性问题产生的原因...............................57
5.3.3网格依赖性解决方法.....................................57
5.4局部极值问题...............................................59
5.5克服数值不稳定现象几种主要方法的比较.......................60目录
-iii-
第六章拓扑优化技术的应用.....................................61
6.1拓扑优化分析软件介绍.......................................61
6.2拓扑优化技术的应用举例.....................................65
6.3拓扑优化技术应用算例.......................................67
6.3.1算例一某型轿车车门内板的拓扑优化.....................67
6.3.2算例二某型轿车控制臂的拓扑优化.......................71
第七章全文总结与展望.........................................75
7.1全文总结...................................................75
7.2研究展望...................................................76
参考文献.......................................................77
摘要..........................................................I
Abstract........................................................I
致谢..........................................................I-1-
第一章绪论
1.1前言
近年来，随着计算机技术和数值方法的快速发展，工程中许多大型复杂结
构问题都可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到解决。
有限元法已
经成为结构分析的一个重要的数值计算方法，这一理论的基本思想诞生于20
世纪中叶，经过60多年的不断发展和完善，理论已经日趋完善，而且已经开发
出一批通用和专用有限元分析软件。
使用这些软件已经成功解决了航空航天、
核工业、铁路运输业、石油化工、机械制造、能源、汽车、电子、土木工程、
造船、生物医学、轻工、地矿、水利等大型科学和工程计算难题。
有限元法已
经为各领域中产品设计、科学研究做出了很大贡献，并且取得了巨大的经济和
社会效益。
众所周知，机械结构和零部件的优化设计是为了设计出重量轻，刚强度好，
可靠性强的理想结构。
集计算力学、数学规划、计算机科学以及其它工程学科
于一体的结构优化设计是现代结构设计领域的重要研究方向。
它为人们长期所
追求最优的工程结构设计尤其是新型结构设计提供了先进的工具，成为近代设
计方法的重要内容之一。
结构设计一般分为：
结构强度设计、结构刚度设计、结构稳定性设计、结
构可靠性设计和结构优化设计。
前四种设计是基于结构的使用安全性考虑，其
结构设计思路是根据已有的基本理论和工程设计人员的设计经验设计出产品
的初始结构，然后进行强度分析，如果不符合要求，再重新设计，重新分析，
直到满足用户的要求。
而结构优化设计是让设计的结构利用材料更经济、受力
分布更合理。
结构优化通常分为截面（尺寸）优化、形状优化、拓扑优化和结构类型优吉林大学硕士研究生学位论文
-2-
化[1]。
优化技术包括传统的参数设计优化（DesignOptimization）、基于产
品几何形状的拓扑优化（TopologicalOptimization）、多目标优化设计
（DesignXplorer）等。
目前尺寸优化和形状优化技术已经比较成熟，但是在
