高考文科数学分类汇编专题九解析几何.docx
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高考文科数学分类汇编专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》
、选择题
1.【2018全国一卷
4】
已知椭圆C:
第九篇：
解析几何
X2V2
評廿1的一个焦点为（2,0），则C的离心率为
1
A.-
3
2.【2018全国二卷
6】
1
B.-
2
2
x
2
双曲线2-爲=1（a0,b0）的离心率为,3，则其渐近线方程为
ab
A.y二2x
B.y=3x
D.y3x
2
3.【2018全国
11】已知F,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PR_PF2,
且.乙PF2F1=60，则C的离心率为
A.J
2
B.2-3
C.
D..3-1
4.【2018全国
三卷
8】直线xy*2=0分别与x轴，y轴交于A,
B两点，点P在圆
2
x—2・y2=2上，贝U△ABP面积的取值范围是
到C的渐近线的距离为
和d2，且d1d2=6，则双曲线的方程为
22
x■丄=1
412
2
=1
x
D—
9
2
7.
【2018浙江卷2】双曲线「宀的焦点坐标是
之和为（）
D.4魂
二、填空题
1.
【2018全国一卷15】直线y=x•1与圆x2y22^^0交于A，B两点，则
7.
【2018浙江卷
17】已知点P（0，1），椭圆^+y2=m（m>1）上两点A，B满足AP=2"pB，则
4
当m=
时，点B横坐标的绝对值最大.
段长为4,则抛物线的焦点坐标为
的方程为
9.【2018上海卷12】已知实数x?
、x?
、y?
、y?
满足：
X2y?
2=1,X2y?
2=1,X?
?
y?
y2
则1x?
十f—1+1x?
+$—1的最大值为
逅42
三、解答题
1.【2018全国一卷20】设抛物线C：
y=2x，点A2,0，B-2,0，过点A的直线l与C
交于M,N两点.
（1）当I与x轴垂直时，求直线BM的方程；
（2）证明：
/ABM=/ABN.
2.【2018全国二卷20】设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k（k■0）的直线I与
C交于A,B两点，|AB|=8.
（1）求I的方程；
（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
22
3.
B两点•线
【2018全国三卷如已知斜率为k的直线l与椭圆i=1交于A，
段AB的中点为M（1,m）（m0）.
1
（1）证明：
k：
：
：
2
2|FP||FA|
|FB|
丄6，焦距为22.
3
22
4.【2018北京卷20】已知椭圆M:
牛=1（ab0）的离心率为
ab
斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
（I）求椭圆M的方程；
（n）若k=1，求|AB|的最大值;
（川）设P（20），直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个
71
交点为D若CD和点Q（-—,—）共线，求k.
44
A,上顶点为
B.已知椭圆
xy
5.【2018天津卷19】设椭圆一22=1（a^0）的右顶点为
ab
的离心率为—,|AB|=J13.
3
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线I:
y二kx（k:
:
:
0）与椭圆交于P,Q两点，I与直线AB交于点M，且点P,
M均在第四象限•若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.
_1
6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（•3,），焦点
2
斤（-.3,0）,F2（-.3,0），圆O的直径为F1F2•
（1）求椭圆C及圆0的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标;
PAPB的中点均在C上.
不同的两点A,B满足
②直线I与椭圆C交于
7.【2018浙江卷21】如图,
（I）设AB中点为M，证明：
PM垂直于y轴;
2
（n）若P是半椭圆x2+_L=1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围.
4
8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2,0），直线I:
x=t，曲线•：
y2=8x（0三XWt,戶0）,I与x轴交于点A,与已交于点B,P、Q分别是曲线壬与线段AB上的动点.
（1）用t为表示点B到点F的距离；
（2）设t=3,IFQ22，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在•上？
若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由
参考答案
一、选择题
1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.C
i.2、、2
2.（i,0）3.4
22
4.xy-2x=0
5.26.3
7.5
ci
8.yx
9.、2..3
2
三、解答题
1.解：
（i）当
1I与X轴垂直时，
I的方程为x=2,可得
M的坐标为（2,
2）或（2,-）
所以直线
i
BM的方程为y=2
i
xi或yx「i.
二、填空题
22
（2）当I与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以/ABM=ZABN.
当I与x轴不垂直时，设I的方程为y=k（x—2）（k=0）,M（yj,N（x2,y2）,则
Xl>0,X2>0.
_|_y=k（x—2）,22
由2得ky—yYk=0,可知yi+y2=,yiy2=V.
y=2xk
直线BM,BN的斜率之和为
kBM'kBN
y2X2yi+x"2+2（yi+y?
