1718学年高二上学期期末调研测试数学理试题附答案.docx
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1718学年高二上学期期末调研测试数学理试题附答案
宣城市２０１７—２０１８学年度第一学期期末调研测试
高二数学试题（理科）
考生注意事项：
１本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分１５０分，考试时间１２０分钟．
２答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．
３考生作答时，请将答案答在答题卷上．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用０．５毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
４考试结束时，务必将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共６０分）
一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分）
１．命题“若ａ＜ｂ，则ａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ”的逆否命题是
Ａ若ａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ，则ａ＞ｂ
Ｂ若ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ，则ａ＞ｂ
Ｃ若ａ＋ｃ≥ｂ＋ｃ，则ａ≥ｂ
Ｄ若ａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ，则ａ≥ｂ
２
２抛物线ｘ＝－８ｙ的准线方程是
Ａｘ＝－４
Ｂｙ＝２
Ｃｘ＝－２
Ｄｙ＝４
３若十进制数２６等于ｋ进制数３２，则ｋ等于
Ａ４
Ｂ５
Ｃ６
Ｄ８
４从甲、乙两个班级中各选出７名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩
（满分１００分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是８５，乙班
学生成绩的中位数是８２，则ｘ＋ｙ的值为
Ａ５
Ｂ６
第４题图
Ｃ７
Ｄ８
０≤ｘ≤２
５．设不等式组表示的平面区域为Ｄ，在区域Ｄ内随机取一个点，则此点到坐标原点
０≤ｙ≤２
的距离大于２的概率是
Ａπ４Ｂπ２－２Ｃπ６Ｄ４－４π
６．从装有２个红球和２个白球的口袋内任取２个球，那么互斥但不对立的两个事件是
至少有个白球，都是白球至少有一个白球，至少有一个红球Ｃ恰有１个白球，恰有２个白球Ｄ至少有一个白球，都是红球
宣城市高二数学（理）试卷第１页（共４页）
７将６００名学生编号为：
００１，００２，……６００，采用系统抽样方法抽取一个容量为６０的样本，且随
机抽得的号码为００３这６００名学生分成甲乙丙三组，从００１到３０２在甲组，从３０３到４９２在
乙组，从４９３到６００在丙组，则甲乙丙三组被抽中的人数依次为
Ａ３０，１８，１２Ｂ３０，１９，１１
Ｃ２９，２０，１１Ｄ２９，１９，１２
８一个书架上放有３本数学书和２本语文书，现从书架上取出一本书不放回，然后再取出一本
书，则取出的两本书是相同学科的概率是
Ａ１２Ｂ１５Ｃ１４Ｄ２５
９如图在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｏ为线段ＢＤ的中点，设点Ｐ
是线段ＣＣ１的中点，记直线ＯＰ与直线Ａ１Ｄ所成的角为α，则ｓｉｎα的值是
Ａ１Ｂ１２
槡２
槡３
Ｃ
２
Ｄ
２
第９题图
１０在下列结论中，正确的是
①“ｐ∧ｑ”为真是“ｐ∨ｑ”为真的充分不必要条件
②“ｐ∧ｑ”为假是“ｐ∨ｑ”为真的充分不必要条件
③“ｐ∨ｑ”为真是“ｐ”为假的必要不充分条件
④“ｐ”为真是“ｐ∧ｑ”为假的必要不充分条件
Ａ①②
Ｂ①③
Ｃ②④
Ｄ③④
２
２
ｘ
ｙ
１１若椭圆
＋
＝１上的任意一点
Ｐ（ｘ，ｙ）使ｘ＋２ｙ＋ｍ≥０恒成立，则实数ｍ的取值范围
