常用的诱导公式有以下几组.docx

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常用的诱导公式有以下几组

　常用的诱导公式有以下几组：

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）

　　cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）

　　tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）

　　cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　公式三：

　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　（以上k∈Z）

　　注意：

在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

　　诱导公式记忆口诀

　　※规律总结※

　　上面这些诱导公式可以概括为：

　　对于π/2*k±α（k∈Z）的三角函数值，

　　①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

　　②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.

　　（奇变偶不变）

　　然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

　　（符号看象限）

　　例如：

　　sin（2π－α）＝sin（4·π/2－α），k＝4为偶数，所以取sinα。

　　当α是锐角时，2π－α∈（270°，360°），sin（2π－α）＜0，符号为“－”。

　　所以sin（2π－α）＝－sinα

　　上述的记忆口诀是：

　　奇变偶不变，符号看象限。

　　公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

　　所在象限的原三角函数值的符号可记忆

　　水平诱导名不变；符号看象限。

　　＃

　　各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦（余割）；三两切；四余弦（正割）”．

　　这十二字口诀的意思就是说：

　　第一象限任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

　　第二象限只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

　　第三象限切函数是“＋”，弦函数是“－”；

　　第四象限只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

　　上述记忆口诀，一全正，二正弦，三切，四余弦

　　＃

　　还有一种按照函数类型分象限定正负：

　　函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限

　　正弦...........＋............＋............—............—........

　　余弦...........＋............—............—............＋........

　　正切...........＋............—............＋............—........

　　余切...........＋............—............＋............—........

　　同角三角函数基本关系

　　同角三角函数的基本关系式

　　倒数关系：

　　tanα·cotα＝1

　　sinα·cscα＝1

　　cosα·secα＝1

　　商的关系：

　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

　　平方关系：

　　sin^2（α）＋cos^2（α）＝1

　　1＋tan^2（α）＝sec^2（α）

　　1＋cot^2（α）＝csc^2（α）

　　同角三角函数关系六角形记忆法

　　六角形记忆法：

（参看图片或参考资料）

　　构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

（1）倒数关系：

对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

　　（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。

由此，可得商数关系式。

　　（3）平方关系：

在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

　　两角和差公式

　　两角和与差的三角函数公式

　　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

　　sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

　　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

　　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

　　tan（α＋β）＝（tanα+tanβ）／（1-tanαtanβ）

　　tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ）

　　二倍角公式

　　二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

　　sin2α＝2sinαcosα

　　cos2α＝cos^2（α）－sin^2（α）＝2cos^2（α）－1＝1－2sin^2（α）

　　tan2α＝2tanα/[1－tan^2（α）]

　　半角公式

　　半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

　　sin^2（α/2）＝（1－cosα）／2

　　cos^2（α/2）＝（1＋cosα）／2

　　tan^2（α/2）＝（1－cosα）／（1＋cosα）

　　另也有tan（α/2）=（1－cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）

　　万能公式

　　sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]

　　cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

　　tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

　　万能公式推导

　　附推导：

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））......*，

　　（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）

　　再把*分式上下同除cos^2（α），可得sin2α＝2tanα/（1＋tan^2（α））

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。

正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　三倍角公式

　　三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin3α＝3sinα－4sin^3（α）

　　cos3α＝4cos^3（α）－3cosα

　　tan3α＝[3tanα－tan^3（α）]／[1－3tan^2（α）]

　　三倍角公式推导

　　附推导：

　　tan3α＝sin3α/cos3α

　　＝（sin2αcosα＋cos2αsinα）/（cos2αcosα-sin2αsinα）

　　＝（2sinαcos^2（α）＋cos^2（α）sinα－sin^3（α））/（cos^3（α）－cosαsin^2（α）－2sin^2（α）cosα）

　　上下同除以cos^3（α），得：

　　tan3α＝（3tanα－tan^3（α））/（1-3tan^2（α））

　　sin3α＝sin（2α＋α）＝sin2αcosα＋cos2αsinα

　　＝2sinαcos^2（α）＋（1－2sin^2（α））sinα

　　＝2sinα－2sin^3（α）＋sinα－2sin^3（α）

　　＝3sinα－4sin^3（α）

　　cos3α＝cos（2α＋α）＝cos2αcosα－sin2αsinα

　　＝（2cos^2（α）－1）cosα－2cosαsin^2（α）

　　＝2cos^3（α）－cosα＋（2cosα－2cos^3（α））

　　＝4cos^3（α）－3cosα

　　即

　　sin3α＝3sinα－4sin^3（α）

　　cos3α＝4cos^3（α）－3cosα

　　三倍角公式联想记忆

　　★记忆方法：

谐音、联想

　　正弦三倍角：

3元减4元3角（欠债了（被减成负数），所以要“挣钱”（音似“正弦”））

　　余弦三倍角：

4元3角减3元（减完之后还有“余”）

　　☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

　　★另外的记忆方法：

　　正弦三倍角：

山无司令（谐音为三无四立）三指的是"3倍"sinα，无指的是减号，四指的是"4倍"，立指的是sinα立方

　　余弦三倍角：

司令无山与上同理

　　和差化积公式

　　三角函数的和差化积公式

　　sinα＋sinβ＝2sin[（α＋β）/2]·cos[（α－β）/2]

　　sinα－sinβ＝2cos[（α＋β）/2]·sin[（α－β）/2]

　　cosα＋cosβ＝2cos[（α＋β）/2]·cos[（α－β）/2]

　　cosα－cosβ＝－2sin[（α＋β）/2]·sin[（α－β）/2]

