高中数学第二章推理与证明212演绎推理学案新人教A选修22034.docx

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高中数学第二章推理与证明212演绎推理学案新人教A选修22034

2.1.2　演绎推理

　1.理解演绎推理的意义.　2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.

3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

1.演绎推理

含义

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理

特点

由一般到特殊的推理

2.三段论

一般模式

常用格式

大前提

已知的一般原理

M是P

小前提

所研究的特殊情况

S是M

结论

根据一般原理，对特殊情况

做出的判断

S是P

1.演绎推理的特点

（1）演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实.

（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的.

2.为了方便，在运用“三段论”推理时，常常采用省略大前提的表达方式.对于复杂的论证，总是采用一连串的“三段论”，把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3.“三段论”推理的结论正确与否，取决于两个前提以及推理形式是否正确.在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确.

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“三段论”就是演绎推理.（　　）

（2）演绎推理的结论一定是正确的.（　　）

（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（　　）

（4）演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（　　）

A.演绎推理　　　　　　　　B.类比推理

C.合情推理D.归纳推理

解析：

选A.“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提条件，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义.

“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是（　　）

A.矩形都是四边形

B.四边形的对角线都相等

C.矩形的对角线相等

D.对角线都相等的四边形是矩形

解析：

选C.该推理是省略大前提的演绎推理，因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等.

正弦函数是奇函数，f（x）＝sinx2是正弦函数，所以f（x）＝sinx2是奇函数，以上“三段论”中的　　　　是错误的.

答案：

小前提

探究点1　用三段论的形式表示演绎推理

　将下列演绎推理写成三段论的形式.

（1）等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B.

（2）通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.

【解】　

（1）等腰三角形的两底角相等，大前提

∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提

∠A＝∠B.结论

（2）数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提

通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，

则an－an－1＝2n＋3－[2（n－1）＋3]＝2（常数），

小前提

通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.结论

将演绎推理写成三段论的方法

（1）用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.

（2）用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略.

（3）在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.　

　1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（　　）

A.小前提错　　　　　　　B.结论错

C.正确D.大前提错

解析：

选C.在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的.

2.将下列演绎推理写成“三段论”的形式：

（1）一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；

（2）三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；

（3）循环小数是有理数，0.332·,是循环小数，所以0.332·,是有理数.

解：

（1）一切偶数都能被2整除，大前提

0是偶数，小前提

所以0能被2整除.结论

（2）三角形的内角和是180°，大前提

等边三角形是三角形，小前提

故等边三角形的内角和是180°.结论

（3）循环小数是有理数，大前提

0.332·,是循环小数，小前提

所以0.332·,是有理数.结论

探究点2　演绎推理在证明代数中的应用

　已知函数f（x）＝ax＋

（a＞1），求证：

函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数.

【证明】　如果在（－1，＋∞）上f′（x）＞0，

那么函数f（x）在（－1，＋∞）上是增函数，大前提

因为a＞1，

所以f′（x）＝axlna＋

＞0，小前提

所以函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数.结论

（1）数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.

（2）在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不等关系的一般性原理（如基本不等式等），这是大前提，然后利用“三段论”进行推理.此时应注意不等式性质及定理成立的条件.

　在锐角三角形ABC中，求证sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.

证明：

因为在锐角三角形中，A＋B＞

，所以A＞

－B，

所以0＜

－B＜A＜

.又因为在

内，正弦函数是单调递增函数，所以sinA＞sin

＝cosB，即sinA＞cosB，①　同理，sinB＞cosC，②　sinC＞cosA.③

以上①②③两端分别相加，有sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.

探究点3　演绎推理在证明几何中的应用

　如图，D，E，F分别是△ABC中BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：

ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.

【证明】　因为同位角相等，两条直线平行，大前提

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提

所以FD∥AE.结论

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

大前提

DE∥BA，且FD∥AE，小前提

所以四边形AFDE为平行四边形.结论

因为平行四边形的对边相等，大前提

ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提

所以ED＝AF.结论

若本例中增加条件“∠C＝∠A”，证明：

∠BFD＝∠BDF.

