初二几何中常用辅助线的添加.docx

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初二几何中常用辅助线的添加

初二几何中常用辅助线的添加

一. 教学内容：

　　寒假专题——初二几何中常用辅助线的添加

【典型例题】

（一）添加辅助线构造全等三角形

  例1. 已知：

AB∥CD，AD∥BC。

       求证：

AB＝CD

       分析：

证明线段相等的方法有：

（1）中线的定义；

（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。

       在本题中，我们可通过连结AC，构造全等三角形来证明线段相等。

       证明：

连结AC

       ∵AB∥CD，AD∥BC

       ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4

       在△ABC和△CDA中

       ∴△ABC≌△CDA（ASA）

       ∴AB＝CD

（二）截长补短法引辅助线

       当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：

，如直接证不出来，可采用截长法：

在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：

延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。

       通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。

  例2. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。

       求证：

AB＝AC＋CD

       证法一：

（补短法）

       延长AC至点F，使得AF＝AB

       在△ABD和△AFD中

       ∴△ABD≌△AFD（SAS）

       ∴∠B＝∠F

       ∵∠ACB＝2∠B

       ∴∠ACB＝2∠F

       而∠ACB＝∠F＋∠FDC

       ∴∠F＝∠FDC

       ∴CD＝CF

       而AF＝AC＋CF

       ∴AF＝AC＋CD

       ∴AB＝AC＋CD

       证法二：

（截长法）

       在AB上截取AE＝AC，连结DE

       在△AED和△ACD中

       ∴△AED≌△ACD（SAS）

  例3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：

BD＝2CE。

       分析：

这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得

，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。

       证明：

分别延长BA、CE交于点F

       ∵BE⊥CF

       ∴∠BEF＝∠BEC＝90°

       在△BEF和△BEC中

       ∴△BEF≌△BEC（ASA）

       ∵∠BAC＝90°，BE⊥CF

       ∴∠BAC＝∠CAF＝90°，∠1＋∠BDA＝90°，∠1＋∠BFC＝90°

       ∴∠BDA＝∠BFC

       在△ABD和△ACF中

       ∴△ABD≌△ACF（AAS）

       ∴BD＝CF

       ∴BD＝2CE

（三）加倍法和折半法

       证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：

将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。

  例4. 已知：

如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝DC，∠BAD＝∠BDA。

       求证：

AC＝2AE

       分析：

欲证AC＝2AE，只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是△ABD的中线，故考虑延长AE至F，使EF＝AE，证AF＝AC。

（此种方法我们又称为中线倍长法）

       只要证△ABF≌△ADC，观察图形发现，可以证明△ADE≌△FBE，则可得出BF＝AD，尚需条件∠ADC＝∠FBA，而这可由外角的性质推出。

       证明：

延长AE至F，使EF＝AE，连结BF

       ∵AE是△ABD的中线

       ∴BE＝ED

       在△BEF和△DEA中

       ∴△BEF≌△DEA

       ∴∠EBF＝∠BDA，BF＝DA

       ∵∠BAD＝∠BDA

       ∴∠EBF＝∠BAD

       在△ADC和△FBA中

       ∴△ADC≌△FBA

       ∴AC＝AF

       又∵AF＝2AE

       ∴AC＝2AE

（四）利用角平分线的性质来添加辅助线

       有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。

  例5. 已知：

△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点P。

       求证：

AP平分∠BAC

       证明：

过P点作PD⊥AC于D点，PF⊥AB于F点，PE⊥BC于E点

       ∵PC，BP为△ABC的∠B、∠C的外角平分线

      PD⊥AC，PE⊥BC

       ∴PD＝PE（角平分线性质）

       同理：

PF＝PE

       ∴PD＝PF（等量代换）

       ∴AP平分∠BAC（角平分线性质逆定理）

  例6. 已知：

如图，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD。

       求证：

∠BAP＋∠BCP＝180°

       分析：

要证∠BAP＋∠BCP＝180°，而由图可知∠BAP＋∠EAP＝180°，故只要证∠EAP＝∠BCP即可。

由∠1＝∠2，PD⊥BC，想到过P点向BA作垂线PE，有PE＝PD，BE＝BD，又由

，得AE＝CD，故△APE≌△CPD，从而有∠EAP＝∠BCP，问题得证。

       证明：

过点P作PE⊥BA于E

       ∵PD⊥BC，∠1＝∠2

       ∴PE＝PD（角平分线的性质）

       在Rt△BPE和Rt△BPD中

       ∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL）

       ∴BE＝BD

       ∴∠PEB＝∠PDC＝90°

       在△PEA和△PDC中

       ∴△PEA≌△PDC

       ∴∠PCB＝∠EAP

       ∵∠BAP＋∠EAP＝180°

       ∴∠BAP＋∠BCP＝180°

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

 1. 已知，如图，AB＝AE，BC＝ED，

，垂足为F，求证：

CF＝DF

 2. 在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝DC，BD平分

，求证：

 3. 已知AD是△ABC的中线，E在BC的延长线上，CE＝AB，

，求证：

AE＝2AD

 4. 已知

，M是BC中点，DM平分

，求证：

①AM平分

；②

 5. 已知在△ABC中，

，

，求证：

AB＝AC＋CD

 6. 已知在△ABC和△A’B’C’中，AB＝A’B’，AC＝A’C’，AD、A’D’为中线且AD＝A’D’，求证：