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3线性方程组

3.1知识要点解析（关于线性方程组的常用表达形式）

3.1.1基本概念

a^X]

312X2

1、方程组a21X1

*22X2

a2n

2LLLLLL

LLL

am1X1

am2X2

*mn

称为含n个未知量m个方程的线性方程组，

i）倘若bi,b2,....,bm不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组;

ii）若bi=b2=LL=bm0,贝够线性方程组就是齐次线性方程组,

这时，我们也把该方程组称为

a11

a1n

2、记A=M

M,x

X2,b

am1

amn

3|1x1

a^x2

La1nC1

*22X2

L*2nC2的导出组,

LLL

am1X1

*m2X2

■LamnCm

（其中

C1,c2,..

m不全为零）

则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式AxbLLLL

aij

3、又若记ja2j,j1,2,Ln

amj

则上述方程游客一写成向量形式

x11x22LLXnnb.LLLLLLLLLLLLL

同时，为了方便，我们记

A（A,b），称为线性方程组（*）的增广矩阵

3.1.2线性方程组解的判断

1、齐次线性方程组Ax=O,（n=线性方程组中未知量的个数

对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解），

i）那么，当r二秩（A）二n时，有唯一零解；

ii）当r二秩（A）

2、非齐次线性方程组Ax=b

秩（A）v秩（A）无解；

秩（A）=秩（A）秩防秩（A）=n，有唯一解，

秩（A）=秩（A）

秩（A）>秩（A）不可能

3.1.3线性方程组的解空间

1、齐次线性方程组的解空间

（作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组

解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间）

定理：

对于数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为

dim（W）二n-秩（A）二n-r，

其中A是方程组的系数矩阵。

那么，当齐次线性方程组[（*）--ii）]有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的数目都等于n-秩（A）。

2、非齐次线性方程组的解空间

我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系，那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解°（称其为方程组特解）；然后在求对

应的导出组的解空间（设该解空间的基础解系为!

，2，...n-r），则（*）

解空间的维数为n-r,且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为：

0+k11k22+...+kn-rn-r（）

我们称其为该非齐次线性方程组（*）的通解.

3.2经典题型解析

1、已知方程组2

3a2

3无解，试求a的取值

解：

方程组的增广矩阵A

1211

23a23（初等行变换不影响线性方程组的

解）

1211

0a231

1211

01a1

00（a3）（a1）a3

由于方程组无解秩（A）v秩（A）,秩（A）<3（a3）（a1）0a3

或a1

i）当a3时，秩（A）=2=秩（A），方程组又无穷多解;

ii）当a1时，秩（A）=2<3=秩（A），方程组无解

综上可得，a1

易错提示：

对方程组有解、无解时的条件把握不牢固；在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。

所以，我们在做题的过程中，一定要善于总结，通过练习找到自己的不足点。

对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构

失无必要进行总结的,

已做到深刻的理解与领悟

2、设A为n阶方阵,

r（A）=n-3，且1,

3是Ax0的三个线性无关的解向

量，则下面哪个是

Ax0的基础解系

（A）1

2，2

1・

（B）

21,32,13-

（C）2

1,—32，1

（D）

3，32,

23.

解：

由r（A）=n-3Ax0的基础解系个数为nr（A）=n-（n-3）=3

又因为i,2,3是Ax0的解，所以四个选项中的向量都是方程组的

（22

3）=（1，2，3）2

0_（1，2，3）C

211

123）=（1,

3）11

_（

2，3）D

解，而我们只要验证看其是否线性无关即可，

现在我们利用矩阵这里工具来

进行求解：

（12，23,31）=（1，2，3）

10_（1，2，3）A

（21,32,13）=（1，2，3）1

0_（1，2，3）B

因为：

A20,BCD0

所以，向量组12，2

3,31线性无关，而其余三个都是线性相关的,

故选Ao

评析：

本题解法颇多，只要验证选项中的向量组线性无关即可，但上述方法是较为简单的方法，且不易出错；同时，我们可以看到，在解决一些有关向量组和线

性方程组问题时，有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不是一种简便！

3、设1,2,L,s是齐次线性方程组AX0的一个基础解系。

而

1t11t22,2t12t?

3丄，st1st21，其中t1，t2是头数，冋当t1，

t2满足什么关系时，1,2,L,s也是方程组AX0的基础解系？

解：

显然，1,2,L,s为AX0的解，下证在1,2,L,s线性无关时，t1,t2应满足的关系。

设k11k22L

t22）k2（tj2

3）Lksl（tis1t2s）ks（tist21）0

（乂kst2）1（也kztj

（ks1t2k3t1）30

由1,2,L,3线性无关知

t2k1

kst2t1k2M

ks1t*s

由于1,2,L,s线性无关,

此方程组只有零解，即

0t1t2L

（1）s1t;