４
３
是
Ａ（－∞，－４］
Ｂ［－４，＋∞）
Ｃ（－∞，４］
Ｄ［４，＋∞）
２
２
１２已知斜率为１的直线过双曲线
ｘ
－
ｙ
＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点Ｆ，且与双曲线的两条
２
２
ａ
ｂ
渐近线分别交于Ａ，Ｂ两点，若Ａ是线段ＦＢ的中点，则双曲线的渐近线方程是
１
槡２
Ａｙ＝±３ｘ
Ｂｙ＝±
ｘ
Ｃｙ＝±槡２ｘ
Ｄｙ＝±
ｘ
３
２
宣城市高二数学（理）试卷第２页（共４页）
二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分）
１３已知样本数据：
５，７，１０，１３，１５，则其方差是
９
１４某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则
５
正整数ｎ＝
→
→
１５已知Ａ１（－１，０），Ａ２（１，０），动点Ｐ满足｜ＰＡ１｜＝２｜ＰＡ２｜，
则点Ｐ的轨迹方程是
２
２
２
２
ｘ
ｙ
ｘ
ｙ
１６已知椭圆
＋
＝１和双曲线
－
＝１（ｎ＞ｍ＞０）的
ｍ
ｎ
ｍ
ｎ
离心率分别为槡λ及１，则λ＝槡２λ
三、解答题（本大题共６小题，共７０分）
１７．（本题满分１０分）
３
１
已知ｐ：
２ｘ－
≤
，ｑ：
（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤０
２
２
１
（Ⅰ）若ａ＝
，且ｐ∧ｑ为真，求实数ｘ的取值范围；
２
第１４题图
（Ⅱ）若ｐ是ｑ的充分不必要条件，求实数ａ的取值范围．
１８（本小题满分１２分）
某班同学对［２５，５５］岁的人群随机抽取ｎ人进行关于手机日均使用时间情况的调查，分为“低头族”和“非低头族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数
分组
低头族的人数
占本组的比率
第一组
［２５，３０）
１２０
０．６
第二组
［３０，３５）
１９５
０．６５
第三组
［３５，４０）
１００
０．５
第四组
［４０，４５）
ａ
０．４
第五组
［４５，５０）
３０
０．３
第六组
［５０，５５］
１５
０．３
各年龄段人数频率分布直方图
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求ｎ、ａ的值；
（Ⅱ）从年龄段在［４０，５０）的“低头族”中采用分层抽样法抽取６人参加活动，其中选取２
獉獉獉
人作为领队，求选取的２名领队中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的概率．
宣城市高二数学（理）试卷第３页（共４页）
１９（本小题满分１２分）
某地区２０１３年至２０１７年农村居民家庭人均存款ｙ（单位：
千元）的数据如下表：
年份
２０１３
２０１４
２０１５
２０１６
２０１７
年份代号ｘ
１
２
３
４
５
人均存款ｙ
３
３．８
４．４
４．８
５
（Ⅰ）已知变量ｙ与ｘ满足线性关系，求ｙ关于ｘ的线性回归直线方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程，预测该地区２０１８年农村居民家庭人均存款附：
用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式
ｎ
—
—
∧
∑
（ｘ－ｘ）·（ｙ－ｙ）
ｉ
１
ｂ＝
ｉ＝１
ｎ
—２
∑
ｉ
（ｘ－ｘ）
ｎ
—
—
ｘｙ－ｎｘ·ｙ
∑ｉｉ
∧——
＝
ｉ
，ａ＝ｙ－ｂｘ
ｎ２
—２
∑ｉ
ｘ－ｎｘ
ｉ＝１ｉ
２０（本小题满分１２分）
如图，ＡＢＣＤ是块矩形纸板，其中ＡＢ＝２槡２，ＡＢ＝２ＡＤ，Ｅ为ＤＣ的中点，将它沿ＡＥ折成直二面角Ｄ－ＡＥ－Ｂ
（Ⅰ）求三棱锥Ｄ－ＡＢＥ的体积；
（Ⅱ）求二面角Ｂ－ＡＤ－Ｅ的余弦值
第２０题图
２１（本小题满分１２分）
２
已知点Ａ（１，４），Ｂ（ｘ，ｙ），Ｃ（ｘ，ｙ）在抛物线ｙ＝２ｐｘ上，Ｆ为抛物线的焦点，Ｍ是ＢＣ的
１１２２
→→
中点，且．ＡＦ＝２ＦＭ
（Ⅰ）求抛物线方程及线段ＢＣ中点Ｍ的坐标；
（Ⅱ）求ＢＣ所在直线的方程．
