高中数学人教A版选修12习题第二章推理与证明检测.docx

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高中数学人教A版选修12习题第二章推理与证明检测

第二章检测

（时间:

90分钟　满分:

120分）

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.有一段演绎推理是这样的:

“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这个结论显然是错误的,这是因为（　　）

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.非以上错误

解析“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.

答案A

2.已知f（x+1）∈N*）,猜想f（x）的表达式为（　　）

A.f（x）

C.f（x）

解析当x=1时,f

（2）

当x=2时,f（3）

当x=3时,f（4）

故可猜想f（x）B.

答案B

3.如图所示,4只小动物换座位,开始时鼠,猴,兔,猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去,那么第2018次互换座位后,小兔坐在（　　）号座位上.

A.1B.2C.3D.4

解析由题意得第4次互换座位后,4只小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2018=4×504+2,所以第2018次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.

答案B

4.已知x∈（0,+∞）,不等式x≥2,x≥3,x≥4,…,可推广为x≥n+1,则a的值为（　　）

A.2nB.n2C.22（n-1）D.nn

解析∵第一个不等式中a=11,第二个不等式中a=22,第三个不等式中a=33,∴第n个不等式中a=nn.

答案D

5.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则（　　）

A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形

D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

解析因为正弦值在（0°,180°）内是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,因此△A1B1C1是锐角三角形.

由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,因此△A2B2C2不可能为直角三角形,故假设△A2B2C2也是锐角三角形,并设cosA1=sinA2,

则cosA1=cos（90°-A2）,

所以A1=90°-A2.

同理设cosB1=sinB2,cosC1=sinC2,

则有B1=90°-B2,C1=90°-C2.

又A1+B1+C1=180°,

则（90°-A2）+（90°-B2）+（90°-C2）=180°,

即A2+B2+C2=90°.

这与三角形内角和等于180°矛盾,

所以原假设不成立.故选D.

答案D

6.观察下列各式:

a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于（　　）

A.28B.76C.123D.199

解析利用归纳法:

a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.

规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.

答案C

7.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7

23=3+5

33=7+9+11

43=13+15+17+19

根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n等于（　　）

A.10B.11C.12D.13

解析∵m2=1+3+5+…+11

∴m=6.

∵23=3+5,33=7+9+11,

43=13+15+17+19,

∴53=21+23+25+27+29.

又n3的分解中最小的正整数是21,

∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.

答案B

8.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:

第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n（n∈N*）的关系是（　　）

A.Sn=n2B.Sn=n3C.Sn=n4D.Sn=n（n+1）

解析当n=1时,S1=1;

当n=2时,S2=8=23;

当n=3时,S3=27=33.

归纳猜想Sn=n3.故选B.

答案B

9.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:

图

（1）

图

（2）

他们研究过图

（1）中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图

（2）中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是（　　）

A.289B.1024C.1225D.1378

解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为ann个正方形数为bn=n2,由此可排除选项D（1378不是平方数）,将选项A,B,C代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.

答案C

10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2（AB2+AD2）,那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,

A.2（AB2+AD2+

C.4（AB2+AD2+

解析如图,连接A1C1,AC,

则四边形AA1C1C是平行四边形,

故A1C2+

连接BD,B1D1,

则四边形BB1D1D是平行四边形,

又在▱ABCD中,AC2+BD2=2（AB2+AD2）,

故选C.

答案C

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上）

11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说:

我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

乙说:

我没去过C城市;

丙说:

我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为　　　　　. 

解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.

答案A

12.已知函数f（x）=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f（a）+f（b）+f（c）的值一定比零　　　　　（填“大”或“小”）. 

解析∵f（x）=x3+x是R上的奇函数,且是增函数,

又由a+b>0可得a>-b,

∴f（a）>f（-b）=-f（b）,∴f（a）+f（b）>0.

同理,得f（b）+f（c）>0,f（c）+f（a）>0.

三式相加,整理得f（a）+f（b）+f（c）>0.

答案大

13.在平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比

解析∵CE平分∠ACB,而平面CDE平分二面角A-CD-B,

答

14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:

①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于　　　　　. 

