莫迪图.docx

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莫迪图

莫迪图表示沿程阻力系数λ与△/d、Re之间的函数关系，查莫迪图首先确定流动的雷诺数Re，到莫迪图上查对应横坐标；查表“管道的管壁绝对粗糙度△”，除以管道直径d，如果是非圆管道，则除以当量直径de，计算△/d，这个值对应着莫迪图的右边纵坐标和莫迪图区域中央的曲线。

由横坐标的雷诺数Re，右边纵坐标△/d，对应确定莫迪图区域中央曲线上的一个点，这个点对应着莫迪图左边纵坐标的沿程阻力系数λ，再由λ计算管道内的沿程阻力。

莫迪图以及尼古拉兹图的区别

尼古拉兹实验：

人工粗糙管，5个阻力区的沿程阻力系数的计算公式及各公式的适用条件（详见课堂笔记），尼古拉兹图；莫迪图（用以查工业管道，与尼古拉兹图查人工粗糙管不同）

插值法

插值法又称“内插法”，是利用函数f（x）在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f（x）的近似值，这种方法称为插值法。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

主要有lagrange插值、newton插值、hermite插值、分段多项式插值及样条插值法等。

目录

1内容简介

2主要类别

Lagrange插值

Newton插值

Hermite插值

分段多项式插值

样条插值

1内容简介

插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。

该节只讨论具有唯一插值函数的多项式插值和分段多项式插值，对其中的多项式插值主要讨论n次多项式插值的方法，即给定n+1各点处的函数值后，怎样构造一个n次插值多项式的方法。

虽然理论上可以用解方程组⑵（那里m=n）得到所求插值多项式，但遗憾的是方程组⑵当n较大时往往是严重是病态的。

故不能用解方程组的方法获得插值多项式。

介绍内容有：

lagrange插值、newton插值、hermite插值、分段多项式插值及样条插值。

2主要类别

Lagrange插值

Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。

★基本思想　将待求的n次多项式插值函数pn（x）改写成另一种表示方式，再利用插值条件⑴确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。

Newton插值

Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。

★基本思想　将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件⑴确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。

Hermite插值

Hermite插值是利用未知函数f（x）在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的，起其提法为：

给定n+1个互异的节点x0,x1，……,xn上的函数值和导数值

求一个2n+1次多项式H2n+1（x）满足插值条件

H2n+1（xk）=yk

H'2n+1（xk）=y'kk=0,1,2，……，n⒀

如上求出的H2n+1（x）称为2n+1次Hermite插值函数，它与被插函数

一般有更好的密合度.

★基本思想

利用Lagrange插值函数的构造方法，先设定函数形式，再利

用插值条件⒀求出插值函数.

分段多项式插值

插值多项式余项公式说明插值节点越多，误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：

取被插函数，在[-5，5]上的n+1个等距节点：

计算出f（xk）后得到Lagrange插值多项式Ln（x），考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n，分别取n=2,6,10,14,18计算f（x）,Ln（x）及对应的误差Rn（x），得下表

从表中可知，随节点个数n的增加，误差lRn（x）l不但没减小，反而不断的增大.这个例子最早是由Runge研究，后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时，对应

的是高次插值多项式，此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法.

分段多项式插值的定义为

定义2:

a=x0

取[a,b]上n+1个节点并给定在这些节点上的函数值f（xR）=yRR=0,1，…，n

如果函数Φ（x）满足条件

i）Φ（x）在[a,b]上连续

ii）Φ（xr）=yR,R=0,1，…，n

iii）Φ（x）zai每个小区间[xR,xR+1]是m次多项式，

R=0,1，…，n-1则称Φ（x）为f（x）在[a,b]上的分段m次插值多项式

实用中，常用次数不超过5的底次分段插值多项式，本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ（x）

在节点上与被插值函数f（x）有相同的导数值，即

★基本思想　将被插值函数f〔x〕的插值节点由小到大排序，然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m次多项式去近似f〔x〕.

例题

例1已知f（x）=ln（x）的函数表为：

试用线性插值和抛物线插值分别计算f（3.27）的近似值并估计相应的误差。

解：

线性插值需要两个节点，内插比外插好因为3.27（3.2，3.3），故选x0=3.2，x1=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有

所以有，为保证内插对抛物线插值，选取三个节点为x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4，由n=2的lagrange插值公式有

故有

所以线性插值计算ln3.27的误差估计为

故抛物线插值计算ln3.27的误差估计为：

显然抛物线插值比线性插值精确。

样条插值

样条插值是一种改进的分段插值。

定义若函数在区间〖a，b〗上给定节点a=x0

⒈S（xj）=yj，j=0,1,2，…，n；

插值法主要用于道路桥梁，机械设计，电子信息工程等很多工科领域的优化方法