２２（本小题满分１２分）
第２１题图
２
２
如图，已知Ａ（－５，－１）是椭圆
ｘ
＋
ｙ
＝１（ａ＞ｂ＞０）上的一点，且短轴长与焦距相等
２
２
ａ
ｂ
（）
；
Ⅰ求椭圆的标准方程
（Ⅱ）点Ｂ在椭圆上且线段ＡＢ的中点（非原点）在直线ｌ：
１
獉獉獉
ｙ＝
ｘ上设动点Ｐ在椭圆上（异于点Ａ，Ｂ）且直线
２
ＰＡ，ＰＢ分别交直线ｌ于Ｍ，Ｎ两点，求Ｂ点的坐标及的值
２２
ＯＭ·ＯＮ
第
→
→
题图
宣城市高二数学（理）试卷第４页（共４页）
宣城市２０１７—２０１８学年度第一学期期末调研测试
高二数学试题参考答案（理科）
一、选择题（每小题５分，共６０分）
１Ｃ２Ｂ３Ｄ４Ｃ５Ｄ６Ｃ７Ｂ８Ｄ９Ａ１０Ｂ１１Ｄ１２Ａ
二、填空题（每小题５分，共２０分）
６８
２
２
１０
５－槡１７
１３．
１４．５
１５．ｘ＋ｙ－
ｘ＋１＝０
１６．
５
３
４
三、解答题（共７０分）
１７（本题１０分）
解析：
（Ⅰ）∵ｐ∧ｑ为真，∴ｐ真ｑ真
３
１
１
Ｐ真：
由
２ｘ－
≤
解得Ａ＝｛ｘ｜
≤ｘ≤１｝
２
２
２
ｑ真：
由（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤０解得Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋１｝……３分
∵ａ＝
１
∴Ｂ＝｛ｘ｜
１
≤ｘ≤
３
｝
２
２
１
２
∴Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜
≤ｘ≤１｝
２
１
∴实数ｘ的取值范围为：
｛ｘ｜
≤ｘ≤１｝………………………………５分
１
２
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Ａ＝｛ｘ｜
≤ｘ≤１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋１｝
２
∵ｐ是ｑ的充分不必要条件，
∴Ａ是Ｂ的真子集……………………………………………………………６分
ａ＜
１
ａ≤
１
∴
２
或
２
…………………………………………………５分
ａ＋１≥１
ａ＋１＞１
解得０≤ａ≤
１
，
２
１
∴实数ａ的取值范围为：
｛ａ｜０≤ａ≤
｝………………………………１０分
２
１８．（本题１２分）
解析：
（Ⅰ）第二组的频率为１－（０．０４＋０．０４＋０．０３＋０．０２＋０．０１）×５＝０．３，
０．３
所以高为＝０．０６．频率直方图如下：
５
……………………………………………２分
宣城市高二数学（理）试卷答案第１页（共４页）
１２０
２００
第一组的人数为
＝２００，频率为０．０４×５＝０．２，所以ｎ＝
＝１０００．
０．６
０．２
……………………………………………………………………………４分
第四组的频率为０．０３×５＝０．１５，所以第四组的人数为１０００×０．１５＝１５０，所以ａ＝１５０×０．４＝６０．…………………………………………………６分
（Ⅱ）因为［４０，４５）岁年龄段的“低头族”与［４５，５０）岁年龄段的“低头族”人数的比值为３０∶１５＝２∶１，所以采用分层抽样法抽取６人，［４０，４５）岁中有４人，［４５，５０）岁中有２人．
设［４０，４５）岁中的４人为ａ、ｂ、ｃ、ｄ，［４５，５０）岁中的２人为ｍ、ｎ，则选取２人作为
领队的有
（ａ，ｂ）、（ａ，ｃ）、（ａ，ｄ）、（ａ，ｍ）、（ａ，ｎ）、
（ｂ，ｃ）、（ｂ，ｄ）、（ｂ，ｍ）、（ｂ，ｎ）、
（ｃ，ｄ）、（ｃ，ｍ）、（ｃ，ｎ）、
（ｄ，ｍ）、（ｄ，ｎ）、
（ｍ，ｎ），
共１５种；……………………………………………………………………………８分
其中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的有（ａ，ｍ）、（ａ，ｎ）、（ｂ，ｍ）、（ｂ，ｎ）、（ｃ，ｍ）、
（ｃ，ｎ）、（ｄ，ｍ）、（ｄ，ｎ），共８种．……………………………………………………１０分
所以选取的２名领队中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的概率为Ｐ＝
８
．………１２分
１９（本题１２分）
１５