解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:

（1）当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;

（2）当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;

（3）当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,

所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.

故答案为201.

答案201

15.把数

　1

　　…

第k行有2k-1个数,第t行的第s个数（从左数起）记为A（t,s）,则A（6,10）=　　　　　. 

解析前5行共有20+21+22+23+24=31个数,A（6,10）为数列的第41项.

∵an

答

三、解答题（本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（8分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:

①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;

②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;

③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;

④sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°;

⑤sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°.

（1）试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

（2）根据

（1）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

解法一

（1）选择②式,计算如下:

sin215°+cos215°-sin15°cos15°=130°=1

（2）三角恒等式为

sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）

证明如下:

sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）

=sin2α+（cos30°cosα+sin30°sinα）2-sinα·（cos30°cosα+sin30°sinα）

=sin2ααcosααcosα

解法二

（1）同解法一.

（2）三角恒等式为sin2α+cos2（30°-α）-sinα·cos（30°-α）

证明如下:

sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）α（cos30°cosα+sin30°sinα）

2α60°cos2α+sin60°sin2α）αcosαsin2α

2α2α2α2α2α）

=12α2α

17.（8分）已知函数f（x）=ax

（1）证明函数f（x）在（-1,+∞）内为增函数;

（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根.

分析对第

（1）小题,可用定义法证明;对第

（2）小题,可按反证法证明命题的步骤加以证明.

证明

（1）设x1,x2是（-1,+∞）内的任意两个实数,且x1

∵a>1,

又x1+1>0,x2+1>0,

于是f（x2）-f（x1）

故函数f（x）在（-1,+∞）内为增函数.

（2）假设存在x0<0（x0≠-1）满足f（x0）=0,

0

于是0<

这与假设x0<0矛盾,故方程f（x）=0没有负数根.

18.（9分）先解答

（1）,再通过结构类比解答

（2）:

（1）求证:

ta

（2）设x∈R,a为非零常数,且f（x+a）

（1）证明由两角和的正切公式得ta

即ta.

（2）解猜想f（x）是以4a为周期的周期函数.

证明过程如下:

∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]

∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]

=

∴f（x）是以4a为周期的周期函数.

故f（x）是周期函数,其中一个周期为4a.

19.（10分）已知0

（1）试猜想ab与ba的大小关系;

（2）证明你的结论.

（1）解取a=2,b=1可知ab>ba,

又当a=1,b,ab>ba,

由此猜测ab>ba对一切0

（2）证明要证ab>ba对一切0

需证lnab>lnba,需证blna>alnb,

需

设函数f（x）∈（0,e）,

f'（x）

当x∈（0,e）时,f'（x）>0恒成立.

所以f（x）（0,e）内单调递增,

所以f（a）>f（b）,ab>ba.

20.（10分）已知数列{an}和{bn}满足:

a1=λ,an+1

（1）求证:

对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;

（2）求证:

当λ≠-18时,数列{bn}是等比数列;

（3）设Sn为数列{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>-12?

若存在,求实数λ的范围;若不存在,请说明理由.

分析解答本题,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.

（1）证明假设存在实数λ,使得数列{an}是等比数列,则

又因为a2

所

则9=0,这是不可能的.

所以假设不成立,原结论成立.

故对任意实数λ,数列{an}不是等比数列.

（2）证明因为λ≠-18,所以b1=-（λ+18）≠0.

又bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]

=（-1）n+

=

=

所以bn≠0,

所∈N*）.

故当λ≠-18时,数列{bn}是以-（λ+18）为首项,.

（3）解当λ≠-18时,由

（2）得

bn=-（λ+18）·

所以Sn=

当λ=-18时,bn=0,从而Sn=0,（*）式仍成立.

要使对任意正整数n,都有Sn>-12,

解得λ

令f（n）=1n为正奇数时,1

故对任意正整数n,f（n）的最大值为f

（1）

所以λ<20

综上所述,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>-12,此时实数λ的取值范围是（-∞,-6）.