证明：

因为同位角相等，两直线平行，大前提

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提

所以FD∥AE.结论

因为两直线平行，同位角相等，大前提

FD∥AE，且∠BDF与∠C是同位角，小前提

所以∠BDF＝∠C.结论

又因为∠C＝∠A，∠BFD＝∠A小前提

所以∠BFD＝∠BDF.结论

用三段论证明几何问题的一般步骤

（1）理清楚证明命题的一般思路.

（2）找出每一个结论得出的原因.

（3）把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.

即在几何证明问题中，每一步实际都含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况，从而得到结论.　

　在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线.求证：

CA平分∠BCD，BD平分∠ABC.

证明：

如图，

因为等腰三角形两底角相等，大前提

△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，

小前提

所以∠1＝∠2.结论

因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，

大前提

∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，

小前提

所以∠1＝∠3.结论

因为等于同一个角的两个角相等，大前提

∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提

所以∠2＝∠3，即CA平分∠BCD.结论

同理可证BD平分∠ABC.

————————————————————————————————————————————————

1.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（　　）

A.使用了“三段论”，但大前提错误

B.使用了“三段论”，但小前提错误

C.使用了归纳推理

D.使用了类比推理

解析：

选A.大前提是全称命题，而小前提是特称命题.因此命题的推理过程是“由一般到特殊”，是演绎推理，且是“三段论”的形式.

有理数包括有限小数，无限循环小数，以及整数，所以命题中大前提是错误的，从而导致推理错误.

2.下列四种推理是合情推理的是（　　）

①已知两条直线平行同旁内角互补，如果α和β是两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角，那么α＋β＝180°；

②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；

③数列{an}中，由an＝2n－1（n∈N*）推出a10＝19；

④由数列1，0，1，0，…，推测出通项公式an＝

＋（－1）n＋1·

（n∈N*）.

A.①②　　　　　　　　　　B.②④

C.②③D.③④

解析：

选B.①③是由一般到特殊的推理，是演绎推理；

②是由特殊（平面三角形的性质）到特殊（空间四面体的性质）的推理，是类比推理；

④是由数列前几项猜测通项an，是由个别到一般的推理，是归纳推理.

故②④是合情推理.

3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序为　　　　Ｗ.

①y＝cosx（x∈R）是三角函数；

②三角函数是周期函数；

③y＝cosx（x∈R）是周期函数.

答案：

②①③

4.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an（n∈N*）.

（1）证明：

数列{an＋1－an}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

解：

（1）证明：

因为an＋2＝3an＋1－2an，

所以an＋2－an＋1＝2an＋1－2an＝2（an＋1－an），

所以

＝2（n∈N*）

而a2－a1＝2.

所以数列{an＋1－an}是以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由

（1）得an＋1－an＝2n（n∈N*）.

所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1（n∈N*）.

知识结构

深化拓展

[A　基础达标]

1.下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）

A.两条直线平行，同位角相等，因为∠A和∠B是两条平行直线被同一条直线所截形成的同位角，所以∠A＝∠B

B.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油

C.由6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝7＋7，…，得出结论：

一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和

D.在数列{an}中，a1＝1，an＝

（n≥2），由此归纳出数列{an}的通项公式

解析：

选A.A中，由一般结论“两条直线平行，同位角相等”推出特例“∠A＝∠B”是演绎推理；B、C、D中，均是由特殊到一般或特殊的推理，是合情推理.

2.“对于三条直线a，b，c，可由a∥b，a∥c推得b∥c”，则以下说法正确的是（　　）

A.三条直线a，b，c是大前提

B.a∥b是大前提

C.a∥b，a∥c是小前提

D.以上说法都不正确

解析：

选C.推理的大前提是：

若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行；小前提是：

三条直线a，b，c，a∥b，a∥c；结论是：

b∥c.

3.“三角函数是周期函数，y＝tanx，x∈

是三角函数，所以y＝tanx，x∈

是周期函数.”在以上演绎推理中，下列说法正确的是（　　）

A.推理完全正确

B.大前提不正确

C.小前提不正确

D.推理形式不正确

解析：

选C.y＝tanx，x∈

只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误.