结构布局已定的情况下，工程师对设计的修改程度有限，优化设计所能产生的
效果有限。
结构拓扑优化又称为结构布局优化，它是一种根据约束、载荷及优
化目标而寻求结构材料最佳分配的优化方法。
这个新兴的结构力学的分支不仅
能够解决结构优化中较难的一些问题，而且又有相当大的实际应用价值。
运用
拓扑优化，在一定的设计域内通过反复地消除和重新分布结构材料，能够确定
结构材料的最佳排列方式。
而这个设计域，是一个只需给出最外边界的粗糙的
模型，不需要初始给定有序结构。
从宏观角度看，拓扑优化涉及到的不仅是结
构的截面、几何形状，还包括它的拓扑模型构成，即其构件的空间连接方式。
结构拓扑优化可以大大改善结构的性能或在保持原刚度不变的情况下减
轻结构的重量，从节能环保角度带来直接的经济效益。
由于该方法能在工程结
构设计的初始阶段为设计者提供一个概念设计，使结构在布局上采用最优方
案，所以与尺寸优化和形状优化相比能取得更大的经济效益，也更易被工程技
术人员所接受。
结构拓扑优化设计把传统结构设计理念向前推动了一大步，是
结构设计的一个新的里程碑，是目前工程设计人员必须学习和研究的一个方
向。
近年来，结构拓扑优化设计技术越来越受到人们的重视，已成为国内外研
究的一个热点。
研究拓扑结构优化设计方法，既有理论价值，又有现实意义。
骨是脊椎动物身体的重要组成部分。
不论是从形态学的观点还是从力学的
观点来看，骨都是非常复杂的。
但是这种复杂性是由其功能适应性所决定的。
所谓骨的功能适应性，是指对所担负工作的适应能力。
决定骨功能适应性的因
素有：
轴线形状，截面形状，材料沿各方向的分布规律和内部构造情况等。
骨
是最理想的等强度优化结构。
它不仅在某些不变的外力环境下能显示出其承力
的优越性，而且在外力环境发生变化时，能通过内部调整，以有力的新结构形第一章绪论
-3-
式来适应新的外力环境。
拓扑优化的应用领域能否进一步扩展，应用于类似骨这种具有功能适应性
的生物结构呢？
事实上，人类对于骨的研究是沿着另一条轨道进行的。
学者们
的工作很好地描述了骨的内部最优结构形态，如Weinans等[2]。
然而，我们
可以设想，为什么骨长成不同的外形呢？
这是对力学环境的适应，或者说是重
要的、大方向性的适应。
如骨干，横截面近似椭圆形，适应各方向受弯，而长
轴则是弯矩最大的方向。
再以椎体为例，我们知道，就外形而言，老年期椎体
比年轻期的有更明显的向内凹的腰鼓形；就内部组织结构而言，老年期小梁骨
更细，分布更疏松。
椎体是主要承力骨，力学因素是决定其结构形态的主要因
素。
椎体在从年轻期到老年期的生长过程中，由于总体力学环境逐渐地发生明
显的变化，从而使其外部几何形状和内部组织结构二者都发生变化，仍以最优
的结构形态去适应新的力学环境。
需要指出的是，骨的这种“最优的结构形态”，应该是即包括最优的内部
组织结构，又包括最优的外部几何形状。
研究者们通过定量的骨再造理论与有
限元分析相结合，已经能够十分成功地模拟出在研究部位的确定的真实的骨结
构外形下的最优的内部组织结构。
引入拓扑优化思想，通过定量的骨再造理论
与有限元分析相结合，模拟预测出骨结构最优的外部几何形状,在这方面宫赫
等[3]已做了一定的研究。
本文主要是对结构拓扑优化的基本理论,各种优化方法,优化算法,数值问
题等进行研究总结,并加以工程实际应用,以期更深入地运用到生物结构的分
析中来。
1.2国内外拓扑优化研究概况
目前结构的尺寸优化和形状优化理论已经发展的相当成熟，并且在生产实
践中得到广泛应用。
随着结构优化理论的进一步发展，结构拓扑优化作为一种吉林大学硕士研究生学位论文
-4-
更高层次的结构优化设计方法被认为是结构优化领域中更为复杂、困难和更具
挑战性的课题[4]。
拓扑优化按研究的结构对象可分为离散体结构拓扑优化（如桁架、刚架、
加强筋板、膜等骨架结构及它们的组合）和连续体结构拓扑优化（如二维板壳、
三维实体）两大类。
实际上离散结构拓扑优化的历史可以追溯到1904年由Michell提出的
Michell桁架理论[5]，由于数学上的复杂性，Michell桁架理论只能解决一
些承受简单载荷和简单支撑情况的问题，并依赖于选择适当的应变场。
后来虽
有许多研究者对这一理论进行了完善和发展，但是这些研究都属于经典布局理
