等差等比数列知识点总结.docx

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等差等比数列知识点总结

等差、等比数列知识点总结

-CAL-FENGHAI-（2020YEAR-YICAI）JINGBIAN

一、任意数列的通项“”与前“项和s“的关系：

色=9

is”-S,I（“>2）

一箸差数寿||

匸、等差数列及等差中项定义

“”一畑=〃、為=%；%°

2、等差数列的通项公式:

“”=5+（九-1）〃、an=ak+（n-k）d

当"0时，“”是关于n的一次式；当〃=0时，绻是一个常数。

3、等差数列的前”项和公式：

=严）S,严巴匸氏/

4、等差数列仏”｝中，若m+n=p+q>贝9am+an=ap-\-aq

5、等差数列仏”｝的公差为d,则任意连续川项的和构成的数列S,八S2,”-S,”、S'jSg、……仍为等差数列。

6、Sn=An2+Bn,d=2A9=A+B

7、在等差数列｛“”｝中，有关S”的最值问题

利用S“（〃工0时，S”是关于"的二次函数）进行配方（注意”应取正整数）

三、等比数列

1>等比数列及等比中项定义：

心c2

一=q、①=c”+i

an-\

2、等比数列的通项公式：

~=叩"5=%"

3、等比数列的前”项和公式：

当4=1时，S,严叫

当9工1时，»=5（1一厂）=

l_q\-q

4、等比数列｛〜｝中，若m+n=p+q,则am-an=ap-ag

5、等比数列S”｝的公比为q,且恥0,则任意连续〃?

项的和构成的数列S,”、Sg-Sm、S齐-Sz……仍为等比数列

6、sn=Aqn+B,贝|JA+B=O

四、求数列｛£｝的最大的方法:

a”》«n+l

五、求数列｛"”｝的最小项的方法：

5§如

例：

己知数列｛“”｝的通项公式为：

“”=-2朋+25-3,求数列｛“”｝的最大项。

例：

己知数列｛心｝的通项公式为：

g=9罟“，求数列｛〜｝的最大项。

数列求和方法总结

1、公式法

（1）等差数列

s,严晋i+心）

（2）等比数列

⑶12+22+32+...+/72

（1）111

n（n+l）nn+\

⑵yjn+\+y[ii

=\ln+\-Vn;

n（n+l）（2n+l）

（4）l3+23+33+...+n3

例仁求1+4+7+…+（3x+l）的值

例2、求％+"+/x"的值

例3、求12+22+32+---+W2的值

2、分组求和法

类型：

数列S｝的通项公式形如an=bn±Cn9而⑹｝是等差数列，｛G｝是等比数列。

例4：

计算丄+3丄+5丄的值b（2”・l）丄

2482"

练习:

已知数列仏｝的通项an=2n-2n^3,求前5项和£练习：

求数列的前n项和Sn：

1,11

1,1+-,1+-+-

224

3＞裂项相消法常见裂项技巧:

1）；

⑶（2/?

-1）（277+1）=2'2n-12n+1

1]]11111

4-71VS）+^x/322/zVh+X«--W*

练习求s”=

丄+丄+丄+…+1的值.

1x33x55x7（2n-l）x⑵？

+1）

4.倒序相加法

特点：

ax+①一］=a2+q一2=他+勺一3=…

例5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin‘88°+sin289%

例6、1、已知f（x）=,

2v+>/2

设s”=/（—）+/（—）+/（—）+•••+/（—）‘求s”nnnn

5、错位相减法

常应用于形如｛6.加｝的数列求和，其中｛如为等差数列,｛bn｝为等比数列.

例7、S“=2+5x2+8x22+…+（3料・1）・2心

练习：

：

=2+5x丄+8x（丄）?

+…+（3”・1）・（丄）

"222

（2）1+—!

—+—!

—+…+!

；

1+21+2+31+2+3+・・・+”（3）4+7x4+10x4'+…+（3〃+l）・4"T

练习：

数列仪」的前九项和为么产1,如产2S〃+1（n>l）

（1）求数列｛"”｝的通项公式"”

（2）等差数列｛仇｝的各项为正数，且方2=5,乂at+blfa2+b2fa3+b3成等比数列，求b”

（3）求数列｛%・"｝的前〃项和7；

数列通项公式方法总结

1、公式法

等差数列的通项公式:

an=6/|+（n_1）〃a”=am+（/?

