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数学一答案
2010数学一答案
【篇一：
考研数学一真题解析2010】
ss=txt>数学
（一）试卷
一、选择题（1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
x
极限lim?
x?
?
?
x2
（1）?
?
（x?
a）（x?
b）?
?
=（a）1
（b）e
（c）ea?
b
（d）eb?
a
【考点分析】：
考察1∞型不定性极限。
【求解过程】：
?
方法一：
利用求幂指型极限的一般方法：
i=
limx→∞x2
x
x?
ax+b
=limx→∞exlnx2
x?
a（x+b）
归结为求
?
limx?
?
xln
x2
w（x?
a）（x?
b）lim?
?
x2?
?
?
x?
?
xln?
1?
?
?
?
（x?
a）（x?
b）?
1?
?
?
?
2
?
limx?
?
x?
?
x?
（x?
a）（x?
b）?
1?
?
?
?
lim（a?
b）x?
ab
x?
?
x?
（x?
a）（x?
b）?
a?
b
因此，i=ea?
b，选c【基础回顾】：
对于一般的幂指型极限有：
limf（x）g（x）?
limeg（x）lnf（x）?
elimg（x）lnf（x）
?
方法二：
利用第二个重要极限求解
xx
lim?
x?
?
?
x2?
?
（x?
a）（x?
b）?
?
?
lim?
x?
?
?
1?
?
x2
i?
?
?
?
?
?
?
（x?
a）（x?
b）1?
?
?
?
?
（a?
b）x?
ab?
x
（a?
b）x?
ab
?
limxlim?
?
?
xx?
?
?
?
1?
（x?
a）（x?
b）（x?
a）（x?
b）?
?
?
e
?
ea?
b
【基础回顾】：
一般地，对于1∞型极限，均可利用第二个重要极限求解：
设limf（x）?
1，limg（x）?
?
，则
limf（x）g（x）?
lim?
?
1?
?
f（x）?
1?
?
?
?
e
lim（f（x）?
1）?
g（x）
?
g（x）
（2）设函数z?
z（x,y）由方程f（,）?
0确定,其中f为可微函数,且f2?
?
0,则
yzxx
x
?
z?
z?
y=?
x?
y
（a）x（c）?
x
（b）z（d）?
z
【考点分析】：
隐函数求导【求解过程】：
?
方法一：
全微分法方程f（,）?
0两边求全微分得：
yzxx
yzxdy?
ydxxdz?
zdx
?
f1?
d（）?
f2?
d（）?
0，即f1?
?
f?
02
xxx2x2
yf1?
?
zf2?
f?
整理得dz?
dx?
1dy
xf2?
f2?
?
zyf1?
?
zf2?
?
z?
z?
zf?
所以，，?
?
1。
代入即可求得x?
y?
z。
选b.?
?
y?
x?
y?
?
x?
f2xf2
?
方法二：
隐函数求导公式法
记g（x,y,z）?
f?
?
yz?
?
，对于隐函数g（x,y,z）?
0,利用隐函数求导公式得：
?
xx?
?
z?
g?
?
?
x?
x
?
y?
?
z?
f1?
?
?
?
2?
?
f2?
?
?
?
2?
?
gx?
x?
yf1?
?
zf2?
?
?
，?
?
1?
zxf2?
f2?
?
x
?
z?
g?
?
?
y?
y
1
?
g?
?
f1?
?
?
?
zf2?
f2?
?
x
f1?
?
?
z?
z?
y?
z。
选b。
?
x?
y
代入即可求得x
?
方法三：
复合函数求导法
由方程f?
?
yz?
?
yz?
?
?
0可确定z?
z（x,y）。
方程f?
?
?
0两边分别对x,y求偏导，?
xx?
?
xx?
注意z?
z（x,y）。
由复合函数求导法则：
对x求偏导:
f1?
?
（?
y?
z1?
z?
?
）?
f?
2?
?
2?
?
?
02
xx?
x?
?
x
对y求偏导：
f1?
?
11?
z?
f2?
?
?
0xx?
y
解得：
f?
?
zyf1?
?
zf2?
?
z
?
?
1?
?
yf2?
?
xxf2?
代入即可求得x
?
z?
z
?
y?
z。
选b。
?
x?
y
【方法总结】：
上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。
要熟悉隐函数求导公式
和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习。
（3）设m
n为正整数,则反常积分（a）仅与m取值有关（c）与m,n取值都有关
?
的收敛性
（b）仅与n取值有关（d）与m,n取值都无关
【考点分析】：
反常积分的判敛法则，超纲题【基础回顾】：
利用反常积分的判敛法则对瑕点为x?
b的瑕积分敛准则：
?
b
a
f（x）dx，设f（x）在?
a,b）上连续，且f（x）?
0，有如下判
b
（b?
x）f（x）?
k,0?
k?
?
?
0?
m?
1,则①若lim?
x?
b
m
?
a
f（x）dx收敛；
（b?
x）f（x）?
k,0?
k?