—
—
解析：
（Ⅰ）解ｘ＝３，ｙ＝４．２，…………………………………………………………２分
∧
（３＋７．６＋１３．２＋１９．２＋２５）－５×３×４．２
１
ｂ＝
＝
，………………５分
（１＋４＋９＋１６＋２５）－５×９
２
∧
１
ａ＝４．２－
×３＝２．７……………………………………………………７分
２
∧
１
则ｙ＝
ｘ＋２．７……………………………………………………………８分
２
１
∧
（Ⅱ）２０１８年，即ｘ＝６时，ｙ＝
×６＋２．７＝５．７，即２０１８年农村的居民家庭人均存款为
２
５．７千元…………………………………………………………………………１２分
２０．（本题１２分）
解析：
（Ⅰ）由题设可知ＡＤ⊥ＤＥ，取ＡＥ中点Ｏ，连接ＯＤ，ＢＥ．由ＡＢ＝２槡２，ＡＢ＝２ＡＤ，得
ＡＤ＝ＤＥ＝槡２，
∴ＯＤ⊥ＡＥ．又二面角Ｄ－ＡＥ－Ｂ为直二面角，∴ＯＤ⊥平面ＡＢＣＥ，所以三棱锥Ｄ－ＡＢＥ的高ＤＯ＝１，…………………………………………………２分
又ＡＤ⊥ＤＥ，所以ＡＥ＝ＢＥ＝２，ＡＢ＝２槡２，∴∠ＡＥＢ＝９０°
１
三棱锥Ｄ－ＡＢＥ的底面积Ｓ△ＡＢＥ＝
ＡＥ·ＢＥ＝２………………………４分
１
１
２
２
…………………………６分
所以ＶＤ＝ＡＢＥ＝
Ｓ△ＡＢＥ·ＤＯ＝
×２×１＝
３
３
３
宣城市高二数学（理）试卷答案第２页（共４页）
２
２
２
ＡＢ中点Ｆ，连接
（Ⅱ）ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ．∴ＡＥ⊥ＢＥ．取
ＯＦ，则ＯＦ∥ＥＢ∴ＯＦ⊥ＡＥ．以点Ｏ为原点，ＯＡ，
ＯＦ，ＯＤ分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系（如
图），
则Ａ（１，０，０），Ｄ（０，０，１），Ｂ（－１，２，０），Ｅ（－１，０，０），
→
→
→
ＡＤ＝（－１，０，１），ＢＤ＝（１，－２，１），ＥＢ＝（０，２，０），
……………………………………………………７分
→
设ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ）是平面ＡＢＤ的一个法向量，
→→
ｘ－２ｙ＋ｚ＝０→
ｍ·ＢＤ＝０
则→→
∴
－ｘ＋ｚ＝０则ｍ＝（１，１，１）……………………………９分
ｍ·ＡＤ＝０
→
平面ＡＤＥ的法向量ＯＦ＝（０，１，０）………………………………………………１０分
→
→
１
槡３
ｍ·ＯＦ
∴ｃｏｓ〈ｍ，ＯＦ〉＝
→
＝
＝
３
．
｜ｍ｜｜ＯＦ｜
１×槡３
槡３
∴二面角Ｂ－ＡＤ－Ｅ的余弦值为
３
．……………………………………………１２分
２１．（本题１２分）
２
２
解析：
（Ⅰ）由点Ａ（１，４）在抛物线ｙ＝２ｐｘ上，解得ｐ＝８．所以抛物线方程为ｙ＝１６ｘ
…………………………………………………………………………………………２分
焦点Ｆ的坐标为（４，０）．设点Ｍ的坐标为（ｘ，ｙ），
００
→
ＡＦ＝（４，０）－（１，４）＝（３，－４）
→
－４，ｙ０）……………………………………４分
ＦＭ＝（ｘ０，ｙ０）－（４，０）＝（ｘ０
→→
３＝２（ｘ－４）
１１
０
由ＡＦ＝２ＦＭ，则
－４＝２ｙ０
，解得ｘ０
＝
，ｙ０
＝－２，
２
１１
所以点Ｍ的坐标为（，－２）………………………………………………６分
２
（Ⅱ）由于线段ＢＣ的中点Ｍ不在ｘ轴上，所以ＢＣ所在的直线不垂直于ｘ轴．………７分
１１
设ＢＣ所在直线的方程为：
ｙ＋２＝ｋ（ｘ－
）（ｋ≠０）…………………………８分
１１
２
ｙ＋２＝ｋ（ｘ－
）
２
由２
２消ｘ得ｋｙ－１６ｙ－８８ｋ－３２＝０
ｙ＝１６ｘ
ｙ＋ｙ
１６
１
２
所以ｙ１＋ｙ２＝
，由（Ⅱ）的结论得
＝－２，解得ｋ＝－４
……………１０分
２
ｋ
……………………………………１２分
因此ＢＣ所在直线的方程为：
ｙ＝－４ｘ＋２０
２２（本题１２分）
ｂ＝ｃ，
解析：
（Ⅰ）由已知，得
２
２
２
９
９
，及ａ＝ｂ＋ｃ
＋
＝１
２
２
ａ
ｂ
宣城市高二数学（理）试卷答案第３页（共４页）
２
ａ＝２７，
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