巴特沃斯数字带阻滤波器资料.docx
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巴特沃斯数字带阻滤波器资料
《数字信号处理》课程设计报告
设计课题滤波器设计与实现
专业班级
姓名
学号
报告日期2012年12月
目录
1.课题描述....................................2
2.设计原理.....................................2
2.1滤波器的分类..................................3
2.2数字滤波器的设计指标..........................3
2.3巴特沃斯数字带阻模拟滤波器....................3
2.3.1巴特沃斯数字带阻滤波器的设计原理...................4
2.3.2巴特沃斯数字带阻滤波器的设计步骤...................7
3.设计内容......................................8
3.1用MATLAB编程实现............................10
3.2设计结果分析.................................10
4.总结.......................................10
5.参考文献...................................11
课程设计任务书
题目
滤波器设计与实现
学生姓名
学号
专业班级
设
计
内
容
与
要
求
一、设计内容：
设计巴特沃斯数字带阻滤波器，阻带频率200~500hz，通带上限频率600hz,通带下限频率150hz，通带衰减为0.5dB，阻带最大衰减20dB，采样频率2000hz，画出幅频、相频响应曲线，并设计信号验证滤波器设计的正确性
二、设计要求
1设计报告一律按照规定的格式，使用A4纸，格式、封面统一给出模版。
2报告内容
（1）设计题目及要求
（2）设计原理（包括滤波器工作原理、涉及到的matlab函数的说明）
（3）设计内容（设计思路，设计流程、仿真结果）
（4）设计总结（收获和体会）
（5）参考文献
（6）程序清单
起止时间
2012年12月3日至2011年12月11日
指导教师签名
2011年12月2日
系（教研室）主任签名
年月日
学生签名
年月日
1.课题描述
数字滤波器是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。
数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。
由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。
使用MATLAB信号处理箱和BW（巴特沃斯）设计低通数字滤波器。
2.设计原理
2.1滤波器的分类
数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。
它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。
如果数字滤波器的内部参数不随时间而变化，则称为时不变的，否则为时变的。
如果数字滤波器在某一给定时刻的响应与在此时刻以后的激励无关，则称为因果的，否则为非因果的。
如果数字滤波器对单一或多个激励信号的响应满足线性条件，则称为线性的，否则为非线性的。
应用最广的是线性、时不变数字滤波器。
数字滤波器也可以按所处理信号的维数分为一维、二维或多维数字滤波器。
一维数字滤波器处理的信号为单变量函数序列，例如时间函数的抽样值。
二维或多维数字滤波器处理的信号为两个或多个变量函数序列。
2.2数字带阻滤波器的设计指标
阻带频率200~500hz，通带上限频率600hz,通带下限频率150hz，通带衰减为0.5dB，阻带最大衰减20dB，采样频率2000hz
2.3巴特沃斯数字带阻模拟滤波器
2.3.1巴特沃斯数字带阻滤波器的设计原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha（jΩ）|2用下式表示：
|Ha（jΩ）|=
公式中，N称为滤波器的阶数。
在Ω=0时，|Ha（jΩ）||=1;Ω=Ωc时，|Ha（jΩ）|=1/
， Ωc是3dB截止频率。
在Ω=Ωc附近，随Ω加大，幅度迅速下降。
幅度特性与Ω和N的关，N越大，通带越平坦，过渡带越宽，过渡带与阻带幅度下降的速度越快，总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小。
以S代替jΩ,将幅度平方函数|Ha（jΩ）|2写成s的函数：
Ha（S）Ha（-S）=
复变量S=α+jΩ,此公式表明幅度平方函数有2N个极点，极点Sk用下公式表示：
Sk=
公式中K=0,1,2…… ，2N-1。
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上，间隔是
/Nrad。
为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取S平面左半平面的N个极点构成Ha（S）,而右半平面的N个极点构成Ha（-S）。
Ha（S）的表达式为
Ha（S）=
/
（S-Sk）
设N=3,极点有六个，它们分
S0=
S1=-ΩcS2=
S3=
S4=Ωc S5=
取S平面的左半平面的极点S0,S1,S2组成系统函数Ha（S）,即
Ha（S）=
由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统一将频率归一化。
巴特沃斯滤波器采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的系统函数为
令
=
，λ称为归一化频率，
称为归一化复变量，这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为
公式中，
称为归一化极点，用下公式表示，
k=0,1,…;,N-1
显然，Sk=Ωc*Pk
这样，只要根据技术指标求出阶数N,按照
公式求出N个极点，再按
得到归一化低通原型系统函数Ga（
）,如果给定Ωc，再去归一化，即将
，代入
中，便可得到期望设计的系统函数Ha（S）。
所使用的MATLAB函数：
1.巴特沃斯滤波器阶数选择函数
（1）[N,Ωc]=buttord（Ωp，Ωs，αp，αs，‘s’）
作用：
计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc。
说明：
Ωp，Ωs，Ωc均为实际模拟角频率。
模拟频率f：
每秒经历多少个周期，单位Hz，即1/s，信号的真实频率，可用于模拟信号和数字信号；