论优化范畴。
为了克服经典布局理论在实践应用中的困难，陆续提出了一些优
化方法，其中最有代表性的是Dorm、Gomor和Greenberg（1964）等提出的
基结构法（Groundstructureapproach）[6]，该方法只考虑单工况和应力约
束，不考虑位移约束和协调条件，以内力作为设计变量，从而导出了一个线性
规划问题，杆截面由满应力法求得，将截面面积为0的杆件从基结构中删除以
求得结构的最优化拓扑。
后来Dobbs和Felton[7]对这一方法进行了推广，
将设计变量指定为杆截面，考虑多工况和应力位移约束，求解这个非线性问题。
20世纪60年代初Schmit将结构优化问题表述为数学规划问题，并采用数学规
划算法求解，成为结构优化领域的一个重要里程碑[8]。
段宝岩和叶尚辉[9]
也以内力为设计变量，考虑两工况和内力位移约束，通过变量代换建立线型规
划问题，以求得桁架结构的最优化拓扑。
最近Grierson和Pak、许素强和夏
人伟[10]、Ohsaki将遗传算法引进桁架。
陈建军，曹一波等[11]把可靠性理
论应用到桁架拓扑优化设计中，并且取得了比较好的效果。
包括桁架结构优化在内的离散结构拓扑优化已比较成熟，国内外已有很多
深入的研究和文献[12-17]。
连续体结构拓扑优化理论是结构优化领域研究的
难点和热点问题，近年来也得到了较快发展[18-23]。
第一章绪论
-5-
连续体结构的拓扑优化是在一个确定的连续区域内寻求结构内部非实体
区域位置和数量的最佳配置，寻求结构中的构件布局及节点联结方式最优化，
使结构能在满足应力、位移等约束条件下，将外载荷传递到结构支撑位置，同
时使结构的某种性态指标达到最优。
目前对二维连续体结构的拓扑优化研究较
多。
进行拓扑优化的主要困难在于：
满足一定要求的结构拓扑形式具有很多种，
拓扑形式难以定量描述或参数化，而需要设计的区域预先未知，大大增加了拓
扑优化的求解难度。
目前关于拓扑优化的重要研究方向可以概述为以下几个方面：
拓扑结构描
述方式和材料插值模型；拓扑优化求解数值算法；去除拓扑优化中数值计算不
稳定性的方法，优化计算结果的提取和重构；拓扑优化的应用研究等。
拓扑优化中的拓扑描述方式和材料插值模型非常重要，是一切后续优化方
法的基础。
拓扑优化中常用的拓扑表达形式和材料插值模型方法有：
变厚度法
[24]；均匀化方法（Homogenizationmethod）[25-30]；密度法[31-36]（如
各向正交惩罚材料密度法，即SIMP（Solidisotropicmaterialwith
penalizationmodel）方法）；拓扑函数描述方法[37-40]等，其中均匀化方
法和密度法是最具有代表性的两种材料插值模型。
变厚度法是最早被采用的拓扑优化方法，这方面工作可追溯到1977年
Rossow和Taylor[41]的变厚度应力膜最优设计，它的基本思想是以单元的厚度
为设计变量，以优化后的厚度分布为确定最优拓扑，是尺寸优化的直接推广。
具有方法简单，概念清楚等优点，但是对优化对象进行限制，不能推广到三维
连续体的结构优化中。
20世纪70年代法国科学家Lions[42]提出“均质化方法”并且将其应用
到具有周期性结构材料的分析中，1980年Cheng和Olhoff[43]首先把材料
的微观模型引进到结构优化设计中，1988年丹麦学者Bendose与美国学者
kikuchi[44]提出基于均质化方法的结构拓扑优化设计。
其方法在优化时只考吉林大学硕士研究生学位论文
-6-
虑体积约束和平衡条件，以最小柔顺性为目标，有限元模型中每一单元的微观
结构指定为相同并以其尺寸和转角作为设计变量，优化算法属于准则法，其最
优准则由变分法导出。
Guedes和Kikuchi[25]于1990年提出了更为详细包
含二维和三维结构的实现算法。
Suzhki和Diaz[26,27]提出了采用均匀化方
法同时进行结构形状和拓扑优化的方法，以及采用均匀化方法进行多工况下拓
扑优化的算法。
Michel[28]等研究了用均匀化方法进行材料特性计算的简化方
法。
Lazarus[29]等将数学规划算法引入基于均匀化理论的拓扑优化算法中，
并进行了结构动力学的初步计算。
