242《圆和圆的位置关系》闯关磨练人教新课标九年级上doc.docx

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242《圆和圆的位置关系》闯关磨练人教新课标九年级上doc

【闯关磨练】

〖基础训练〗

1．已知⊙A和⊙B的半径分别为3cm和5cm，⊙A和⊙B的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（）

A．外离.B．相交．C．内切.D．内含.

【考点扫描】考查圆和圆的位置关系的判定.

【分析点评】本题首先要明确如何利用圆心距与两圆半径之间的大小关系，来判定圆和圆的五种位置关系．在解答这类题时，只要计算两圆的半径之和，半径之差，再与圆心距比较大小即可．

【参考答案】B．

2．若两圆内含，且圆心距等于3，则有可能为两圆半径的一组是（）

A.1和2．B．2和5．C．5和9．D．9和11．

【考点扫描】考查圆和圆中两圆内含的判定．

【分析点评】本题要明确圆和圆的五种位置关系中，两圆内含时圆心距与

两圆半径之间的关系，圆心距d＜R－r．

【参考答案】C．

3．若半径分别为2和3的两个圆有两个交点，则圆心距d的取值范围是____.

【考点扫描】考查两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的关系．

【分析点评】本题首先要明确两圆有两个交点，则两圆相交，两圆相交时圆心距与两圆半径之间的关系为R－r＜d＜R＋r．

【参考答案】1＜d＜5．

4．两圆内切时圆心距为1cm，若一圆的半径为4cm，则另一圆的半径是____.

【考点扫描】考查两圆内切时，圆心距与两圆半径之间的关系．

【分析点评】两圆内切时圆心距与两圆半径之间的关系为d＝R－r，同时还要考虑4是R还是r，故本题有两解.

【参考答案】5cm或3cm.

5．已知两圆相交，其圆心距为6，有一个圆半径为8，则另一个圆的半径r的取值范围是_____.

【考点扫描】考查两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的关系以及分类的思想．

【分析点评】本题首先要明确两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的关系为

R－r＜d＜R＋r，同时还要考虑8是R还是r，

故本题需分情况讨论．

【参考答案】2＜r＜14．

6．两圆的直径分别为3+r和3－r，若它们的圆心距为r，则两圆的

位置关系为_____.

【考点扫描】考查圆和圆的位置关系的判定.

【分析点评】题目中给出的条件是两圆的直径，则两圆的半径分别

为

、

，两圆半径之差为r，圆心距也为r，

故两圆内切．

【参考答案】内切．

7．若⊙A的圆心坐标为（2，0），半径为1，⊙B的圆心坐标为（－1，0），半径为3，则这两圆的位置关系是_____．

【考点扫描】考查圆和圆的位置关系与直角坐标系的综合应用.

【分析点评】本题首先计算出圆心距AB，然后确定AB与两圆半径的和、差之间的大小关系,由已知AB=3，R+r=4，R－r＝2，可得出两圆相交．

【参考答案】相交．

8．已知半径分别为3cm、4cm的⊙A和⊙B两圆外切，那么半径为6cm且与这两个圆都相切的圆有_____个．

【考点扫描】考查两圆相切时，圆心距与两圆半径之间的关系，以及分类讨论的数学思想．

【分析点评】两圆相切包括内切和外切，故解题时要分类讨论．如图，与⊙A、⊙B均外切的有⊙E和⊙F，与⊙A内切且与⊙B外切的有⊙D，与⊙A外切且与⊙B内切的有⊙C，故共有4个．

【参考答案】4．

9．三角形三边长分别为4cm、5cm、6cm，以各顶点为圆心的三个圆两两外切，则各圆的半径分别为______cm.

【考点扫描】考查两圆外切，圆心距与两圆半径之间的关系，以及方程思想的运用．

【分析点评】本题要明确两圆外切时，圆心距与两圆半径之间的关系是圆心距d=R+r，若设三个圆的半径分别是xcm、ycm、zcm，由题意得

　解之得，

【参考答案】1.5cm、2.5cm、3.5cm．

10．已知两圆的半径分别为R和r（R＞r）,圆心距为d,关于x的方程

有两个相等的实数根，则两圆的位置关系为______.

