第十三章轴对称.docx

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第十三章轴对称

第十三章轴对称

13.1.1轴对称

教学目标：

知识与技能：

掌握轴对称图形和关于直线成轴对称等概念.

过程与方法：

通过生活中的具体实例认识,培养观察、思维、操作、归纳能力.

情感态度：

体验数学与生活的联系,发展审美观.

教学重点：

准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的实质.

教学难点：

轴对称图形和关于直线成轴对称的区别与联系.

教学方法：

小组合作探究法。

教学过程：

一、情境导入，初步认识

我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑都具有对称性，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也具有对称性，中国的方块字中有些具有对称性，对称给我们带来美的感受！

而轴对称是对称中尤为重要的一种，这节课让我们一起走进轴对称的世界吧！

二、思考探究，获取新知

1.轴对称图形

在学生交流和说出两类图案的特征的基础上,如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

2.两个图形关于某条直线对称

思考：

下面的每图形有什么共同特点？

共同特征：

每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合.

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

教师再归纳总结轴对称图形和两个图形成轴对称间的区别与联系.

练习1下列各图，你能找出它们的对称轴吗？

请一一画出：

3、

垂直平分线

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

轴对称图形的性质：

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

练习2　如图所示的每个图形是轴对称图形吗？

如果是，指出它的对称轴

练习3　如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？

如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点.

三、师生互动，课堂小结

本节课你学会了什么?

有哪些收获?

还有什么疑问?

四、布置作业：

练习册中本课时的练习.

教学反思：

13.1.2线段的垂直平分线的性质

教学目标：

知识与技能：

了解两个图形成轴对称的性质,了解轴对称图形的性质.探究线段垂直平分线的性质.

过程与方法：

经历探索轴对称图形性质的过程,发展空间观察能力.

情感态度：

体验数学与现实间的联系,发展审美感,激发兴趣.

教学重点：

轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.

教学难点：

线段垂直平分线的性质.

教学方法：

小组合作探究法。

教学过程：

一、情境导入，初步认识

前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.

二、思考探究，获取新知

1.探索并证明线段垂直平分线的性质

探究1如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？

你能用不同的方法验证这一结论吗？

请在图中的直线l上任取一点，那么这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

证明：

“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.”

已知：

如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.

　　求证：

PA=PB．

学生小组合作探究并证明

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

点P在线段AB的垂直平分线上．

已知：

如图，在△ABP中，PA=PB．

求证：

点P在线段AB的垂直平

分线上．

小组合作探究并写出证明过程

用数学符号表示为：

∵　PA=PB，

∴　点P在AB的垂直平分线上．

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

三、运用新知，深化理解

练习1　如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

练习2　如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______

练习3到三角形三个顶点的距离相等的点是（）

A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点

C.三边高线的交点D.没有这样的点

例1　尺规作图：

经过已知直线外一点作这条直线的垂线.

已知：

直线AB和AB外一点C（如图）.

求作：

AB的垂线，使它经过点C.

练习4　如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

　例2　如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？

四、师生互动，课堂小结

本节课学会了什么?

有哪些收获?

还有什么疑问?

由学生表述,教师归纳总结.

五、布置作业：

完成练习册中本课时的练习.

教学反思：

13.2画轴对称图形

第1课时作轴对称图形

教学目标：

知识与技能：

知道轴对称变换前后的两个图形是全等的，并且任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.已知一个图形和一条直线，会作出与这个图形关于这条直线对称的图形.

过程与方法：

通过实际操作获取作轴对称图形的方法并应用于简单的图案设计.

情感态度：

通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.

教学重点：

作一个图形经轴对称变换后的图形.

教学难点：

通过动手操作总结轴对称变换的特征.

教学方法：

小组合作探究法。

教学过程：

1、情境导入，初步认识

你们会利用轴对称进行简单的图案设计吗？

今天我们就一起来学习怎样作轴对称图形.