4.（2017·高考全国卷Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（　　）

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

解析：

选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.

5.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：

置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈

，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是（　　）

A.d≈

B.d≈

C.d≈

D.d≈

解析：

选D.由V＝

π

，解得d＝

　①，①代入选项A得π≈

＝3.1；①代入选项B得π≈

＝3；①代入选项C得π≈

＝3.2；①代入选项D得π≈

＝3.142857.由于选项D中的值最接近π的真实值，故选D.

6.求函数y＝

的定义域时，第一步推理中大前提是

有意义，即a≥0，小前提是

有意义，结论是　　　　.

解析：

由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.

答案：

log2x－2≥0

7.以下推理过程省略的大前提为：

　　　　　　　.

因为a2＋b2≥2ab，

所以2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab.

解析：

由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：

若a≥b，则a＋c≥b＋c.

答案：

若a≥b，则a＋c≥b＋c

8.已知函数f（x）＝a－

，若f（x）为奇函数，则a＝　　　　.

解析：

因为奇函数f（x）在x＝0处有意义，则f（0）＝0，而奇函数f（x）＝a－

的定义域为R，所以f（0）＝a－

＝0，所以a＝

.

答案：

9.把下列演绎推理写成三段论的形式.

（1）一切奇数都不能被2整除，（22017＋1）是奇数，所以（22017＋1）不能被2整除.

（2）因为△ABC三边的长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形.

解：

（1）一切奇数都不能被2整除，大前提

22017＋1是奇数，小前提

22017＋1不能被2整除.结论

（2）一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提

△ABC三边的长依次为3，4，5，

且32＋42＝52，小前提

△ABC是直角三角形.结论

10.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

（1）证明：

数列{an－n}是等比数列.

（2）求数列{an}的前n项和Sn.

解：

（1）证明：

因为an＋1＝4an－3n＋1，

所以an＋1－（n＋1）＝4（an－n），n∈N*.

又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.

（2）由第一问可知an－n＝4n－1，

所以an＝4n－1＋n.

所以数列{an}的前n项和Sn＝

＋

.

[B　能力提升]

11.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球

D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

解析：

选B.若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则一个放在甲盒，另一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.

12.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：

甲：

两名获奖者在乙、丙、丁中；

乙：

我没有获奖，丙获奖了；

丙：

甲、丁中有且只有一个获奖；

丁：

乙说得对.

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是　　　　Ｗ.

解析：

若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖.

答案：

乙和丁

13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，D、E是垂足，求证：

（1）△ABD是直角三角形；

（2）AB的中点M到D、E的距离相等.

证明：

（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提

又因为在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，

小前提

所以△ABD是直角三角形.结论

（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

大前提

而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，小前提

所以DM＝

AB.结论

同理，EM＝

AB.

因为等于同一个量的两个量相等，大前提

又因为DM＝

AB，EM＝

AB小前提

所以DM＝EM，即M到D、E的距离相等.结论

14.（选做题）已知a，b，c是实数，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，g（x）＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1.

（1）求证：

|c|≤1；

（2）当－1≤x≤1时，求证：

－2≤g（x）≤2.

证明：

（1）因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，

所以|f（0）|≤1.

而f（0）＝c，

所以|c|≤1.

（2）当a>0时，g（x）在[－1，1]上是增函数，

所以g（－1）≤g（x）≤g

（1）.

又g

（1）＝a＋b＝f

（1）－c，

g（－1）＝－a＋b＝－f（－1）＋c，

所以－f（－1）＋c≤g（x）≤f

（1）－c，

又－1≤f（－1）≤1，－1≤f

（1）≤1，－1≤c≤1，

所以－f（－1）＋c≥－2，f

（1）－c≤2，

所以－2≤g（x）≤2.

当a<0时，可用类似的方法，

证得－2≤g（x）≤2.

当a＝0时，g（x）＝b，f（x）＝bx＋c，

g（x）＝f

（1）－c，所以－2≤g（x）≤2.

综上所述，－2≤g（x）≤2.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。