一m）d

等比数列的通项公式:

aH=5厂

2、累加法

类型：

an+l-an=f（n）（neN）

例1、%=an+2n+bax=1,求州

例2、="“+3"-2,=1,求心

例3、“卄]=an+3W,a｝=1,求①

3、累乘法

类型:

虹=/（,,）（„eA^）

例4、~+|=2"%①=3,求a”

练习：

a｛=1,色+]=an,求色

4、利用S“求心

S]弄=1

fl，，=k-5„_1,H>2

例4：

Sn=3"+1,求〃”

练习：

S”=扣”-1）（"N*）

（4）、数列｛勺｝的前n项和为Sn，且q=l,«,I+1=^Sn,/?

=1,2,3

求偽,偽4的值及数列｛an｝的通项公式.

5、取倒数

Pan

例5、终"求①

例6、已知数列｛呦中，01=1,an+i+3on+ian-an=0/求数列仙｝的通项公式.

6、取对数

类型:

«n+1=A<

例7、％=4：

，“1=2,求a”

7、构造法

主要用于形如an.i=can+d的已知递推关系式求通项公式。

例8>ai=3fan^i=2an+3,求an

练习：

⑴％产扫+*,“1=1,利

（2必+i=6an+9,aj=1,求心

练习：

心，"总^求色

力+1=

勺+1=2an+2，4[=1，求°”"“+1=如+3"二“严1,求〜

（5）、数列｛心｝中舛是它的前畀和，并且满足»+i=如“+2（/1wN»）,d]=1

⑴设化=略厂迥，求证仇｝是等比数列；⑵设c”=扌，求证数列｛c”｝是等差数列.

（6）、己知数列｛勺｝的首项幻=3,通项叫与前“项和片之间满足如=片・》_[（〃22）・求数列｛〜｝的通项公式.

8、特征根法

形如务严皿十砂淇中p,q为常数）型

例9、£+1=5+%一"1=1皿2=2,求〜

例10、Un+1=%一％1，幻=—2=2,求色

方法总结：

若方程有两个根“宀，贝！

K=4斗+血；

若方程只有一个根小，则知=（4+加）瑞

练习、叫+1=加“+&<“-1，“1=1，“2=2，求4”

练习、=%-9勺_1“=1皿2=2,求厲

设p,q为实数，a,0是方程x2-px+q=0的两个实根，数列｛旺｝满足x,=/?

x2=p2-qf

兀=以一1一舛2（72=34，…）•

（1）证明：

a+/3=p,a/3=q；

（2）求数列｛"｝的通项公式；

（3）若p=\,q=-求｛兀｝的前"项和S”・

”若計

［例1］已知数列a｝满足q=1,an=ax+2a2

+3色+・・・+（〃一I）%.】（77>2）,贝lj%=・

an=再+2a=++…+（n—l）q一】（n>2）

勺-i=a\+2ai++…+（n-2）①J5A3）

①一％=（n一1）%（n>3）

-=n（n>3）%

1,/?

Ix2x3x・・・xn

【例2】已知数列｛〜｝、［bn］满足a.=l,色=3,

孕=2gN）bn=alt+［-aljO

（1）求数列W”｝的通项公式；

（2）求数列仏｝的通项公式；

（3）数列｛cn｝满足cn=log2（a“+1）（neyV）>

_p.c111

求S”=++…+。

c©C3C5q«-iqM+1

【解】

（1）・.・如L=2（*NJ,

又勺=a，一q=3-1=2o

所以破列｛仇｝是首项4=2,公比q=2的等比数列。

故仇二侏r、2”。

（2）an+i-an=2'l（neN^

an=（d”-an_｛）+（q,T-®_2）+…+@2一绚）+①1_on

=2心+2心+…+2+1二一=2n-lo

1-2

（3）cn=fog2（an+I）=k）g2（2"-1+1）=log22H=n,

...1_1J1__）

c2m-ic2»+i（2n-l）（2n+l）22/7-12n+l

「111

Sn111

gC3C5

【例10帥数洌帆｝中,4=3,%1-2®=0,数列｛仇｝中,=—（］——+———4—）

「P（/^gS）.2/?

—12/7+1

（L）1亦数列呵丄通硕公式;

（II込求锲列+1札｝逋颐公式以及前”项的和.

【解】

（1）*.*an+l—2an=0=2（n>1）,又q=3,

【例2】已知数列仏｝的前”项和为S”，若①冷且

an+2S„•S”t=0（m>2）・

（I）求证｛丄｝是等差数列，并求出©的表达式；

（II）若bn=2（\-n）an（n>2）,求证b；+Z?