模拟角频率Ω：
每秒经历多少弧度，单位rad/s，通常只于模拟信号；
数字频率w：
每个采样点间隔之间的弧度，单位rad，通常只用于数字信号。
关系：
Ω=2pi*f；w=Ω*T=2pi*f/F。
（F=1/Ts为采样频率，Ts为采样间隔）
2.完整巴特沃斯滤波器设计函数
（1）格式：
[b，a]=butter（N，wc，‘ftype’）
作用：
计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量b、a。
说明：
调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值，一般是调用buttord格式
（1）计算N和wc。
系数b、a是按照z-1的升幂排列。
（2）格式：
[B，A]=butter（N，Ωc，‘ftype’，‘s’）
作用：
计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数向量。
说明：
调用参数N和Ωc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率（实际角频率），可调用buttord
（2）格式计算N和Ωc。
系数B、A按s的正降幂排列。
tfype为滤波器的类型：
◇ftype=high时，高通；Ωc只有1个值。
◇ftype=stop时，带阻；Ωc=[Ωcl,Ωcu]，分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。
◇ftype缺省时：
若Ωc只有1个值，则默认为低通；若Ωc有2个值，则默认为带通；其通带频率区间Ωcl<Ω<Ωcu。
3.求离散系统频响特性的函数freqz（）
格式：
[H,w]=freqz（b,a,N）
说明：
b和a分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，返回量H则包含了离散系统频响在0～pi范围内N个频率等分点的值（其中N为正整数），w则包含了范围内N个频率等分点。
调用默认的N时，其值是512。
可以先调用freqz（）函数计算系统的频率响应，然后利用abs（）和angle（）函数及plot（）函数，绘制出系统的频响曲线。
4.模拟域频率变换函数
lp2lp（模拟低通滤波器变换为低通滤波器）
lp2hp（模拟低通滤波器变换为高通滤波器）
lp2bs（模拟低通滤波器变换为带阻滤波器）
lp2bp（模拟低通滤波器变换为带通滤波器）
5.滤波器离散化函数：
bilinear（使用双线性变换法把模拟滤波器转换为数字滤波器）
impinvar（使用脉冲响应不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器）
2.3.2巴特沃斯带阻数字滤波器的设计步骤
（1）确定滤波器的设计指标：
；求出滤波去的阶数N；
（2）运用函数
计算巴特沃斯低通滤波器的阶数N和归一化3db截止频率
；
（3）运用函数
求得低通滤波器的系统函数的分子、分母多项式形式；
（4）设计模拟低通原型滤波器。
用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数Ha（s）;借助巴特沃斯（Butterworth）滤波器；
（5）调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为带阻低通滤波器；
（6）利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha（s）转换成数字带通滤波器H（z）；
（7）作图显示滤波器的幅频特性和相位特性。
3设计内容
3.1用MATLAB编程实现
clearall
fs=2000;T=1/fs;
rp=0.5;rs=20;
wp1=（150/1000）*pi;wp2=（600/1000）*pi;ws1=（200/1000）*pi;ws2=（500/1000）*pi;%数字带阻滤波器的技术指标
wc1=（2/T）*tan（wp1/2）;%频率预畸变
wc2=（2/T）*tan（wp2/2）;wr1=（2/T）*tan（ws1/2）;wr2=（2/T）*tan（ws2/2）;
w0=sqrt（wc1*wc2）;B=wc2-wc1;
wp=1;%归一化通带截止频率
ws=wp*（wr1*B）/（w0^2-wr1^2）;%归一化阻带截止频率
[N,wc]=buttord（wp,ws,rp,rs,'s'）;%求滤波器阶数与3dB截止频率
[Z,P,K]=buttap（N）;
[Bd,Ad]=zp2tf（Z,P,K）;%将零极点形式转化成传输形式
[B,A]=lp2bs（Bd,Ad,w0,B）;%对低通滤波器进行频率转换，转换为带阻滤波器
[b,a]=bilinear（B,A,2000）;%利用双线性变换法，转换成数字滤波器
[H,W]=freqz（b,a）;%数字带阻滤波器的幅频响应
subplot（2,2,1）;
plot（W*fs/（2*pi）,abs（H））;gridon;
xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'幅值'）;
title（'数字滤波器幅频响应'）;
subplot（2,2,2）;
plot（W*fs/（2*pi）,angle（H））;gridon;
xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'相位'）;
t=0:
1:
100;
y=sin（45*t+1/4*pi）+sin（250*t+pi）;
subplot（2,2,3）;
plot（t,y）;gridon;
y1=filter（b,a,y）;
y2=fft（y1）;
subplot（2,2,4）;
plot（t,y2）;gridon;
幅频，相频响应曲线：
信号验证滤波器设计的正确性（附图）
经过滤波后
3.2设计结果分析
设计巴特沃斯带阻数字滤波器时，发现Ω与W成非线性关系，所以在图像呈现出非线性的关系，由于是带阻数字滤波，所以滤掉响应部分后剩余的部分呈现平缓趋势。
4总结
本次课程实验中，让我慢慢了解了程序的编译，对于程序的编译也渐渐地掌握了其中的方法与规律。
通过这次试验让我收获颇大，在实验设计中，要先确定需要的函数，然后根据所给条件对数据进行处理后得到函数Ha（s），在经过程序编译，一步一步最终得到自己所需要的滤波器内容。
5参考文献
《数字信号处理》（第三版）高西全丁美玉编著
《MATLAB辅助现代工程数字信号处理》（第二版）
李益华主编
参考书目
邹理和著：
《数字滤波器》，国防工业出版社，北京，1979。
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