　　积化和差公式

　　三角函数的积化和差公式

　　sinα·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

　　cosα·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

　　cosα·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

　　sinα·sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

　　和差化积公式推导

　　附推导：

　　首先，我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb，sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb

　　所以，sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

　　同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

　　同样的，我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb，cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以，把两式相加，我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb

　　所以我们就得到，cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

　　同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

　　这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

　　sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

　　cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

　　cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

　　sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

　　有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=（x+y）/2，b=（x-y）/2

　　把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：

　　sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

　　sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

　　cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

　　cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

1.集合与函数

　　1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.

　　2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况

　　3.你会用补集的思想解决有关问题吗?

　　4.简单命题与复合命题有什么区别?

四种命题之间的相互关系是什么?

如何判断充分与必要条件?

　　5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

　　6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

　　7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.

　　8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.

　　9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：

.

　　10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?

定义法（取值,作差,判正负）和导数法

　　11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.

　　12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

　　13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?

①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗?

　　14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?

　　（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论

　　15.三个二次（哪三个二次?

）的关系及应用掌握了吗?

如何利用二次函数求最值?

　　16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的围。

　　17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：

当时，“方程有解”不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?

　　二.不等式

　　18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：

“一正;二定;三等”.

　　19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

　　20.解分式不等式应注意什么问题?

用“根轴法”解整式（分式）不等式的注意事项是什么?

　　21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：

“综上，原不等式的解集是……”.

　　22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.

　　23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.

　　三.数列

　　24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?

　　25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?

（时，应有）需要验证，有些题目通项是分段函数。

　　26.你知道存在的条件吗?

（你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?

你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?

什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?

　　27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?

（数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。

）

　　28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。

　　四.三角函数

　　29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?

，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?

你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?

　　30.三角函数的定义及单位圆的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的定义你知道吗?

　　31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?

你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?

　　32.你还记得三角化简的通性通法吗?

（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）

　　33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值围分别是

　　34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

　　35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?

会写简单的三角不等式的解集吗?

（要注意数形结合与书写规,可别忘了），你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?

　　36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：

（1）函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.

（2）方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.

　　（3）点的平移公式：

点按向量平移到点，则.

　　37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?

（先求出某一个三角函数值，再判定角的围）

　　38.形如的周期都是，但的周期为。

　　39.正弦定理时易忘比值还等于2R.

　　五.平面向量

　　40.数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。

可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。

　　41.数量积与两个实数乘积的区别：

　　在实数中：

若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.

　　已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.

　　在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.

　　42.是向量与平行的充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。

　　六.解析几何

　　43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?

　　44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。

　　45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值围依次是。

　　46.定比分点的坐标公式是什么?

（起点，中点，分点以及值可要搞清），在利用定比分点解题时，你注意到了吗?

　　47.对不重合的两条直线

　　（建议在解题时，讨论后利用斜率和截距）

　　48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。

　　49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?

请你注意解题格式和完整的文字表达.（①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。

）

　　50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?

　　51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?

常用参数方程的方法解决哪一些问题?

　　52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?

如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?

如何应用焦半径公式?

　　53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.（想一想在双曲线中的结论?

）

　　54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：

二次项的系数是否为零?

椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.

　　55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?

题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?

　　七.立体几何

　　56.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?

（斜二测画法）。

　　57.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?

线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?

每种平行之间转换的条件是什么?

　　58.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?

你知道三垂线定理的关键是什么吗?

（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见

　　59.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大.

　　60.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.

　　61.异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角（或其补角），特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。

　　62.你知道公式：

和中每一字母的意思吗?

能够熟练地应用它们解题吗?

　　63.两条异面直线所成的角的围：

0°<α≤90°

　　直线与平面所成的角的围：

0o≤α≤90°

　　二面角的平面角的取值围：

0°≤α≤180°

　　64.你知道异面直线上两点间的距离公式如何运用吗?

　　65.平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”。

　　66.立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，你是否只注重了“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节?

　　67.棱柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质.这些知识你掌握了吗?

（注意运用向量的方法解题）

　　68.球及其性质;经纬度定义易混.经度为二面角,纬度为线面角、球面距离的求法;球的表面积和体积公式.这些知识你掌握了吗?

　　八.排列、组合和概率

　　69.解排列组合问题的依据是：

分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

　　解排列组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．

　　70.二项式系数与展开式某一项的系数易混,第ｒ＋1项的二项式系数为。

二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混．二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大