）①
Xi2X22一（为2）（x22）
yi
将Xt=匕亠2,x2=上亠2及y计y2,yiy2的表达式代入①式分子，可得kk
冷％72（力y2）'yiy24k（yiy2），8
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,
所以/ABM+ZABN.
综上，/ABM=ZABN.
2.解：
（i）由题意得F（i,0）,I的方程为y=k（x-i）（k>0）设A（xi,yi）,B（X2,y2）.
y=k（x-i）222,、，2c
由2得kx-（2k4）xk0.
y=4x
2
.2丄4.丄2k+4
•=i6ki6=0,故XiX2—.
k
2
k2
所以AB|AF|—|BF=（x1）（冷1）=4k4
2
4k+4
k=1.
由题设知—=8，解得k=-（舍去），
k
因此I的方程为y=x-1.
（2）由
（1）得AB的中点坐标为（3,2）
，所以AB的垂直平分线方程为
y_2-~（x-3），即y--x5.
uir
同理|FB|=2
X2
2
uiruir1
所以FAFB=4（X1X2）=3.
2
uiruiruir
故2|FP|=|FA|+|FB|.
因此所求圆的方程为
（2）由题意得F（1,0）.设P（x3,ys），则
（X3_1,y3）（X1_1,y1）（x2-1,y2）=（0,0）.
由
（1）及题设得x3=3-（x■%）=1,y3=-（比■y2）=-2m：
：
:
0.
|FA|=J（X1—1）2珂任一1）2+3（1—专）=2—?
又e，所以a=.、.3，所以b?
=a-c?
=i,
a3
2
所以椭圆M的标准方程为—y=1.
3
（n）设直线ab的方程为y=x，m,
y二xm
由x22消去y可得4x26mx3m-3=0,
y2=1
3
则.；.=36m2-44（3m2-3）=48-12m20,即卩m2：
：
4,
2
3m3m--3
设A（xi,yi）,B（X2,y2），则花x?
：
24
则|AB1=.1k2|捲「x2|=•、1k2.（为x2）2-4x^2二—64一m，
2
易得当m2=0时，|AB|max=■6，故丨AB|的最大值为„6•
（川）设代为，％）,B（x2,y2）,,D^y）,
22
X2'3y23②，
又P（-2,0），所以可设
yi
ki=kpA二一-，直线pa的方程为y=ki（x2），X〔2
y二ki（x2）
由X22消去
y1
3
2222
y可得（i3ki）xI2kiX•i2ki-3=0，
i2ki2
12ki2
则x「x3一氓，即沧一肯k厂为，学科*网
yi
4xi7，
yi—7Xi—12
又k^Xi-2，代入①式可得X3二药〒，所以y3
7X-|-12y<|7x2_12
所以C（石〒汐），同理可得D（
yi
y2
4X27'4X27）-
故QC=（x3,y3）,QD=（x4,y4）,
4444
7
因为Q,C,D三点共线，所以
171
（X3）（y4）〜（X4）（y3）=0,
4444
易知直线
AB的方程为2x3^6,
由|AB\=.a=、13，从而a=3,b=2.
22
所以，椭圆的方程为—y1
94
（II）设点P的坐标为（捲，yj，点M的坐标为（x2,y2），由题意，x2X10,
点Q的坐标为（，-％）.由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得
\PM\=2PQ,\
从而X2-Xi=2[xi-（-Xi）]，即X2=5Xi.
由方程组
由方程组
[2x+3y=6,消去丫，可得x2二—6—
y=kx,3k2
'22
£丄6
94=1,消去y，可得X1=j6
.£9k2+4
y=kx,
由X2=5捲，可得-9k24二5（3k2），两边平方，整理得18k225k0，解得
81
k，或k=
92
8112
当k时，x^-90,不合题意，舍去；当k时，X2=12,X1，符
925
合题意.
1
所以，k的值为-丄.
6•解:
（1）因为椭圆C的焦点为F"—..3,0）,F2C.3,0）,
可设椭圆C的方程为
2
X
2
a
21
2=1（ab.o）.又点C3,-）在椭圆C上,
311
所以孑‘47a2-b2=3,
解得
a2=4,
b2=1,
因此，椭圆C的方程为—y2=1.
4
因为圆0的直径为F1F2，所以其方程为x2y2=3.
