小波图像去噪.docx
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小波图像去噪
小波分析及应用
一．小波分析在今后可能课题应用综合情况
小波在数字图像处理这个相对新的学科里表现了强大的生命力，谈到小波应用，我们可以谈到一个天才般的创造，我们称之为多尺度分析，从这个角度来出发，小波理论就可以完全建立。
我今后的课题着重放在数字图像处理和视频处理上面。
基于小波在图像处理方面的应用呢，主要的价值在二维的图像处理上，也就是二维小波。
有基于小波域上的图像的噪声的去除，快速的目标检索，小波域图像反卷积，以及图像的放大技术，现在又叫小波域图像的超分辨率技术。
还包括小波域图像压缩和后处理。
小波域图像的融合和图像的拼接。
二．小波图像消噪的基本原理
小波能够消噪主要得益于小波变换具有低觞性、多分辨率特性、去相关性、基函数选择灵活。
常用的图像消噪方法是小波阈值消噪方法，它是一种实现简单而效果较好的消噪方法。
小波阈值消噪方法处理阈值的选取，另一个关键因素是阈值的具体估计。
如果阈值太小消噪后的图像仍然存在噪声；相反如果阈值太大，重要的图像特征又将呗滤掉，引起偏差。
所以要选取合适的阈值很重要。
图像信号的小波消噪步骤有三步：
步骤1:
二维图像信号的小波分解。
在这一步，应选择适当的小波和恰当的分解层次（记为N），然后对待分析的二维图像信号X进行N层分解计算。
步骤2：
对分解后的高频系数进行阈值量化。
对于分解的每一层，选择一个恰当的阈值，并对该层高频系数进行软阈值量化处理。
再次，阈值选择规则同前面的信号处理部分。
步骤3：
二维小波的重构图像信号。
同样的，根据小波分解后的第N层近似（低频系数）和经过阈值量化处理后的各层细节（高频系数），来计算二维信号的小波重构。
1、二维图像小波变换的分解与重构
本文的主要研究对象是图像，因此使用的小波变换是二维形式的。
构造二维小波的方法一般有两种：
一种是张量积方法，它是一维小波变换的推广，它是对二维图像的每一维进行一维小波变换。
另一种方法是多小波方法，它是一种各向异性的二维小波变换。
本文采用的小波变换主要是张量积小波变换。
在图像处理中，图像是一个能量有限的二维函数f（x,y）∈L2（R2），可方便的将一维小波变换的概念推广到二维空间L2（R2），这样就可以对图像进行小波变换了。
定义函数的子空间
，则向量空间的分解可以概括为：
定义尺度函数变为：
令
分别为
和
的正交基，此时，矢量空间分解成三个正交矢量子空间
，它们分别对应二维平面的三个方向：
水平、垂直和45度方向。
三个方向的二维小波函数为：
那么，图像f（x,y）的二维小波分解为：
因而，图像的f（x,y）的J级二维小波变换可以用一系列的子图像来表示：
其中
表示尺度
的近似部分，
、
、
分别表示了水平，垂直和对角三个方向上的高频子图像，每一次分解均使得图像的分辨率变为原信号的1/2。
相应的，重构算法也可以推倒出来：
其分解和合成的结构图如图1-1和图1-2，其中，H和G分别为一维的低通滤波器和高通滤波器，
为原始图像，
为低一级分辨率的低频轮廓信息，
为垂直方向的高频细节信息，
为水平方向的高频细节信息，
为对角线方向的高频细节信息。
图1-1二维小波分解算法
图1-2二维小波重构图
图1-3图像的小波二层多分辨分解结构图
经过二维小波变换，可以将原图像逐级分离，分离成具有不同尺度的子图像（见图1-3）。
原图经小波变换后生成四个分量部分：
低频分量LL，保留了原图的大部分信息；高频分量LH、HL、HH，均包含了边缘、区域轮廓等细节信息。
（1）分量HH是由两个方向利用高通小波滤波器卷积后产生的小波系数，它表示图像的对角边缘特性。
（2）分量HL是在行方向利用低通小波滤波器卷积后，再用高通小波滤波器在列方向卷积后产生的小波系数，它表示图像的水平方向的奇异特性。
（3）分量LH是在行方向利用高通小波滤波器卷积后，再在列方向用低通小波滤波器卷积后产生的小波系数，它表示图像的垂直方向的奇异特性。
（4）分量LL是由两个方向利用低通小波滤波器卷积后产生的小波系数，它表示图像的近似表示。
2、应用MATLAB小波工具箱进行图像去噪的相关命令：
（1）、wavedec2函数：
【语法格式】[C,L]=wavedec2（X,N,’wname’）;
【使用说明】wavedec2是多尺度二维小波分解函数，使用给定的小波‘wname’返回矩阵X尺度为N时的小波分解。
输出是分解向量C和相应的记录矩阵S,N必须是严格的正整数。
（2）、Wrcoef2函数：
【语法格式】①.X=Wrcoef2（’type’,C,S,’wname’,N）;
