图形的放大与缩小.docx

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图形的放大与缩小

第九节图形的放大与缩小

小欧拉智改羊圈－4.9.1图形的放大与缩小

（一）

欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就.不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是个被学校除了名的小学生.

事情是因为星星而引起的.当时，小欧拉在一个教会学校里读书.有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星？

老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过.其实，天上的星星数不清，是无限的.我们的肉眼可见的星星也有几千颗.这个老师不懂装懂，回答欧拉说：

“天上有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶上去的就够了.”

欧拉感到很奇怪：

天那么大，那么高，天上没有扶梯，上帝怎么会把星星一颗一颗镶嵌到夜幕上呢？

上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？

上帝会不会太粗心了呢？

”

他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好.老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师提出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切.小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑.在老师的心目中，这可是个严重的问题.

在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考.小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家.但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了.他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星都记不住？

他又想，上帝是个独裁者，连提出的问题都成了罪.他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在.

回家后无事，他就帮爸爸放羊，成了一个牧童，他一面放羊，一面读书.他读的书中有不少是数学书.

爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只，原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新羊圈.他量出了一块长方形土地，长40m，宽15m，面积正好是600m2，平均每头羊占地6m2，正打算动工时，他发现他的材料只够围100m的篱笆，不够用.若要围成长

40m，宽15m的羊圈，其周长将是110m，这让父亲很为难.因为他不想缩小面积，还希望原材料够用.

小欧拉却向父亲说，他有办法.父亲不信，在小欧拉的努力说服下，父亲同意让小欧拉试一试.

小欧拉跑到准备动工的羊圈旁，他以一个木桩为中心，将原来的40m边长截短，缩短到25m，父亲着急了，说：

“那怎么成呢？

这个羊圈太小了.”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来的15m边长延至25m，经这样一改，原计划中的羊圈变成了正方形.然后，小欧拉自信得对父亲说：

“现在篱笆也够了，面积也够了.”

父亲照着小欧拉的设计建好羊圈，心里很高兴.孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来定有大出息.

后来，父亲想办法让小欧拉认识了一个大数学家贝努利.通过这位数学家的推荐，1720年小欧拉成了巴塞尔大学的大学生.这一年，小欧拉才13岁，是这所大学最年轻的大学生

观测日食－4.9.2图形的放大与缩小

（二）

在天文学方面,泰勒斯作了很多研究,他对太阳的直径进行了测量和计算,结果他宣布太阳的直径约为日道的七百二十分之一.这个数字与现在所测得的太阳直径相差很小.他在计算后得知,按照小熊星航行比按大熊星航行要准确得多,他把这一发现告诉了那些航海的人.通过对日月星辰的观测与研究,他确定了三百六十五天为一年,在当时没有任何天文观察设备的情况下,作出这样的发现是很了不起的.在天文学领域,他更为人们所津津乐道的就是正确地解释了日食的原因,并曾预测了一次日食,制止了一场战争.

当时,米底王国与两河流域下游的迦勒底人联合攻战了亚述的首都尼尼微,亚述的领土被两国瓜分了.米底占有了今伊朗的大部分,准备继续向西扩张,但受到吕底亚王国的顽强抵抗.两国在哈吕斯河一带展开激烈的战斗,接连五年也没有分出胜负.

战争给平民百姓带来了灾难,平民百姓们流离失所.泰勒斯预先推测出某天有日食,便扬言上天反对人世的战争,某日必以日食作警告.当时没有人相信他.后来,果然不出所料,在公元前585年5月28日，当两国的将士们短兵相接时,天突然黑了下来,白昼突然变成了黑夜,交战的双方惊恐万分,于是马上停战和好,后来两国还互通婚姻.

这次战争的结束,当然还有政治、经济等方面的原因,日食只是起到一个“药引”的作用.不过人们更为关心的是另一个重要的问题，泰勒斯是怎样预知日食的呢？

后人做过种种推测和考证，一般认为是应用了迦勒底人发现的沙罗周期.一个沙罗周期等于223个朔望月，即6585.321124日或18年零11日（若其间有5年闰年则是18年零10月）.日月运行是有周期性的，日月食也有周期.日食一定发生在朔日，假如某个朔日有日食，18年11日之后也是朔日，而日月又大致回到原来的位置上，因此很有可能发生类似的现象.