,22
（2）①设直线I与圆0相切于P（xo,yo）（xoo,yoo），则xoyo
=3,
所以直线I的方程为y=-丸（x_x0）…y0，即y=-总x■仝.
yoyoyo
'2
X2.
十—y1,
由4消去y,得（4冷2•y02）x2-24x0x-36-4y02=0.
xo,3
yx,
yoyo
（*）
因为直线I与椭圆C有且只有一个公共点,
所以厶=（-24xo）2-4（4xo2yo2）（36-4y。
2）=48yo2（x。
2-2）=0.
因为Xo,yo0，所以Xo二2,yo=1.
因此，点P的坐标为（.2,1）.
②因为三角形OAB的面积为乙6,
7
所以-ABOP二2^，从而AB二口
277
设A（Xi,yJ,B（X2,y2）,
24xo二48yo2（xo2-2）
由（*）得心2（4xo2yo2）
（第18题）
222
所以—X2）2（yr）2=（1寺）48^^
因为X02yo2=3,
216（x0—2）3242
所以AB22，即2xo_45xo-100=0,
（x。
+1）49
解得xo2=5（x。
2=20舍去），贝Uy。
2二1，因此P的坐标为（」°,二）•
2222
综上，直线I的方程为y=_5x3.2.
1212
7•解：
（I）设P（X0,y°）,A（匚％,%）,B（；y2,y2）.
44
因为PA,PB的中点在抛物线上，
12*22
所以y1,y2为方程（_y__y0）2*4yx0即y2-2y°y•8x°-y：
=0的两个不同的
实数根.所以y1y2=2y0.
因此，PM垂直于y轴.
Iy1^2-2y0,
（n）由（i）可知2
[如y2=8x0—y0,
所以1PM|=；（y1y2）-x0y0-3x0,I%-y2|=2、2（y°-4x0）•
84
13[23
因此，△PAB的面积Sapab=—|PM|"-y2〔=——（y；-4x））2.
24
2
因为x；匹=1（x0:
:
0），所以y2-4x°二-4x[-4x4[4,5].
4
因此，△PAB面积的取值范围是[6、21510].
，4
2
&解：
（1）由抛物线的性质可知，抛物线y=8x的准线为x=-2,
抛物线上的点B到焦点F（2,0）的距离等于点B到准线X--2的距离，
由题意知，点B的横坐标为t，则BF=t+2。
（2）当t=3时，A（3,0）。
由曲线•：
y2=8x（0一x-1,y-0）知：
点B的纵坐标为83=2■■一6，则B（3,2、,6）。
由于Q在线段AB上，则点Q的纵坐标取值在［0,2.6］之间。
由题意F（2,0）,FQ=2，则Q的纵坐标为J22—12=J3,故Q（3,.3）,OQ的中点坐标为Q（3,仝）。
22
由于3=2，由题意可知PF的斜率存在，则可设直线PF的方程为：
y=k（x-2），所以将点Q（—,—）的坐标代入方程得3=k（3-2），
2222
解得k=-J3，则直线PF的方程为y=r」3（x-2）。
2
代入抛物线方程得xP=2。
3
由于A、Q均在直线x=3上，则.AQP的AQ边边长为.、3-0=』3，
（3）存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在•上。
当t=8时，A（8,0），点B的纵坐标为,88=8，则B（8,8）。
2
设P（,n）,0_n_8。
8
2
①若n2，则点P（2,4），而点F（2,0），则PF一x轴。
8
若以FP、FQ为邻边的四边形FPEQ为矩形，则PF_FQ,则FQ_y轴，故点Q（8,0）。
此时点E（8,4），由于,88=8=4,
则点E不在•上，此情况不成立。
8n
n2-16
2
②当n2时，直线PF的斜率可以表示为
8
2由于PF_FQ，则直线FQ的斜率可以表示为kFQ二归-。
8n
2
所以直线FQ的方程为y=dlL（x_2），
8n
22
当x=8时，y=丘丄（8_2）=3（16--）
8n4n'
2
所以Q（8,3（16f））。
4
而在以FP、FQ为邻边的四边形FPEQ中，F、E为不相邻的两个顶点,
FPFQ二FE。
22
FP=（—-2,n），FQ=（6,3（16--，
8
FE=（—4,-48）。
84n
故点E（-6,-48）。
84n
2
8（]6）,
2
当点点E在•上时，有（n48）2
4n
移项后去分母整理得15n2=48，解得『=16。
5
4』524^/5
而。
”8，则，故兀，三）。
24岛综上所述，存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在•上，此时点P（—,）。
55
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