二、思考探究，获取新知

1、探究并归纳轴对称图形的性质

利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流。

（1）这些图案有什么共同特点？

（2）能否根据其中的一部分画出整个图案？

问题1在一张半透明纸张的左边部分，画出一只左脚印，如何由此得到相应的右脚印？

请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？

归纳：

1、由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；2、新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

2、作一个图形关于一条直线的对称图形

思考：

如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？

例1如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．

小组合作探究，教师补充。

已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该图形关于这条直线对称的图形的一般方法．

3、巩固练习：

练习1填空

（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的_____、_____完全相同；

（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的________。

（3）连接任意一对对应点的线段都被对称轴_________.（4）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在________上.

练习2　如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形．

2.如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形.

四、师生互动，课堂小结

教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获？

布置作业：

完成练习册中本课时的练习.

教学反思：

第2课时用坐标表示轴对称

教学目标：

知识与技能：

能知道关于x轴或关于y轴对称的点的坐标特征.能利用对称点坐标规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x、y轴的轴对称图形.

过程与方法：

找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中。

情感态度：

在找点,绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习乐趣,养成良好的科学研究方法.

教学重点：

能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标.

教学难点：

找对称点的坐标之间的关系,规律.

教学方法：

小组合作学习

教学过程：

一、情境导入

同学们还记得怎样利用坐标来表示地理位置吗？

今天我们来学习用坐标表示轴对称.

2、新课

1、点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律

如图，西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据图示，你能说出西直门的坐标吗？

在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于x轴的对称点，把它们的坐标填入表格中．

观察下图中关于x轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？

归纳结论：

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等.

2、

运用变化规律作图

例1如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．

归纳画一个图形关于x轴或y轴对称的图形的方法和步骤.

先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形．

步骤简述为：

（1）求特殊点的坐标；

（2）描点；（3）连线．

三、运用新知，深化理解

练习1　分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：

（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．

练习2　如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），写出点B的坐标.

练习3　如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形.

A（-4，1）B（-3，2）C（-1，-1）

四、师生互动，课堂小结

教师引导学生总结本节课用坐标表示轴对称的主要解题方法和解题思路.

布置作业：

完成练习册中本课时的练习.

教学反思：

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形的性质

（1）

教学目标：

知识与技能：

理解掌握等腰三角形的性质.运用等腰三角形性质进行证明和计算.

过程与方法：

通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.

情感态度：

引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.

教学重点：

等腰三角形的性质及应用.

教学难点：

等腰三角形的证明.

教学过程：

一、情境导入

在前面学习轴对称图形中，大家知道等腰三角形是轴对称图形，今天我们就运用轴对称图形的性质来探究等腰三角形的性质.

二、思考探究，获取新知

1、探索并证明等腰三角形的性质

探究：

如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？

观察并讨论:

△ABC有什么特点?

教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.

教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:

①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.

③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.

指导学生用语言叙述上述性质.

性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成:

“等边对等角”）.

性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合（简记为:

“三线合一”）.

教师指导对等腰三角形性质的证明.

在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？

等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．

2、等腰三角形性质的运用

例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.

三、运用新知，深化理解

练习1　填空：

（1）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°,则∠B=°

（2）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，则∠A=°；

练习2在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.

四、师生互动，课堂小结

这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.

学生间可交流体会与收获.

布置作业：

完成练习册中本课时的练习.

教学反思：

第2课时等腰三角形的判定

教学目标：

知识与技能：

理解掌握等腰三角形的判定运用等腰三角形判定进行证明和计算.

过程与方法：

通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.

情感态度：

引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.

教学重点：

等腰三角形的判定定理.

教学难点：

等腰三角形判定定理的证明.

教学过程：

一、情境导入，初步认识

我们知道如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边是否也相等呢？

这节课我们带着这个问题研究等腰三角形的判定方法.

二、思考探究，获取新知

1、探索等腰三角形的判定定理

思考：

我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

已知：

如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：

AB=AC．

学生小组合作证明这个问题并归纳总结.

等腰三角形的判定方法：

　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

符号语言：

∵　在△ABC中，∠B=∠C，

∴　AB=AC．

　思考　与等腰三角形性质进行比较，两者有什么区别？

2、

等腰三角形判定的应用

例2求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

已知：

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

　　求证：

AB=AC.