｛+•+/?

；<1.

（I）证明：

VSn=a}+a2+--+an

・••当fi^2时,cin—Sn—Sa-i又a„4-25w5n-i=0

••S“-Sh+2SQt=0（心2）,若Sn=0,则an=0,

「•di=0与di=丄矛盾！

•••£¥0,S—iH0・

_J_+2=oW±-

弋｝是首项为2,公差为2的等差数列

由⑴知数列宙是等差数列・

・•・—=2+02-1）-2=277即》=丄

・••当心2时=Sn-

又当加=1时,S]=G]=—

（II）证明:

]_]I

2/72（“一1）2n（n-1）

]（H=1）

ci=<

“1

S>2）

2〃（〃一1）

由（II）知饥=2（1-町・1

=-（/!

>2）

2/1（1-n）n

••b；+b；1-b~=—7H—+…—-

・3"2232n2

111

<+…+

1x22x3（n-1）/:

门1、JI、/11、

=（1一朮+£-了）+・・+（—7一—）223n-1n

=I——<1

［例2］已知点（1丄）是函数/'（x）=a\a>0,且a工1）的图象上一点.等比数列a｝的前〃项和为e）-c,数列他｝（®>0）的首项为C,且前“项和S”满足S„-S”“=妊+际（心）.

（1）求数列｛勺｝和｛仇｝的通项公式;

⑵若数列｛丄｝的前〃项和为G问满足7；>b扎'

般的最小正整数〃是多少?

【解】

（1）

5=.f（l）-c=§-c,&2

（2）-c]-[y⑴-c]=-->

偽=[/⑶-c]-[/

（2）-c]=-—.

又数列｛〜｝成等比数列，6/,=^-=^=--=l-C，所以C=\；

ci.L33

•••S厂（何-禹7）（何+尺卜阳尺（心）

又•:

Js“_]=1；

数列｛妊｝构成一个首相为1公差为1的等差数列,

=l+（?

7-l）xl=7?

sn=n2

当/?

>2，bn=Sn-5n_,=n1-（7i-1）2=2n-1;

/.bn=2n-l（ne）;

（2）

T=1111

咆丛b&b扎、

1111

而+茹+丽+…+（2h_1）x（2/2+1）

1、

（\V

<11]

\（11）

+一

+・•・1

<3>

<35>

<57）

2V2/7-12/7+1丿

（

•

♦

22/t+l）2/z+1

山丁H1000徂1000

由盜=>得n>,

12/?

+120099

满足7；>型2的最小正整数为112."2009

【变式2】等比数列｛%｝的前〃项和为S”，已知对任意的neN+,

点（n,,均在函数y=bx+r（b>0且bHl,b,r均为常数）的图像上。

（1）求厂的值；

（2）当b=2时，记仇=匕乜（nwAT）,求数列｛$｝的前斤项和7；。

仇

因为对任意的nwM,点（»,为）,均在函数y=bx+r的图像上，

当〃=1时,卩=§=b+厂,

当nX2日寸，陽二S“一S“t=bn+r-旷+r）=bn-b'^=（b-1）“心,

所以a>l=（b-

（2）当^时，仔（Z）宀2=爪筈k罟^需

734

贝|JT=+—H74h]

n222-242,,+|

1-234n/?

—I——+—+—+•••++

2"2324252/,+,2,,+2

I口卄ZH1-21111n+\

相减，得㊁人=尹+尹+尹+歹+・・・+时_刁莎

丄C1\_12,%'2"-"〃+1_31n+\

n+12"+2

——-4————

2]_丄2/,+242

m、if31n+13〃+3

所以人=厂歹一尹=厂尹。

【变式训练】已知数列｛和满足：

S“=l—a“（gN+）,其中S”为数列

｛為｝的前九项和.

（1）试求｛偽｝的通项公式;

（2）若数列｛仇｝满足:

bn=-（n^N+），试求｛仏｝的前斤项和公式几・CLn

解析：

⑴=1-如①

•Si+1=1一a”♦1.②

②一①得=一务$1十禺.・'・。

屮1禺©-NJ.

又当n=1U'hG[=1-=y.

•4

（2）由⑴得bfl=-=n^（n^N+）.Uh

AL?

=1X2+2X22+3X23HnX2\③

A27；z=1X22+2X23+3X24HnX2n+i@

③一④得一Tn=2+22+23H2"—比X2"+i

1-2

【例1]设各项均为正数的数列｛如｝和｛儿｝满足：

给、仇、d曲成等差数列，5、如、仇+1成等比数列,且ai=l,b\=2,Q2=3,求通项巾”bn.