故当t：

（1）s1t；0时,

即s为偶数时,

t2，s为奇数时，t1t2，这

时1,2,L,s为AX

0的一个基础解系

4、设齐次线性方程组

（1

2x1

nxi

a）x1x2L

（2a）x2L

LLLL

nx2

（n

2Xn

a）Xn

0，（n

该方程组有非零解，并求其解

解：

方法

对系数矩阵进行初等行变换

（1）若a0，

R（A）

，方程组有非零解,

故其基础解系为

11,1,0,,0T

所以方程组的通解为

2），试问a为何值时,

其同解方程为

1,0,1,0,,0T，

n11,0,L

0,1T

Xn0

k11

k22

kn1n1（k1,,kn1为任意常数）

方法

（2）若a

对矩阵

n（n

2x-i

3为

nxr

B继续作初等行变换，有

1）时,

任意常数）

由于系数行列式

故当a

（1）当a

0时，有A

程为

1n（n

1）

R（A）

0得基础解系为

n（n1）

由此行基础解系为

1（1,1,,0）T，

通解为k11

k22

时,

kn1

n，方程组有非零解,

其同解方程为

1,2,,nT所以通解为k（k为

n（n1）a

方程组有非零解。

Xn0

（1,0,1,

0）T，…

n1（k1,

an1

0故方程组的同解方

n1（1,0,,1）T

kn1为任意常数）

（2）当a，n（n1）时，对系数矩阵进行初等行变换，有

故方程组的同解方程为

2x1

3x1

nxr

可得基础解系为

（1,2,

n）T，故通解为k

（k为任意常数）

5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解空间

x13x25x32x44，-2x1x23x3x47，

-x17x29x34x42.

解：

第一步，求解方程组的特解。

为此，先求出它的一般解公式,

进行一系列初等行变换

—

所以，方程组的一般解为

4117

X1X3&,

555（其中X3,X4都是自由变量）

731

X2X3X4.

555

由式可以推出方程组的一特解:

第二步，求导出组的一个基础解系。

由于原非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相同，

因此，我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉，就可得到导出组的一般解。

Xix3

x4,

X4,

（其中X3,X4都是自由变量）

从而得到导出组的一个基础解系

第三步，写出非齐次线性方程组的解空间

评析：

本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及其步骤，作为线

性方程组的最一般解法，我们是必须掌握的。

6已知向量1=

，2=

a1x1

2x2

a3X3a4X4

d1,

是方程组

4x1

b：

3x3b4x4

d2,的三个解，求该方程组的解。

3x1

CqX2

5x3c4x4

d3.

解：

即方程组的系数矩阵为

A，则

i）由已知条件知:

的解向量

1时相应的齐次线性方程组的两个线性无关

由4-r（A）2r（A）2LLLLLLLLL

又Q系数矩阵A有二阶子式110

系数矩阵A的秩r（A）2LLLLLLLLLLL

因此，由*）与**）r（A）=2

ii）由i）齐次线性方程组基础解系由2（4-r（A）=4-2=2）个解向量构成，即

2-1，31是齐次线性方程组的一基础解系

所以，该线性方程组得通解为：

1+k1（2-1）+k2（31）.

易错提示：

按常规思路，如果把三个解代入方程组先求其参数，再求通解，则计算是非常繁琐的，在限定时间内是很难达到很好的效果，有时这种方法也是行不

通的；而倘若我们对方程组的性质与其解的结构都能够很好的理解，那么当遇到

相关类型的题目时也就不至于困惑了

7、问k为何值时，线性方程组

-X1

X2kX3

kx2x3

X22x3

k2，有唯一解，无解，无穷多解?

并且，当有解时求出其所有解。

解：

记线性方程组的系数矩阵为

A，g卩A=1

1，则

（k4）（k1），

i）当A0，即k

4时，方程组有唯一解,

我们用克莱姆法则求之,

k22k

x1k+1，x2

k22k+4k+1，

x‘k+10

ii）当k=-1时,

1L1L-1L41L1L1L4

方程组的增广矩阵A1L-1L1L1初等行变换巾0L0L0L5

1L-1L2L-40L2L3L8

r（A）=2<3=r（A）

因此，方程组无解;

iii）当k=4时，

1L1L4L4

1L0L3L0

方程组的增广矩阵A

1L4L1L16初等行变换uOL1L1L4

1L-1L2L-4

OLOL0L0

r（A）=2=r（A），可知方程组有无穷多解，于是

3x3

X34，令X3

C，则通解为X

，亦即X

点评：

本题属于含有参数变量的线性方程组问题，这类问题一直都是本章的一个重要考察点，务必要好好把握。

8、设有两个4元齐次线性方程组

0/11X

c；（II）

（1）求线性方程（I）的基础解系；

（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？

若有，贝U求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。

解：

（1）（I）的基础解系为

10,0,1,0T，21,1,0,1T

（2）关于共公解有下列方法：

方法一

把（I）（II）联立起来直接求解，令

100

101

110

111

由nR（A）

31，基础解系为

1,1,2,1

从而（I）

（II）的全部

公共解为k1,121T,（k为任意实数）

方法二通过（I）与（II）各自的通解，寻找公共解。

可求得（II）的基础解系为

i0,1,1,0T，21,1,0,1T

（II）的通解。

则k11k22，L11L22分别为（I），

令其相等，即有

k10,0,1,0T

k2（1,1,0,1）T

L10,1,1,0T

1,1,0,1T

由此得

k2,k2,k1,k2

L2,L1

L2,L1,L2T

比较得

k1L1

2k22L2

故公共解为

2k20,0,1,0Tk21,1,0,1

1,121T

方法三

把（I）

的通解代入（II）中，在为其解时寻求k1，

k2应满足的关系

式而求出公共解

由于k11k22

k2,k2K,k2T，要是（II）的解，应满足（II）的

方程，故

k〔k20

解出ki2k2，从而可求出公共解为k21,1,2,1T。

评析：

本题是关于两个方程组解的讨论，其实考察的也是关系线性方程组的解的结构问题，近几年的考研试题中也常有所涉及，所以还是值得我们注意的。

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