【考点扫描】考查圆和圆的位置关系与一元二次方程根的判别式的综合应用．

【分析点评】一元二次方程有两个相等的实数根，则△=0，R－d=±r,

即R+r=d或R－r=d．

【参考答案】相切（外切或内切）．

〖能力提升〗

1．若半径为3cm和2cm的两圆相离，那么圆心距d（单位：

cm）的取值范围是（）

A．d＞5．B．d＜1．C．d＞5或d＜1．D．1＜d＜5．

【考点扫描】考查两圆相离，圆心距与两圆半径之间的关系.

【分析点评】本题要明确两圆相离有两种情况，即外离和内含，

故d＜R-r或d＞R+r.

【参考答案】C．

2．已知⊙A和⊙B内切，它们的半径分别为3和1，过A作⊙B的切线，切点为C,则AC=______.

【考点扫描】考查两圆内切时，圆心距与两圆半径之间的关系与勾股定理的综合应用．

【分析点评】本题首先要明确AB＝3－1＝2，利用切线的性质和勾股定理求得

AC＝

．

【参考答案】

解：

因为C是切点，故连接BC、AB．在Rt△ABC中，AC=

．

3．已知⊙A和⊙B内切，⊙A半径为ｒ1=3cm，圆心距AB=1cm，则⊙B的半径r2为________cm.

【考点扫描】本题主要考查了内切时，圆心距与两圆半径之间的关系以及

分类讨论思想．

【分析点评】本题要考虑两圆半径大小关系时，不仅要考虑⊙A的半径比⊙B的半径小的情况，还要考虑⊙A的半径比⊙B的半径大的情况．

【参考答案】2cm或4cm

4．两圆半径之比为5∶3，外切时两圆圆心距是32cm，那么两个圆内切时圆心

距为_______cm.

【考点扫描】考查两圆相切时，圆心距与两圆半径之间的关系．

【分析点评】由题意，已知两圆的半径之比，因此本题可采用参数法，设两圆半径分别为5k、3k,则5k+3k=32，　　　

k=4，故两圆的半径分别为20和12．因此，两圆

内切时圆心距为两圆半径之差．

【参考答案】8．

5．两个等圆⊙A和⊙B外切，过A点作⊙B的两条切线AC、AD，切点分别为

C、D，若AD＝2

，则BD＝_______．

【考点扫描】考查两圆外切，圆心距与两圆半径之间的关系，以及切线的性质．

【分析点评】本题首先要明确两圆外切时圆心距与两圆半径之间的关系为

d＝R+r，由于两圆为等圆，则AB=2BD,再利用勾股定理构造方程求解.

【参考答案】2．

6．⊙A和⊙B相交于C、D两点，⊙A的半径为10，⊙B半径为17，两圆的公

共弦长16，则两圆的圆心距为__________.

【考点扫描】考查两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的关系以及分类讨论的思想．

【分析点评】本题首先要明确两圆相交,连心线垂直平分公共弦．同时本题要注意两圆相交，两圆圆心的位置可能在公共弦的同侧，也可能在异侧．

①当两圆圆心的位置在公共弦的异侧时如图1：

连接AB、CD相交于点E，连接AC、BC．

根据题意得AB垂直平分CD，所以CE＝8．

在Rt△AEC中，AE＝

同理可求BE＝15，所以AB＝15＋6＝21．

②当两圆圆心的位置在公共弦的同侧时如图2：

连接BA并延长交CD于点E，连接AC、BC．

同理可求BE＝15，AE＝6，所以AB＝15－6＝9．

以两圆圆心距为21或9．

【参考答案】21或9．

7．如图⊙M和⊙N相交于C、D两点，直线AB经过圆心交两圆于E、F两点．若∠ACB＝40°，则∠EDF＝_____.