【解】依题意得：

2几+1=如+如2①

"2卄1=Z小②

丁如、九为正数，

由②得6+1=J2Q+],d”+2=J»>”+2，代入①并同除以应；得：

2阳二扬+J石・•・｛庙｝为等差数列.

T"，八仇为正数，

由②得al1+l=J$Q+],%2=血+仇+2，代入①并同除以応得：

2応丁+応,・•・｛城｝为等差数列.

Vb\=2化=3,a｝=blb2^则/?

=-,

•■-庙=d+（"_l）谄-血）=¥（"+1）,.•.仇=（"；»，

••.当心2时，"际=響，

又如二1,当"二1时成立，・°・a=

“2

【例3】已知点几仏九）（/2EN+）都在直线门j=2x+2上P1为直线/与兀轴的交点，数列仏｝成等差数列，公差为1・

（1）求数列仏｝,｛®｝的通项公式；

（2）若加）=W伪鷲f，问是否存在"N+，使得f（k+5）=

[久⑺为偶数）

为仗）一2成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。

（3）求证：

—+—+・・・+—<|-（F&2/WN+）

昭朋P&

（1）—0）

・•・沟二一1,bx=0,^=-1+1=0,・：

巧=2,_片=2,

an=^+（/?

-l）4=-l+n-l=n-2,bn—bx+（n—1）-2=2h—2

（2）若氐为奇数，则f（k）=ak=k-2,f伙+5）=仪+5=2k+8,

•・・2k+8=2k-4一2无解，:

.这样的k不存在;若氐为偶数，

则f（k）=2k-29/仗+5）勻1+3,+3=4氐一4一2，q=3k,班=3（舍去）无解.

⑶PR=（n-2+l,2n-2）=（Z?

-1,2/2-2）

...軒可=0—1）2+40—1）2=5（71—1）2

=5卜”^1?

<5（1+1）=>（

12+1x2+2x3+…+（—2）（—1）

・・・〃三2,〃一1三1）

【例2】已知数列｛砒的前〃项和鯨=2〃2+2儿数列｛Q的前”项和爲=2—九

⑴求数列“/与您｝的通项公式；

⑵设C尸a：

b护证明：

当且仅当心3时，◎+产

⑴解归=比=丄

对于畀N2,有殘=£—$滋_丄=2"（〃+1）—2（”一1）〃=4仏综上他｝的通项公式碍=也

将tt—L代入心=2—妇,得。

1=2—如，故巧=S=JL

（求0』法_对于“M2,

（求珞）法二对于"M2,

由几=2—珞得几=2—（几一

27L=2+7^-i?

Tn—2=亍（匚-丄一2）°心2）,

爲_2=2丄一刃（珀_2）=_2丄—笃

点=2—2一，心=爲一爲_]=（2—2一）一（2—2一）=2—.综上，｛财的通项公式妇=2丄-巴

（2）证明法一由◎=/叮仇="21厲

当且仅当"33时，

即爲+产

法二由爲=“/・劣=泪2一巴得

&十厂爲=24p[（*+jL）2—2用]=24—件一（"一1）2+2].

当且仅当心3时，Q+丄一d<0,

且°3+2是@r耳的等聾中项・

⑴求数列他｝的通项公式；

（2）若加=“log扌如久=方1+心b”对任意正整数

Hy5„+（11!

<0恒成立y

试求加

的取值范围.

解

（1）设等比数列｛幅的首项为血，公比为@・依题意，有2（巾3十2）="2十"4

代入“2+“3+心=28,得血=8.

.丄_巾.归攻+心『=20，

•—2（）,••I

1血=32.

1"3="1犷=&

解得

又闯单调递增’彳拄

（2）九=2叫log討=一.公,

.-ya=lx2+2X22+3X2$+…+〃x2笃①.\-2x$；=1X22+2X23+3X24+.^+（h—l）X2«+//X2ff+1,②①一②，得3；=2+2?

+23+…+2花一“X2卄丄

\）_"X2n+l=2n^L—nX2""—2.

由S；+（〃+加）心“<0,

得+//X2n+1+mX2w+1<0对任意正整数

H恒成立，

52讣2—2小，即加吉_1对任意正整数n恒成立.

1>—1,:

小£一1,

即加的取值范围是（一8,-1],

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