Hassani和Hinton[30]对基于均匀化理论
的拓扑优化理论和算法进行了全面系统的总结。
均匀化理论和方法在Altair
公司的OptiStruct软件中首次得到了实现。
用均匀化方法解决宏观结构的拓扑优化问题时，其均匀化弹性张量的求解
非常复杂，并且微单元的最佳形状和方向难以确定，结构响应函数的敏度求解
复杂。
Sigmund[33]等用均匀化方法优化了给定材料性能参数情况下的材料微
观结构问题，用均匀化方法材料插值模型进行了材料微观结构的反求，即在给
定一定材料特性参数情况下，采用拓扑优化方法求解材料的最佳微观结构构成
形式。
国内学者吴长春等[34]用均匀化方法对蜂窝材料、复合材料的有效弹性
模量等力学性能参数做了数值模拟计算，刘书田、程耿东等[35]用均匀化理论
对复合材料的性能进行了研究。
密度法是结构拓扑优化设计中的另一种有效方法，与均匀化法不同的是人
为的引入一种假想的材料，材料的密度是可变的，材料参数与材料密度间的关
系也是人为假定的，拓扑优化设计时取密度为设计变量，优化结果是材料的最
优化分布，材料的分布反映了结构的最优拓扑。
Mlejnek等[45]从工程角度出发提出了结构材料密度的幂次惩罚模型，通
过在0-1离散结构优化问题中引入连续设计变量，并加入中间密度惩罚项，
从而将离散结构优化问题转换为连续结构优化问题，这一方法构成了后来密度第一章绪论
-7-
法材料插值模型的基础。
Sigmund和Bendsoe等[46-48]对密度法材料插值模
型进行了深入研究，从理论上研究了各种不同的密度法惩罚材料插值方法，提
出了一种基于正交各向同性材料密度幂指数形式的变密度法材料密度插值理
论，又称为SIMP理论。
利用该模型能够方便地获得单元密度与弹性模量之间
的关系，减少优化设计变量，简化优化求解过程。
该方法作者于1999年证实
了该方法所具有的中间密度单元在物理意义上的存在性。
国内学者隋允康等[49-53]提出了一种独立连续映射模型方法
（Independentcontinuousmapping,ICM），通过引入过滤函数、磨光函数
及光滑映射变换，将桁架结构中的离散变量转换为连续设计变量，优化求解后
再将连续设计变量转换为离散设计变量，这样在离散设计变量和连续设计变量
之间建立了一一对应关系，从而建立完善了桁架结构拓扑优化模型，成功解决
了多工况应力与位移约束下的桁架结构拓扑优化问题。
并尝试将ICM方法推
广到连续体结构拓扑优化中，研究了位移和应力约束下的连续体结构拓扑优化
问题，求解中采用了对偶规划算法。
最近，拓扑优化的应用领域也有了新的进展：
拓扑优化问题的结构形式有
板壳弯曲问题，三维连续结构。
拓扑优化问题的材料有高级材料，非线性材料，
自由材料等。
按照目标函数和约束划分有:
固有值问题，应力约束，损伤和冲
击，控制问题，荷载与设计相关问题，多目标优化。
同时计算方法上也有新的
发展，准则法有转向标准的数学规划方法的趋势，还出现了进化和遗传方法，
细胞自动机，自适应有限元网格的再划分技术。
数值问题稳定性方面，抑制棋
盘格现象的方法也得到了进一步的研究，如周长控制和过滤方法以及小波近似
方法都十分有效。
《连续结构拓扑优化：
综述》[54-55]一文详细介绍了拓扑
优化研究开拓出的许多新的应用领域。
列举的例子包括:
给定宏观性质的材料
设计研究可以设计出负泊松比，负热膨胀系数材料；柔性机构拓扑优化设计提
供的柔性机构具有极小的磨损、摩擦及配合间隙，无需润滑，具有内在恢复力吉林大学硕士研究生学位论文
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等非常优良的机械性能；生物力学中的功能自适应和拓扑优化研究可以模拟骨
骼的形成。
拓扑优化技术通过有限元分析和优化算法相结合来求解，主要解决离散结
构体和连续结构体两类问题。
从研究报告发表的结果表明，国内目前主要工作
是围绕桁架类结构的设计，这些工作虽然在不同程度上推动了拓扑优化技术的
发展，但从总体上讲，对二维、三维及骨架式连续体结构的研究还处于起步状
态，研究与应用力度不够
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