【考点扫描】考查圆周角定理和化归的思想．

【分析点评】在两圆相交问题中，连接公共弦是常作的辅助线，在本题中连接CD，则∠EFD=∠ACD，∠FED=∠BCD．利用三角形的内角和定理求解．

【参考答案】140°.

8．⊙A和⊙B的半径分别为R和r,圆心距AB=5，R=3．当0＜r＜2时，⊙A和⊙B的位置关系为________.

【考点扫描】本题主要考查了圆和圆的位置关系的判定．

【分析点评】本题首先要明确圆和圆的五种位置关系中圆心距与两圆半径

之间的关系，由题意AB=5，R=3，0＜r＜2,则AB>3+r可以

判断两圆外离．本题也可以采用特殊值代入法．

【参考答案】外离．

9．⊙A和⊙B的半径分别为R和r，且R2＋r2－4R－2r＋5＝0，两圆的圆心距

d＝1，则⊙A和⊙B的位置关系为　________.

【考点扫描】考查圆和圆的位置关系与配方法的综合应用．

【分析点评】由方程R2＋r2－4R－2r＋5＝0得（R－2）2+（r－1）2=0，

则R＝2，r＝1，所以d＝R－r．

【参考答案】内切．

10．已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1，则下列命题参考的有_________.

（1）若O1O2＝1，则⊙O1和⊙O2有两个公共点.

（2）若O1O2＝2，则两圆外切．

（3）若O1O2≤3，则⊙O1和⊙O2必有公共点.

（4）若O1O2＞1，则两圆不会相切．

【考点扫描】考查圆和圆的位置关系的判定.

【分析点评】本题要明确圆和圆的五种位置关系中圆心距与两圆半径之间的

关系．设两圆半径分别为R和r,圆心距为d,由题意得，R+r=2

R－r=0故

（1）、

（2）参考.而（3）中d≤3不能确定d与R+r

和R－r大小，例如当d=0时，两圆重合必有公共点，当d=3时两圆外离，无公共点.（4）中当d=2时两圆外切.

【参考答案】

（1）、

（2）.

11．⊙A和⊙B外切，又同时与⊙O内切，若△OAB的周长为20cm,则⊙O的

半径为__________.

【考点扫描】考查两圆外切、内切时，圆心距与两圆半径之间

的关系以及方程思想的综合应用．

【分析点评】本题首先要明确两圆外切时圆心距与两圆半径之间的关系为

d＝R+r，内切时d＝R－r.设⊙A、⊙B、⊙O的半径分别为

x、y、z，则由题意得，z－x+z－y+x+y=20,2z=20，z=10.

【参考答案】10cm．

12．若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1和⊙O2的半径分别为

和2，

公共弦长为2，∠O1AO2的度数为_________.

【考点扫描】本题主要考查了两圆相交，圆心距与两圆半径之间的关系以及分类讨论的思想．

【分析点评】本题要明确两圆相交,连心线垂直平分公共弦．同时本题要注意两圆相交，两圆圆心的位置可能在公共弦的同侧，也可能在异侧,更具体地体现了数学分类讨论思想．

①当两圆圆心的位置在公共弦的异侧时如图1：

连接AB、O1O2相交于点E，连接AO1、AO2．

根据题意得O1O2垂直平分AB，所以AE＝1．

在Rt△AEO1中，O1E=

∴∠O1AE＝45°．

在Rt△AEO2中，AE=1，AO2＝2，∴∠AO2E＝30°，

则∠O2AE＝60°，∴∠O1AO2＝60°＋45°＝105°

②当两圆圆心的位置在公共弦的同侧时如图2：

连接O2O1并延长交AB于点E，连接AO1、AO2．

同理可求∠O1AE＝45°，∠O2AE＝60°．

∴∠O1AO2＝60°－45°＝15°．

∴∠O1AO2的度数为105°或15°．

【参考答案】105°或15°．

〖拓展延伸〗

1．两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、B之间的距离为_________.