例3　已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.

三、巩固练习

1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.

2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?

为什么?

3.如图,AC和BD相交于点O,AB∥DC,OA=OB.求证:

OC=OD.

4.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.

（1）求证:

△ABD是等腰三角形.

（2）求∠BAD的度数.

四、师生互动，课堂小结

本节课主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用有了一定的认识,在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中养成一定的逻辑推理能力.

布置作业：

完成练习册中本课时的练习.

教学反思：

13.3.2等边三角形

第1课时等边三角形的性质与判定

教学目标：

知识与技能：

掌握等边三角形的定义.理解等边三角形的性质与判定定理.

过程与方法：

经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.

情感态度：

通过对等边三角形的学习，了解等边三角形的对称美,增强应用数学知识解决实际问题的信心.

教学重点：

等边三角形的性质和判定方法.

教学难点：

等边三角形性质的应用.

教学过程：

一、情境导入，初步认识

在等腰三角形中，如果底边等于腰长，那么这个等腰三角形又叫什么三角形呢？

二、思考探究，获取新知

1、等边三角形的性质

下列图片中有你熟悉的数学图形吗？

你能说出此图形的名称吗？

问题　满足什么条件的三角形是等边三角形？

3条边都相等的三角形是等边三角形。

请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？

思考：

将等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？

一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？

由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

三个角都相等的三角形是等边三角形．

有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．

已知：

△ABC是等边三角形，求证：

∠A=∠B=∠C=60°

2、等边三角形的判定

判定等边三角形的方法：

　从边的角度：

等边三角形的定义；

　从角的角度：

等边三角形的两条判定定理．

等边三角形的判定定理1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

等边三角形的判定定理2：

有一个角为60°的等腰三角形．

例如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：

△ADE是等边三角形.

变式1　若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？

变式2　若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？

三、巩固练习

如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？

四、师生互动，课堂小结

教师指导学生回忆本节所学知识点,学生间交流,互相查漏补缺.

布置作业：

完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

教学反思：

第2课时含30°角的直角三角形的性质

教学目标：

知识与技能：

熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.会利用性质解题.

过程与方法：

通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。

情感态度：

本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.

教学重点：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

教学难点：

巧妙运用性质解题.

教学过程：

一、情境导入

将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起（较长直角边靠在一起且直角顶点重合），可拼成一个什么样的三角形？

你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？

本节课我们再次学习与直角三角形相关的一个性质.

二、思考探究，获取新知

1、直角三角形的性质

探究：

将两个全等的含30°角的直角三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？

猜想：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

问题：

请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？

并结合图形，用符号语言表述出来.

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.

求证：

BC=

AB

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

符号语言：

∵　在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

BC=

AB

2、直角三角形性质的运用

例　如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长

三、巩固练习

练习1　如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为（）

练习2　如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=.

练习3　Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？

边AB与BC之间有什么关系？

练习4、如图所示，在△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BD至E，使DE=BD，DB⊥BC于B，∠ABC=120°，

求证:

AB=2BC.

四、师生互动，课堂小结

特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.

布置作业：

完成练习册中本课时的练习.

教学反思：

13.4课题学习最短路径问题

教学目标：

知识与技能：

了解最短路径问题.掌握解决最短路径问题的方法.

过程与方法：

通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力.

情感态度：

通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心.

教学重点：

解决最短路径问题.

教学难点：

最短路径的选择.

教学课时：

2课时

教学过程：

一、情景导入

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.

二、思考探究，获取新知

问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：

当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．

联想：

如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？

两点之间，线段最短.

连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求.

如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况.

作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB.

连接AB′，与直线l相交于点C．

则点C即为所求．

学生小组合作交流。

三、巩固练习

练习1如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.

第2课时

造桥选址问题

问题2如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？

（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）

（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：

当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.

作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.

（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：

当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小?

将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN.

二、思考探究，获取新知

练习1牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.

2、如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.

3、如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.

三、师生互