②.X=Wrcoef2（’type’,C,S,Lo-R,Hi-R,N）;
③.X=Wrcoef2（’type’,C,S,’wname’）;
④.X=Wrcoef2（’type’,C,S,Lo-R,Hi-R）;
【实用说明】Wrcoef2对二维小波进行单支重构，是二维小波分析函数，用来重构衣服图像的系数。
格式①机遇小波分解结构，计算尺度为N时的重构洗漱矩阵。
‘wname’是包含小波名的字符串。
如果‘type’=‘a’，则重构低频系数：
‘type’=‘h’、‘v’‘d’时，分别重构高频的水平、垂直和对角系数。
N必须是整数。
如果‘type’=‘a’，0≤N≤size（S,l）-2.如果‘type’=‘h’，‘v’或者‘d’，0≤N≤size（S,l）-2.
（3）waverec2函数：
【语法格式】①X=waverec2（C,S，’wname’）；
②X=waverec2（C,S，Lo-R,Hi-R）；
【使用说明】waverec2多尺度二维小波重构。
可以认为它是wavedec2的逆函数，格式①机遇小波分解结果[C,S]对矩阵X进行多尺度小波重构。
‘wname’是包含小波名的字符串。
（4）wthcoef2函数：
【语法格式】NC=wthcoef2（‘type’c,l,n,p,‘s’）;
【使用说明】wthcoef2对高频小波洗漱进行阈值处理函数。
根据‘type’不同，分别对水平、垂直和对角洗漱进行处理。
n为尺度向量，p为阈值向量。
（详细说明可以参考MATLABHELP）。
3.MATLAB小波去噪程序；
clearall
closeall
clc
%装载原始图像信号，根据情况也可以使用伪彩色（如jet,cool），查看colormap函数的帮助。
map=gray（256）;
%输入图像可以使用灰度图像。
彩色图像使用rgb2hsv命令转换转换后的v通道是灰度的
X=imread（'lena.bmp'）;
%新建窗口
subplot（2,2,1）;
%显示图像
image（X）;
%定义一些map的值有'jet'（默认）,'hsv','hot','cool','spring','gray'等，可以看colormap的帮助。
title（'原始图像'）
colormap（map）;
%生成含噪图像
%初始值
init=2055615866;
%初始化rand函数内部信息
rand（'seed',init）;
%强制转化为double格式。
注意和im2double的区别。
X=double（X）;
%添加均值为0，方差为12^2的正态分布噪声。
XX=X+12*randn（size（X））;
XXshow=uint8（XX）;
subplot（2,2,2）;
image（XXshow）;
colormap（map）;
title（'含噪图像'）;
%对图像消噪
%首先用sym5小波函数对图像进行2层分解
[c,l]=wavedec2（XX,2,'sym5'）;
%图像第一层重构
a1=wrcoef2（'a',c,l,'sym5',1）;
%图像第二层重构
a2=wrcoef2（'a',c,l,'sym5',2）;
%图象消噪处理结果现实
subplot（2,2,3）;
image（a1）;
colormap（map）;
title（'第一层重构图像'）;
subplot（2,2,4）;
image（a2）;
colormap（map）;
title（'第二层重构图像'）;
图2-1小波去噪结果图
运行结果分析：
第一次消噪滤去了大部分高频噪声，但与原图比较，依然有不少高频噪声，第二次消噪在第一次消噪基础上，再次滤去高频噪声，消噪效果较好，但图像质量比原图稍差。
4、阈值处理方法的选取
常用的阈值处理方法有：
硬阈值（HardShrinkage）、软阈值（SoftShrinkage）、几乎硬阈值法（AlmostHardShrinkage）、半软阈值等。
硬阈值将大于阈值的系数全部认为图像系数，予以保留；而小于阈值λ的全为噪声系数，予以去除。
在MATLAB的小波工具箱中，设置软或硬阈值的函数为wthresh.m。
本例中用wthcoef2函数对高频小波洗漱进行阈值处理。
尺度向量为n，阈值向量为p。
（1）通过阈值的选取，MATLAB小波去噪程序；
clearall
closeall
clc
map=gray（256）;
F=imread（'lena.bmp'）;
subplot（2,2,1）;
image（F）;
colormap（map）;
title（'原始图像'）;
%生成含噪声图像
init=2055615886;
randn（'seed',init）;
F=double（F）;
FF=F+8*randn（size（F））;