【考点扫描】考查两圆外切时圆心距与两圆半径之间的关系与切线性质的

综合应用．

【分析点评】本题首先要明确两圆外切时d＝R+r，连接CD、AC、BD，

得直角梯形ABDC，再将直角梯形转化为矩形和直角三角形．

过点C作CE⊥BD，垂足为E，则四边形ABEC是矩形．

在Rt△CDE中，CD＝4＋1＝5，DE＝4-1＝3，

则CE＝

＝4,从而AB＝CE＝4.

【参考答案】4．

2．⊙E和半圆F内切于点C，与半圆的直径AB切于点D．若AB=6，⊙E的半径为1，则∠ABC=__________.

【考点扫描】考查两圆外切时圆心距与两圆半径之间的关系、两圆相切的性质等知识的综合应用．

【分析点评】本题首先要明确直线和圆相切时常用的辅助线是连接圆心与切点，构造直角三角形．同时要熟记两圆相切连心线必定经过切点这一重要性质．连接FC、ED，则E、F、C三点共线．EF=3-1=2．在Rt△EFD中，利用EF=2DE,

求得∠EFD=30°,利用三角形的内角和定理计算∠ABC的度数．

【参考答案】∠ABC=75°．

3．施工工地的水平地面上有三根外径都是1的水泥管两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离为__________.

【考点扫描】考查两圆外切，圆心距与两圆半径之间的关系以及等

边三角形的性质的综合应用．

【分析点评】本题首先要明确三个圆的直径均为1，且两两外切，所以△ABC为等边三角形．本题的实质是求点D到直线的距离，即DF的长度．因此，两圆相切连心线必过切点以及勾股定理是解决本题的关键．

【参考答案】解：

如图，设⊙C与⊙B切于点E，连接BC，则BC过点E，连接AB、AC、AE，延长AE交直线于F，延长EA交⊙A于点D．

在Rt△ABE中，AE＝

，

∴DF＝1＋

．∴其最高点到地面的距离为1＋

．

4．今有一圆形硬币，在这硬币的周围排列几枚同样大小的硬币，使所有的硬币都与这枚硬币相切，并彼此外切，则需硬币多少枚？

【考点扫描】考查相切两圆的定义及性质．

【分析点评】本题的关键是在这硬币的周围排列几枚同样大小的硬币，这就意味着这些都是等圆，且相邻的硬币外切．因此，外周每两

个圆的圆心与这个圆的圆心构成等边三角形，其圆心角等于

60°，相当于把圆六等分．

【参考答案】需要硬币6枚．

5．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面图如图所示（其中A、B是圆心）分隔成两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线．