?
?
m?
1,则②若lim?
x?
b
m
?
b
a
f（x）dx发散。
【求解过程】：
因为lim?
x?
1
?
?
，所以x=1为瑕点。
2
m1n
而lim?
x?
0
?
lim?
x?
0
xx
?
limx?
x?
0
21
?
mn
，所以x=0是否为瑕点取决于
21
?
是否为mn
负数。
i?
?
仅当
?
?
与dx都收敛，i收敛，否则i发散。
的敛散性
2m
?
①x?
0x
，
与
?
120
1x
12?
nm
敛散性相同，
1112也收敛。
因为m,n均为正整数，所以?
1,所以?
212dx收敛，0?
nmxnm
2m
②x?
0x
，
?
与
?
120
x
21?
mn
dx敛散性相同。
因为
m,n是正整数，所以
21?
-1,mn
若
2121
?
0,则x=0为瑕点，一定存在常数p满足0?
?
?
p?
1，使得
mnmn
px?
0?
limx
?
lim?
x
x?
0
p?
21
?
mn
?
0，于是收敛。
21
不是反常积分，当?
?
0时，x=0
不是瑕点，它存在是一个常数。
mn的敛散性
12m
因为lim（1?
x）?
x?
1
?
lim?
0x?
1?
1
收敛。
而0?
?
1，所以2m所以，选d
【自我总结】：
若反常积分的结果能够通过计算获得，那么其敛散性可直接由计算获知。
若反常积分无法计算，那么其敛散性应由判别法获得。
本题属于由判别法获知反常积分的敛散性。
（4）lim
n
=?
?
22x?
?
i?
1j?
1（n?
i）（n?
j）
nn
（a）
?
?
1
dx?
dx?
x
1
dy
（1?
x）（1?
y2）
（b）
?
1
dx?
x
1
dy
（1?
x）（1?
y）
（c）
1
1
dy
0（1?
x）（1?
y）
1
（d）
?
1
dx?
1
dy
0（1?
x）（1?
y2）
1
【考点分析】：
考察利用积分定义求极限【思路来源】：
把和式化成二重积分定义的形式求解，把和式化成定积分定义的形式求解【求解过程】：
nn
n
?
n?
lim?
?
?
lim?
?
22n?
?
n?
?
i?
1j?
1（n?
i）（n?
j）i?
1j?
1
n
n
1
i?
j?
（1?
）（1?
?
?
）
n?
n?
2
?
1
2n
?
方法一：
化成两个定积分定义式的乘积
n
1111
?
n?
lim?
?
?
?
?
n?
?
j?
1?
j?
2ni?
1n1?
1?
?
?
n?
n?
n
，选d
?
?
111111
?
?
?
dx?
0?
0（1?
x）（1?
y2）01?
x01?
y21
?
方法二：
化成二重积分定义式的形式
记d是正方形区域：
?
（x,y）}|0?
x?
1,0?
y?
1?
，f（x,y）?
1
（1?
x）（1?
y2）
1
，于是?
n是f（x,y）在2n
将d的长与宽均n等分，分成n2个小正方形，每个小正方形面积是d上的一个积分和。
?
n?
?
?
d
11dxdy1
f（x,y）dxdy?
?
?
?
dxdy，选d22?
?
00（1?
x）（1?
y）（1?
x）（1?
y）d
（5）设a为m?
n型矩阵,b为n?
m型矩阵,若ab?
e,则（a）秩（a）?
m,秩（b）?
m（c）秩（a）?
n,秩（b）?
m
（b）秩（a）?
m,秩（b）?
n（d）秩（a）?
n,秩（b）?
n
【考点分析】：
矩阵秩的相关公式【求解过程】：
【篇二：
2010高考全国数学一理科答案】
0年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修ii）
本试卷分第i卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第i卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第i卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．3．第i卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件a、b互斥，那么球的表面积公式
p（a?
b）?
p（a）?
p（b）s?
4?
r2
如果事件a、b相互独立，那么其中r表示球的半径p（a?
b）?
p（a）?
p（b）球的体积公式如果事件a在一次试验中发生的概率是p，那么v?
3
?
r34
n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率其中r表示球的半径
kkn?
k
p（k）?
cp（1?
p）（k?
0,1,2,…n）nn
一．选择题
（1）复数
3?
2i
?
2?
3i
（a）i（b）?
i（c）12-13i（d）12+13i
1．a【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.
【解析】
3?
2i（3?
2i）（2?
3i）6?
9i?
4i?
6
?
?
?
i.2?
3i（2?
3i）（2?
3i）13
（2）记cos（?
80?
）?
k,那么tan100?
?
a.b.
-c.
kk
d.
2.b【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.
?
?
【解析】sin80?
?
?
所以tan100?
?
?
tan80
sin80?
?
?
?
?
cos80?
y?
1,
?
（3）若变量x,y满足约束条件?
x?
y?