小学语文学习必须了解的59个通假字，你的孩子都知道吗？

1、说（yuè）：

通“悦”，愉快。

学而时习之，不亦说乎？

（《论语十则》）

2、女：

通“汝”，你。

知：

通“智”，聪明。

诲女知之乎？

……是知也。

（《论语十则》）

3、还：

通“旋”，回转，掉转。

扁鹊望桓侯而还走。

（扁鹊见蔡桓公））

4、齐：

通“剂”。

在肠胃，火齐之所及也。

（《扁鹊见蔡桓公》）

5、止：

通“只”。

担中肉尽，止有剩骨。

（《狼》）

6、亡：

通“无”

河曲智叟亡以应。

（《愚公移山》）

亡：

通“无”。

日之其所亡。

（《乐羊子妻》）

7、屏：

通“摒”。

屏弃而不用，其与昏与庸无以异也。

（《为学》）

8、帖：

通“贴”。

火：

通“伙”。

对镜帖花黄。

……火伴皆惊忙。

（《木兰诗》）

9、尔：

通“耳”，相当于“罢了”。

无他，但手熟尔。

（《买油翁》）

10、争：

通“怎”。

争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。

（《如梦令》李清照）

11、见，通“现”。

路转溪头忽见。

（《西江月》辛弃疾）

见：

通“现”。

才美不外见……（《马说》）

见：

通“现”。

何时眼前突兀见此屋。

（《茅屋为秋风所破歌》）

12、（《口技》）坐：

通“座”。

满坐寂然，无敢哗者。

13、扳：

通“攀”，牵，引。

日扳仲永环谒于邑人。

（《伤仲永》）

14、反：

通“返”。

寒暑易节，始一反焉。

（《愚公移山》）

15、惠：

通“慧”，聪明。

甚矣，汝之不惠。

（《愚公移山》）

16、厝：

通“措”，放置。

一厝逆东，一厝雍南。

（《愚公移山》）

17、那：

通“哪”，怎么。

问渠那得清如许。

（《观书有感》）

18、阙：

通“缺”。

两岸连山，略无阙处。

（《三峡》）

19、强：

通“僵”，僵硬。

昂首观之，项为之强。

（《闲情记趣》）

20、道：

通“导”，引导。

傧者更道，从大门入。

（《晏子故事两篇》）

21、曷：

通“何”。

缚者曷为者也？

（《晏子故事两篇》）

22、熙：

通“嬉”，开玩笑。

圣人非所与熙也。

（《晏子故事两篇》）

23、辑：

通“缉”，连缀。

饰以玫瑰，辑以翡翠。

（《买椟还珠》）

24、遽：

通“讵”，岂。

此何遽不为福乎？

（《塞翁失马》）

25、距：

通“拒”，挡。

……子墨子九距之。

（《公输》）

26、诎：

通“屈”，折服。

公输盘诎，而曰……（《公输》）

27、有：

通“又”。

舟首尾长约八分有奇。

（《核舟记》）

28、衡：

通“横”。

左手倚一衡木。

（《核舟记》）

衡：

通“横”，梗塞，这里指不顺。

困于心，衡于虑。

（《生于忧患，死于安乐》）

29、甫：

通“父”。

虞山王毅叔远甫刻。

（《核舟记》）

30、简：

通“拣”，挑选。

盖简桃核修狭者为之。

（《核舟记》）

31、错：

通“措”。

以君为长者，故不错意也。

（《唐雎不辱使命》）