不过一个周期之后，日月位置只是近似相同，所以能看见日食的地点和日食的景象都可能有所变化甚至根本不发生日食.泰勒斯大概知道公元前603年5月18日有过日食，所以侥幸猜对.当然关于此事,还有一些别的说法,没有统一的定论

手表的妙用－4.9.3课题学习制作视力表

我们大家手上戴着的手表，其实就是一只标准的“指北针”.那么，钟表是怎样定向的呢？

钟表定向的方法是：

把手表放平，以当时时数一半时的时针位置指向太阳，则表面上“12时”指的方向便是北方.

为什么会有这样的结果呢？

我们知道，地球自转一周，在地球上看来，就好像是太阳绕地球转了一周；而我们手表上的时针则走了24小时，就像是太阳绕地球转了360°,而时针则绕表心转了720°.因此，“太阳绕地球转的角度”刚好与时针旋转的角度之半相当.

当太阳又“转过”x角度时，表上的时针则又转了一个2x角度.因此，该时数的一半位置就恰好也转过了一个x角度.这时候的一半时间的时针方向与“12时”时针方向所成的角度y满足y=x+90°,所以，无论太阳在什么地方，只要我们把时针指向当时时数的一半的方向对向太阳，那么，“12点”的指向就是北方

首一自然数的个数

首位数为1的自然数叫首一自然数.这种数在全体自然数中占有多大比例，这便是所谓的“首一自然数问题”.

问题的提出并非偶然.20世纪初，一位名叫西蒙·纽科斯的天文学家注意到一本对数表的前面几页磨损较厉害，这表明人们对首位为1的对数查找较多.

为什么会出现这种现象？

于是前面的问题便提出来了.

乍一想，你也许会以为这个问题答案显然是因为数学中只有1~9能在自然数中打头，而它们出现似乎应该“均等”，即首一自然数应占全体自然数的

，其实不然.

请看首一自然数在全体自然数中的分布概况：

在9之前其占

，在20之前其占

，在30之前其占

，……，在100之前其占

……，即其比例总是在

和

之间摆动.

数学家研究的结果是：

首一自然数在全体自然数中约占

.

第十二课时

●课题

§4.9.1图形的放大与缩小

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.位似图形的定义与性质.

2.复习橡皮筋放大图形的方法.

3.解释用橡皮筋放大图形的原理.

（二）能力训练要求

1.了解图形的位似.

2.能用橡皮筋放出相同形状的图形，体会其中的道理.

（三）情感与价值观要求

通过有趣的图形变换激发学生学习数学的浓厚兴趣，让学生感受图形变换的奥妙，体会学习数学的快乐.

●教学重点

1.位似图形的定义.

2.用橡皮筋放大图形的原理.

●教学难点

体会用橡皮筋放大图形的原理，培养转换思想.

●教学方法

观察与实践相结合的方法

在仔细观察的基础上，鼓励学生动手操作，体会生活中实际问题的数学道理，使学生操作与思考相结合.

●教具准备

若干个橡皮筋.

投影片两张：

第一张：

（记作§4.9.1A）

第二张：

（记作（§4.9.1B）

●教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］（放投影片4.9.1A）请同学们观察一组图片，思考下列问题：

1.它们是相似图形吗？

2.图形位置间有什么关系？

你能寻找出一些规律吗？

图4－51

［生］它们的形状相同，大小不一，是相似图形.

图形上各组对应点所在直线都经过镜头中心P点，A、B是一对对应点，连结后并延长过点P.这组图与相似图形比较，多了一些特征.

［师］这正是我们今天要学习的内容.

Ⅱ.讲授新课

大家刚才观察到的一组特殊的相似图形，我们叫它位似图形，那么什么叫位似图形呢？

请同学们阅读教材135页定义，仔细理解位似图形的要求.

定义讲解：

1.两图形相似

2.每组对应点所在直线都经过同一点.

同时满足上述两个条件的两个图形才叫做位似图形.两条件缺一不可.此时，把这个点叫做位似中心.这时的相似比叫做位似比.

巩固定义做一做.

［师］（放投影片§4.9.1B）

下面有三组图形，请同学们观察，并实际操作一下，看它们是否是位似图形.老师请一位同学板演.

图4－52

板演结果：

图4－53

［生］通过测量发现，三组图形的对应边各成比例，所以它们分别是相似图形.但连结后发现：

（1）、（3）图形的每组对应点所在直线交于一点.如图O、P，

（2）却没有这个特征，这说明

（1）中的两个图形与（3）中的两个图形都是位似图形，但

（2）中的两个图形只是相似图形而不是位似图形.