求∠TPN的大小．

【考点扫描】考查两等圆相交的性质与等边三角形的性质的

综合应用．

【分析点评】如果两个等圆相交，圆心距等于半径的长，则两个圆心与任何一个交点组成的三角形都是等边三角形．本题以实际背景抽象成一道数学问题，具有很强的趣味性．

【参考答案】解：

连接AB、PA、PB．

∵PA=PB=AB，

∴△PAB是等边三角形．

∴∠APB=60°，

∵TP与NP分别为两圆的切线，

∴∠TPA=∠NPB=90°．

∴∠TPN=360°－2×90°－60°＝120°．

6．在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，设大圆与小圆的半径分别为a、b．求证：

AD·BD=a2－b2．

【考点扫描】考查两圆内含时、垂径定理、勾股定理的综合应用．

【分析点评】本题在证明过程中主要运用垂径定理和勾股定理，而因式分解

的应用起着重要的作用．在证明过程中，利用平方差把两条线段平方差转化为它们的和与差的乘积，使之更接近于常规图形，便于证明．

【参考答案】

证明：

作OE⊥AB，垂足为E．连接OA、OC，则OA＝a，OC＝b．

　　在直角三角形AOE中，AE2＝OA2－OE2，

在直角三角形COE中，CE2＝OC2－OE2．

所以AE2－CE2＝a2－b2，即（AE＋CE）（AE－CE）＝a2－b2．

由垂径定理可得，AE＝BE，CE＝DE，

又AE＋CE＝AD，AE－CE＝BD，

所以AD·BD＝a2－b2．

【数学花苑】

〖聪明屋〗

1．如图，已知⊙E和⊙F外切于点P，直线AB分别与⊙E和⊙F相切于点A、B，求证：

（1）AP⊥BP．

（2）若⊙E不动，当⊙F向⊙E移动成相交位置时，设EF交⊙E于M，交

⊙F于N，AB仍分别与⊙E和⊙F相切于A、B点，连AM、BN．试问AM与BN的位置关系怎样？

并证明你的结论．

（3）若⊙E不动，当⊙F沿EF的延长线的方向移动成相离位置时，设EF交⊙E于M，交⊙F于N，AB仍分别与⊙E和⊙F相切于A、B点，连AM、BN，试问AM与BN的位置关系怎样？

并证明你的结论．

扫描：

本题是切线的性质与相交两圆性质的综合应用．

（1）证明：

连接EA、FB．（如图）则EA⊥AB，

FB⊥AB．∴EA∥FB，∴∠E＋∠F＝180°．

又∵EA=EP，∴∠EAP＝∠EPA＝

（180°－∠E）．

∵FB=FP，∴∠FBP＝

（180°－∠F）．

∴∠EPA＋∠FPB＝180°－

（∠E＋∠F）=90°．

∵∠EPF＝180°，

∴∠APB＝90°，∴AP⊥BP．

（2）答：

AM⊥BN，证明方法同

（1）．

（3）答：

AM⊥BN，证明方法同

（1）．

【数学史话】

江总书记与一道几何题

一道由江泽民主席出的特殊的数学试题，引起湖北社会各界人士浓厚的兴趣．自《武汉晚报》去年刊登此题并向读者征求答案后，截至4月4日，编辑部共收到有效答卷216份，答题人既有正在刻苦攻读的中学生，也有风华正茂的中青年教师，还有离退休老工人、老干部、老专家等．其中年龄最大的69岁，最小的只有13岁． 

据报道，2000年12月20日，江泽民主席出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的平面几何题：

“假设：

任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点．求证：

这五点共圆．”

江主席说：

“我也当过中学教师，所以我对教师感到特别亲切．中学教学，要教好语文、历史、地理，数学也应该重视，我把这道题出给濠江中学，是要说明：

一个人总要有钻研精神．”

据说，数学大师丘成桐也用了半小时才悟出此难题答案．2000年12月28日，澳门濠江中学师生给江主席寄出了答案．两天后，江主席请澳门特区行政长官何厚铧转交了给濠江中学师生的回信．　　

江主席出的这道平面几何题用规范的数学语言表述是这样的：

在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L．求证：

K、O、N、M、L五点共圆（见附图）．你会做这道题吗？

【生活数学】

1.如图，是2004年5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初亏到食既的月全食过程.

（1）

（2）（3）（4）

用数学的眼光看图

（1），可以认为是地球、月球投影（两个圆）的位置关系发生了从相切、相交到内切的变化；2时48分月球投影开始进入地球投影的黑影（图

（2））；接着月球投影沿着直线OP匀速地平行移动进入地球投影的黑影（图（3））；3时52分，这时月球投影全部进入地球投影的黑影（图（4））.设照片中的地球投影如图

（2）中半径为R的大⊙O，月球投影如图

（2）中半径为r的小⊙P，求这段时间内圆心距OP与时间t（分）的函数关系式，写出自变量的取值范围.

【考点扫描】本题考查的是圆和圆的位置关系的定义．

【分析点评】本题实质是从月全食过程中抽象出圆和圆的位置关系，从中归纳

出圆心距OP与时间t的函数关系．

【参考答案】

解：

这段时间从2时48分到3时52分共64分钟，在这段时间内点P运动的路程为2r，如图（5）

（5）

∴点P运动的速度为

，即

，

∴点P在ｔ分钟内运动的速度为

t，

∴OP＝R＋r—

t（0≤t≤64）.