32、仓：

通“苍”。

要离之刺庆忌也，仓鹰击于殿上。

（《唐雎不辱使命》）

33、裁：

通“才”，仅仅。

数至八层，裁如星点。

（《山市》）

34、適：

通“谪”。

发闾左適戍渔阳九百人。

（《陈涉世家》）

35、唱：

通“倡”，倡导。

为天下唱，宜多应者。

（《陈涉世家》）

36、以：

通“已”。

得鱼腹中书，固以怪之矣。

（《陈涉世家》）

37、被：

通“披”。

将军身被坚执锐。

（《陈涉世家》）

被：

通“披”。

同舍生皆被绮绣。

（《送东阳马生序》）

38、食：

通“饲”，喂。

食马者不知其能千里而食也。

（《马说》）

39、材：

通“才”。

食之不能尽其材。

（《马说》）

40、邪：

通“耶”，表示疑问，相当于“吗”。

其真无马邪？

（《马说》）

41、僇：

通“戮”，遭到贬谪。

自余为僇人，……（《始得西山宴游记》）

42、暴：

通“曝”。

而游者皆暴日中。

（《峡江寺飞泉亭记》）

43、畔：

通“叛”。

寡助之至，亲戚畔之。

（《得道多助，失道寡助》）

44、曾：

通“增”。

曾益其所不能。

（《生于忧患，死于安乐》）

45、拂：

通“弼”，辅佐。

入则无法家拂士。

（《生于忧患，死于安乐》）

46、具：

通“俱”，全，皆。

政通人和，百废具兴。

（《岳阳楼记》）

47、属：

通“嘱”。

属予作文以记之。

（《岳阳楼记》）

48、赀：

通“资”，资财，钱财。

馔酒食，持其赀去。

（《越巫》）

49、不：

通“否”。

客问元方：

“尊君在不？

”（《陈太丘与友期》）

50、直：

通“值”。

玉盘珍馐直万钱。

（《行路难》其一）

51、辟：

通“避”，躲避。

故患有所不辟也。

（《鱼我所欲也》）

52、辩：

通“辨”，辨别。

万钟则不辩礼义而受之。

（《鱼我所欲也》）

53、得：

通“德”，恩惠，这里是感激。

与：

通“欤”，语气词。

所识穷乏者得我与？

（《鱼我所欲也》）

54、乡：

通“向”，从前。

乡为身死而不受。

（《鱼我所欲也》）

55、信：

通“伸”。

欲信大义于天下。

（《隆中对》）

56、已：

通“以”。

自董卓已来……（《隆中对》）

57、徧：

通“遍”，遍及，普及。

小惠未徧，民弗从也。

（《曹刿论战》）

58、支：

通“肢”。

四支僵硬不能动。

（《送东阳马生序》）

59、埘：

通“橛”，指为栖鸡做的木架。

鸡栖于埘，日之夕矣，牛羊下来（《君子于役》）

小学语文学习必须了解的59个通假字，你的孩子都知道吗？

1、说（yuè）：

通“悦”，愉快。

学而时习之，不亦说乎？

（《论语十则》）

2、女：

通“汝”，你。

知：

通“智”，聪明。

诲女知之乎？

……是知也。

（《论语十则》）

3、还：

通“旋”，回转，掉转。

扁鹊望桓侯而还走。

（扁鹊见蔡桓公））

4、齐：

通“剂”。

在肠胃，火齐之所及也。

（《扁鹊见蔡桓公》）

5、止：

通“只”。

担中肉尽，止有剩骨。

（《狼》）

6、亡：

通“无”