（1）、（3）的位似中心分别是O、P.

［师］这位同学很具有科学态度，他能准确应用定义解决问题.请大家在图

（1）中任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离，它们的比与位似比有关系吗？

［生］它们的比等于位似比.

［师］很好，在（3）中再试一试.

［生］在（3）中发现也有这个特征.

［另一生］老师，这可以用我们学过的相似三角形定理来证明.

［师］这就更圆满了，于是我们可以得出位似图形有如下性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

请同学们回忆我们本章第3节学过的“用橡皮筋放大图形”的方法，叙述作法，并思考放大前后两个图形的关系为什么是位似.

我们尝试用橡皮筋放大图形的方法将一个正方形放大，使得放大后的图形与原图形的位似比是3.

将两个长短比例为1∶2的橡皮筋系在一起，在选定正方形外取一足点P，将系在一起的短橡皮筋的一端固定在P点，把一支铅笔固定在长橡皮筋的另一端，拉动铅笔，使两个橡皮筋的结点沿正方形ABCD的边缘运动，当结点在正方形ABCD上运动一周时，铅笔就画出了一个新的正方形A′B′C′D′，它们形状相同，相似比为3.如图4－54所示.

图4－54

通过连结图中各对应点连线，发现它们交于一点P，所以用橡皮筋放大后的图形与原图形是位似图形.

Ⅲ.随堂练习

按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的

：

如图4－55任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F.△DEF的三边就是△ABC相应三边的

（实际上，△ABC与△DEF是位似图形）

图4－55

1.任意画一个三角形，用上面方法亲自试一试.

2.如果在射线AO、BO、CO上分别取点D、E、F，使DO=2OA，EO=2OB，FO=2OC，那么结果又会怎样？

（答案如图4－56所示）

图4－56

Ⅳ.课时小结

1.通过观察与操作，理解位似图形的两个条件缺一不可.了解位似图形的性质.

2.能用位似图形定义解释前面学过的橡皮筋放大原理.做到温故知新，学以致用.

Ⅴ.课后作业

课本习题4.12

预习“图形的放大与缩小”的后半节.

答案1：

∵△OCD与△OAB是位似图形.

∴△OCD∽△OAB且两三角形各对应点连线交于一点O，于是得∠OCD=∠OAB.

∵∠OCD与∠OAB是同位角.

∴AB∥CD.

答案2：

放大前后的图形是位似图形.用位似图形的定义去验证说明.

Ⅵ.活动与探究

老师提供一张同学们比较喜欢的漫画人头像.请同学们将这张图放大一张，再缩小一张，对比一下自己的杰作，看像不像.

意图：

让学生能够学以致用，锻炼各器官的协调性和对科学认真负责的态度.

完成后可做一次展评，让学生欣赏自己的杰作，陶冶审美情操，尽情享受劳动所得的喜悦.进一步激发学习数学的兴趣.

●板书设计

§4.9.1图形的放大与缩小

（一）

一、位似图形定义

1.两图形相似.

2.每组对应点所在直线都经过同一点.

二、用橡皮筋放大正方形

三、随堂练习（学生板演）

第十三课时

●课题

§4.9.2图形的放大与缩小

（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.复习位似图形定义

2.能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.

（二）能力训练要求

能熟练准确地利用图形的位似将一个图形放大或缩小.

了解常用的几种图形的放大或缩小的数学依据.

（三）情感与价值观要求

有意识地培养学生学习数学的积极情感，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯.

●教学重点

利用位似将一个图形放大或缩小.

●教学难点

比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律.

●教学方法

实践—观察—归纳的方法.

通过学生实际操作，教师引导学生观察，从而归纳出利用位似将一个图形放大或缩小的一般步骤，并了解常见的几种图形放大或缩小的方法.

●教具准备

投影片：

记作（§4.9.2A）

●教学过程

Ⅰ.温故推新

［师］我们上节课学习了位似图形的定义与性质，学会了一些图形放大或缩小的方法，请同学们回顾一下，叙述位似图形的定义与性质.

［生甲］如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形.

［师］很好，请问都经过的一点叫什么呢？

［生甲］位似中心.

［生乙］位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.这是位似图形的性质.