0,则z?
x?
2y的最大值为
?
x?
y?
2?
0,?
（a）4（b）3（c）2（d）1
3.b【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点a（1,-1）时，z最大，且最大值为
zmax?
1?
2?
（?
1）?
3.
x?
?
2y?
0
（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（a）4.a【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
3
【解析】由等比数列的性质知a1a2a3?
（a1a3）?
a2?
a2?
5，
1
3
a7a8a9?
（a7a9）?
a8?
a?
10,所以a2a8?
50,3
8
所以a4a5a6?
（a4a6）?
a5?
a?
?
（50）?
（5）（1?
3（15的展开式中x的系数是（a）-4（b）-2（c）2（d）4
5.b【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展
35
3
163
开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力
.
【解析】（1?
3（1
5?
（1?
12x
?
85
故
（1?
3（1
5的展开式中含x的项为
3301?
c5（?
12xc5?
?
10x?
12x?
?
2x,所以x的系数为-2.
（6）某校开设a类选修课3门，b类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（a）30种（b）35种（c）42种（d）48种
6.a【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析】:
可分以下
12
2种情况:
（1）a类选修课选1门,b类选修课选2门,有c3c4
1
种不同的选法;
（2）a类选修课选2门,b类选修课选1门,有c32c4种不同的选1221法.所以不同的选法共有c3c4+c3c4?
18?
12?
30种.
（7）正方体abcd-a1b1c
1d1中，bb1与平面acd
1所成角的余弦值为a
2bcd33
33
7.d【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出d到平面acd1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
【解析】因为bb1//dd1,所以bb1与平面
1a1
a
cb1
c1
acd1所成角和dd1与平面acd1所成角相等,
设do⊥平面acd1，由等体积法得vd?
acd1?
vd1?
acd,即dd1=a,
则s?
acd1?
11
s?
acd1?
do?
s?
acd?
dd1.设33
11112
cd?
a2.ac?
ad1sin60?
?
?
）2?
?
s?
acd?
ad?
222222
3
s?
ac?
ddd1
a,记dd1与平面acd1所成角为?
则所
以do?
s?
ac1dsin?
?
do,
所以cos?
?
.?
dd1?
1
2
（8）设a=log32,b=in2,c=5
则
aabcbbcaccabdcba
8.c【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】a=log32=
12
11
b=in2=,而log23?
log2e?
1,所以ab,log23log2e
c=5
?
?
2?
log24?
log23,所以ca,综上cab.2
2
（9）已知f1、f2为双曲线c:
x?
y?
1的左、右焦点，点p在c上，∠f1pf2=60，则p到x轴的距离为
（a）
（c）
（d）9.b【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析】不妨设点p（x0,y0）在双曲线的右支,由双曲线的第二定义
得
a2
|pf|e[0x?
1?
c
定理得
a2
）?
]a?
0ex
，2pfx2|?
e[x0?
）]?
ex0?
a?
0?
1.由余弦0|
c
|pf1|2?
|pf2|2?
|f1f2|22220
cos∠f,即cos60?
1pf2=
2|pf1||pf2|解得x0?
2
5322
所以y0?
x0?
1?
，故p到x
轴的距离为|y0|?
222
（10）已知函数f（x）=|lgx|,若0ab,且f（a）=f（b）,则a+2b的取值范围是
（a）?
?
）
（b）?
?
）（c）（3,?
?
）（d）[3,?
?
）
10.a【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得
a+2b?
a?
也是命题者的用苦良心之处.
【解析】因为f（a）=f（b）,所以|lga|=|lgb|,所以a=b（舍去），或b?
又0ab,所以0a1b，令f（a）?
a?
减函数，所以f（a）f
（1）=1+
2
?
从而错选a,这a
12，所以a+2b=a?
aa
2
由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a?
（0,1）上为a
2
=3,即a+2b的取值范围是（3,+∞）.1
（11）已知圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为俩切点，那么pa?
pb的最小值为
（a）?
4
（b）?
3
（c）?
4?
（d）?
3?
11.d【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：
设pa=pb=x（x?
0）,∠apo=?
则∠apb=2?
，
，sin?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x2（x2?
1）x4?
x222
=2，pa?
pb?
|pa|?
|pb|cos2?
=x（1?
2sin?
）=2
x?
1x?
1?
?
?
?
?
?
?
?
x4?
x22
令pa?
pb?
y，则y?
2，即x4?
（1?
y）x2?
y?
0，由x是实数，所以
x?
1
?
?
[?
（1?
y）]2?
4?
1?
（?
y）?
0，y2?
6y?
1?
0，解得y?
?
3?
y?
?
3?
.
故
（pa?
pb）min?
?
3?
此时x?
（12）已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点，若ab=cd=2,则四面体abcd的体积的最大值为
（a）
（b）
（c）
（d）333
12.b【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过cd作平面pcd，使ab⊥平面pcd,交ab与p,设点p到cd的距离为h,
则有
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