河曲智叟亡以应。

（《愚公移山》）

亡：

通“无”。

日之其所亡。

（《乐羊子妻》）

7、屏：

通“摒”。

屏弃而不用，其与昏与庸无以异也。

（《为学》）

8、帖：

通“贴”。

火：

通“伙”。

对镜帖花黄。

……火伴皆惊忙。

（《木兰诗》）

9、尔：

通“耳”，相当于“罢了”。

无他，但手熟尔。

（《买油翁》）

10、争：

通“怎”。

争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。

（《如梦令》李清照）

11、见，通“现”。

路转溪头忽见。

（《西江月》辛弃疾）

见：

通“现”。

才美不外见……（《马说》）

见：

通“现”。

何时眼前突兀见此屋。

（《茅屋为秋风所破歌》）

12、（《口技》）坐：

通“座”。

满坐寂然，无敢哗者。

13、扳：

通“攀”，牵，引。

日扳仲永环谒于邑人。

（《伤仲永》）

14、反：

通“返”。

寒暑易节，始一反焉。

（《愚公移山》）

15、惠：

通“慧”，聪明。

甚矣，汝之不惠。

（《愚公移山》）

16、厝：

通“措”，放置。

一厝逆东，一厝雍南。

（《愚公移山》）

17、那：

通“哪”，怎么。

问渠那得清如许。

（《观书有感》）

18、阙：

通“缺”。

两岸连山，略无阙处。

（《三峡》）

19、强：

通“僵”，僵硬。

昂首观之，项为之强。

（《闲情记趣》）

20、道：

通“导”，引导。

傧者更道，从大门入。

（《晏子故事两篇》）

21、曷：

通“何”。

缚者曷为者也？

（《晏子故事两篇》）

22、熙：

通“嬉”，开玩笑。

圣人非所与熙也。

（《晏子故事两篇》）

23、辑：

通“缉”，连缀。

饰以玫瑰，辑以翡翠。

（《买椟还珠》）

24、遽：

通“讵”，岂。

此何遽不为福乎？

（《塞翁失马》）

25、距：

通“拒”，挡。

……子墨子九距之。

（《公输》）

26、诎：

通“屈”，折服。

公输盘诎，而曰……（《公输》）

27、有：

通“又”。

舟首尾长约八分有奇。

（《核舟记》）

28、衡：

通“横”。

左手倚一衡木。

（《核舟记》）

衡：

通“横”，梗塞，这里指不顺。

困于心，衡于虑。

（《生于忧患，死于安乐》）

29、甫：

通“父”。

虞山王毅叔远甫刻。

（《核舟记》）

30、简：

通“拣”，挑选。

盖简桃核修狭者为之。

（《核舟记》）

31、错：

通“措”。

以君为长者，故不错意也。

（《唐雎不辱使命》）

32、仓：

通“苍”。

要离之刺庆忌也，仓鹰击于殿上。

（《唐雎不辱使命》）

33、裁：

通“才”，仅仅。

数至八层，裁如星点。

（《山市》）

34、適：

通“谪”。

发闾左適戍渔阳九百人。

（《陈涉世家》）

35、唱：

通“倡”，倡导。

为天下唱，宜多应者。

（《陈涉世家》）

36、以：

通“已”。

得鱼腹中书，固以怪之矣。

（《陈涉世家》）

37、被：

通“披”。

将军身被坚执锐。

（《陈涉世家》）

被：

通“披”。

同舍生皆被绮绣。

（《送东阳马生序》）

38、食：

通“饲”，喂。

食马者不知其能千里而食也。

（《马说》）

39、材：

通“才”。

食之不能尽其材。

（《马说》）

40、邪：

通“耶”，表示疑问，相当于“吗”。

其真无马邪？

（《马说》）

41、僇：

通“戮”，遭到贬谪。

自余为僇人，……（《始得西山宴游记》）

42、暴：

通“曝”。

而游者皆暴日中。

（《峡江寺飞泉亭记》）

43、畔：

通“叛”。

寡助之至，亲戚畔之。

（《得道多助，失道寡助》）

44、曾：

通“增”。

曾益其所不能。

（《生于忧患，死于安乐》）

45、拂：

通“弼”，辅佐。

入则无法家拂士。

（《生于忧患，死于安乐》）

46、具：

通“俱”，全，皆。

政通人和，百废具兴。

（《岳阳楼记》）

47、属：

通“嘱”。

属予作文以记之。

（《岳阳楼记》）

48、赀：

通“资”，资财，钱财。

馔酒食，持其赀去。

（《越巫》）

49、不：

通“否”。

客问元方：

“尊君在不？

”（《陈太丘与友期》）

50、直：

通“值”。

玉盘珍馐直万钱。

（《行路难》其一）

51、辟：

通“避”，躲避。

故患有所不辟也。

（《鱼我所欲也》）

52、辩：

通“辨”，辨别。

万钟则不辩礼义而受之。

（《鱼我所欲也》）

53、得：

通“德”，恩惠，这里是感激。

与：

通“欤”，语气词。

所识穷乏者得我与？

（《鱼我所欲也》）

54、乡：

通“向”，从前。

乡为身死而不受。

（《鱼我所欲也》）

55、信：

通“伸”。

欲信大义于天下。

（《隆中对》）

56、已：

通“以”。