［师］好，今天我们接着学习利用位似将一个图形放大或缩小.

Ⅱ.讲授新课

［师］请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，同学们在小组间互相交流，看一看有几种方法？

［生］橡皮筋法，方格纸放大法，电脑放大在图形外取一点作射线找比例线段也可以作出.

［师］大家想得很周到，其中最后一种方法是什么原理呢？

［生甲］找比例线段得到的是相似图形.

［生乙］对应顶点连线都过一定点，它符合位似图形，得到的一对图形是位似图.

［师］分析得很好，我们今天就利用位似将上面图形放大到要求比例.

请同学们阅读课本P84，按要求作出新的图形.并归纳作图步骤.

（教师巡视学生完成情况，参与学生讨论，并随时交流与指导）.

［师］（放投影片§4.9.2A）同学们，经过大家的亲自操作，都各自得到一张放大后的新图形.老师挑出两幅，请同学们观看，并请作者叙述其作图方法.

图4－59

（一）

图4－59

（二）

图

（一）作者：

在原图上取几个关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP，在这些射线上依次取点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′=2AP，PB′=2BP，PC′=2CP，PD′=2DP，PE′=2EP，PF′=2FP，PG′=2GP；顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合要求的图形.

图

（二）作者：

在原图上取关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线PA，PB，PC，PD，PE，PF，PG，在这些射线上依次取点A′,B′,C′，D′，E′，F′，G′，使PA=AA′，PB=BB′，PC=CC′，PD=DD′，PE=EE′,PF=FF′，PG=GG′，顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合条件的图形.

［师］可以看出两名同学虽然作法不同,但都得到了符合要求的图形.新图形与原图形是位似图形,位似比为2∶1.那么总结上述作法，请同学们归纳出“利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.”

第一步:

在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P.

第二步:

以点P为端点向各关键点作射线.

第三步:

分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.

第四步:

顺次连接截取点.

即可得到符合要求的新图形.

简记方法:

1.选点

2.作射线

3.定对应点

4.连线

分辨事非,巩固概念:

下列说法正确吗？

为什么？

1.分别在△ABC的边AB、AC上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形.

答案：

正确

因为AD＜AB,AE＜AC

由△ABC∽△ADE得

＜1

所以说△ADE是△ABC缩小后的图形.

如图4－59所示.

图4－59

2.分别在△ABC的边AB、AC的延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.

答案：

正确.

由已知得AD＞AB,AE＞AC

又∵△ABC∽△ADE

＞1

所以说△ADE是△ABC放大后的图形.

如图4－60所示.

图4－60

3.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.

答案：

不正确.也可能是缩小后的图形.

如图4－61所示:

图4－61

Ⅲ.随堂练习

三角形的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,试将△ABC缩小,使缩小后的△DEF与△ABC对应边比为1∶2.

解：

将A（2,2），B（4,2），C（6,4）三点的横坐标、纵坐标都缩小为原来的

得D（1,1）,E（2,1）,F（3,2）后,顺次连结D,E,F,D,即可得到缩小后的△DEF.如图4－62所示.

图4－62

Ⅳ.课时小结

1.巩固理解位似图形的定义与性质.

2.熟悉用位似方法放大或缩小图形的步骤.

掌握以上两条,我们就可以根据自己需要,放大或缩小出符合要求的图形了.

Ⅴ.课后作业

1.把如图4－63所示的图形缩小,使得缩小前后对应线段的比为2∶1.

图4－63

答案：

（略）

2.在直角坐标系中连接坐标为整数的若干个点组成一个多边形,把多边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘以2,得到一个新的多边形,然后再用本节例题的方法,以坐标原点为位似中心将原多边形放大,使放大后的多边形是原多边形对应边的2倍.比较两种方法放大后的两个新多边形,你能得到什么结论?

参考结论

1.利用坐标系放大图形是利用位似放大图形的一种特殊作法,此时,原点是位似中心.

2.若用位似放大图形时采用是例题中图4－59

（二）的作法，则在同一坐标系中两种放大方法得到的新多边形是重合的.

3.若位似放大图形的方法是例题中图4－59

（一）的作法,则在同一坐标系中两种放大方法得到的新图形关于原点对称.

Ⅵ.活动与探究

1.用不同方法放大同一幅图形,使放大后的图形与原图形的位似比为2∶1（橡皮筋法,方格放大后,位似放大法,电脑放大等）.