subplot（2,2,2）;
image（FF）;
colormap（map）;
title（'含噪图像'）;
%用小波函数coif2对图像进行2层分解
[c,l]=wavedec2（FF,2,'coif2'）;
%设置尺度向量
n=[1,2];
%设置阈值向量
p=[10.28,24.08];
%对高频小波系数进行阈值处理
nc=wthcoef2（'d',c,l,n,p,'s'）;
%nc=wthcoef2（'h',c,l,n,p,'s'）;
%nc=wthcoef2（'v',c,l,n,p,'s'）;
%图像二维小波重构
F1=waverec2（nc,l,'coif2'）;
subplot（2,2,3）;
image（F1）;
colormap（map）;
title（'第一次消噪后的图像'）;
%再次对高频小波洗漱进行阈值处理
mc=wthcoef2（'v',nc,l,n,p,'s'）;
%nc=wthcoef2（'d',c,l,n,p,'s'）;
%nc=wthcoef2（'h',c,l,n,p,'s'）;
%图像的二维小波重构
F2=waverec2（mc,l,'coif2'）;
subplot（2,2,4）;
image（F2）;
colormap（map）;
title（'第二次消噪后的图像'）;
图2-2小波阈值去噪结果
运行结果分析：
利用不同的阈值对含噪图像消噪的结果如图2-2所示。
对高频系数进行阈值量化，对于从一到N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行软阈值化处理，第一次消灾率去了大部分高频噪声，但是与原图比较，依然有不少高频噪声。
第二次消噪在第一次消噪的基础上，再次滤去高频噪声，消噪效果较好与上个MATLAB消噪程序最后的图2-1相比，图像更加清晰。
。
三.小波变换概况以及对小波这门课的认识
小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。
通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间——尺度分析和多分辨分析的一种新技术，他具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可变，时间窗和频率窗都可变的时频局部化分析方法。
即再低频部分具有较高的频率分辨率和时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。
它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。
数字信号处理有许多需要我们用计算机去算。
把一个连续函数吧离散值完全对应，这里面假如我们建立一一对应，这又有点矛盾，因为连续的东西比离散的多的多。
所以给定一个连续信号让我们建立离散的式子，这就叫信号的采样。
小波理论的真正价值就是把经典的带宽有限和能量有限二者必须都满足的这种经典的采样理论，扩展到了吧带宽有限去掉了。
它可以做到只对能量有限的信号进行采样。
建立的连续信号和离散序列的一一对应关系。
四.作业总结
这次通过用MATLAB编程对含噪图像进行消噪处理，在编程过程总，我知道了实用colormap函数画图时，必须对map函数预先定义，map的值有'jet'（默认）,'hsv','hot','cool','spring','gray'等，具体可以看colormap的帮助。
目标图片必须实用灰度的LENA图片，因为实用的小波变换是二维的。
再对图片加噪的时候必须先强制转化为double格式，这里要注意和im2double的区别。
我上面做了两个图像的去噪实验，对比这两个去噪实验的最后图片结果，会发现使用阈值消噪的方法图片的效果要比但用sym5小波函数对图像2层分解再重构的图像要清晰。
这里最关键的是阈值的选取问题，这个问题还有待于我今后仔细研究。
五.参考资料
1．《MATLAB小波分析与工程应用》张德丰编著；国防工业出版社。
2008年2月
2.《数字图像处理（MATLAB版）》RichardE.Woods,StevenL.Eddins著；阮秋琦等译，电子工业出版社（2009）
3．《基于MATLAB的系统分析与设计——小波分析》胡昌华张军波编著；西安电子科技大学出版社（2000）
4．《信号处理的小波引导》（法）stephaneMallat著；杨力华戴道清等译；机械工业出版社
5.《小波变换与图像处理》倪林编著；中国科学技术大学出版社；2010.06
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