2.将放大后的图形放一起做一个对比,写一篇实验报告.

3.在活动时间,作为演讲素材,请发表你的高见.

●板书设计

§4.9.2图形的放大与缩小

（二）

一、位似图形定义与性质的复习

二、位似放大（或缩小）法的操作步骤

1.选点2.作射线

3.定对应点4.连线

三、随堂练习

四、课时小结

课题学习制作视力表

●课时安排

2课时

第一课时

●课题

制作视力表

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

探索视力表中的奥秘

（二）能力训练要求

通过度量”E”的长、宽及空白缺口宽，培养大家的动手能力.

对所测量的数据进行探索它们之间的关系，训练学生的探索能力.

（三）情感与价值观要求

通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.

●教学重点

探索视力表中蕴含的数学知识

●教学难点

探索视力表中蕴含的数学知识

●教学方法

指导探索法

即在教师的指导下，由学生自己动手去操作，并和同伴互相交流探索出结果.

●教具准备

视力表一张

三角板一个

硬纸板若干张

投影片两张

第一张：

（记作课题学习A）

第二张：

（记作课题学习B）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］视力表对我们来说并不陌生.但你想过吗？

视力表中蕴含着一定数学知识.你知道是什么知识吗？

本节课我们就来探索其中蕴含的奥秘.

Ⅱ.新课讲解

［师］现在我们查视力时用的视力表，通常是哪一种呢？

［生］是由一组字母”E”组成的视力表.

［师］对，它是以能分辨”E”的开口朝向为依据来测定视力的.换句话说，它的测试依据是能否看清楚”E”的两个空白缺口（如下图中AB、CD两个缺口）.

图1

下面我们以“标准对数视力表”为例，探索视力表中的奥秘：

度量视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2,1.5，2.0所对应的”E”的长a，宽b，空白缺口宽d，（如图2）.

投影片（课题学习A）

图1

请大家量视力表中的各个”E”，并填写课本第93页的表.

［生］填表如下：

（投影片课题学习B）

［师］观察上表，大家讨论看这些数据之间有什么关系，从而决定视力表中的各”E”形图之间有什么关系？

［生］视力为0.1时，a=72mm,b=72mm,d=15mm,可知”E”的长和宽相等.

视力为0.2时，a=36mm,b=36mm,d=7.5mm,可知”E”的长和宽相等，且

=36，

=7.5.

视力为0.3时，a=24mm,b=24mm,d=5mm,可知”E”的长和宽相等，并且

=24，

=5.

视力为0.4时，a=18mm,b=18mm,d=3.8mm,可知”E”的长和宽相等，且

=18，

=3.75.因为测量时有误差，眼睛大致可以精确到0.1mm,所以有

≈3.8.

由此可以猜想，视力为0.5时，a=

=14.5mm,b=

=14.5mm,d=

=3mm.

视力为0.8时，a=

=9mm,b=9mm,d=

=1.9mm.

视力为1.0时，a=

=7.2mm,b=7.2mm,d=

=1.5mm.

视力为2.0时，a=

=3.6mm,b=3.6mm,d=

=0.75mm.

由此可知：

视力表中的各”E”形图都是长与宽相等的图形，如果把视力为0.1时的”E”形图作为基本图形，则视力为0.2，0.3…2.0时的”E”形图都与基本图形是相似图形.

Ⅲ.课堂练习

若一个视力表中的视力为0.1的”E”的长、宽都为60mm,空白缺口宽为12.5mm，求视力为0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0时”E”的长、宽，空白缺口宽.

Ⅳ.课时小结

本节课我们自己动手，探索出视力不同的”E”形图之间的关系.

Ⅴ.课后作业

到有关单位进行调查，目前较为通用的视力表有哪几种？

Ⅵ.活动与探究

一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河宽.

图3

解：

根据题意画图：

可知DE=50m,BC=20m,AM=25m.

∵BC∥DE

∴△ABC∽△ADE

∴

即

∴AN=62.5（m）

∴MN=AN－AM=62.5－25=37.5（m）

答：

河宽为37.5m.

●板书设计

制作视力表

（一）

一、测量视力表中不同视力所对应的”E”的长、宽，空白缺口宽，并讨论它们之间的关系.

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

第二课时

●课题

制作视力表

（二）

●教学目标

（一）教学知识点

探索视力表中