导数练习.docx

导数练习.docx

《导数练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数练习.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

导数练习

导数及其应用

一、基础知识要记牢

（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，即k＝f′（x0）．

（2）曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．

二、经典例题领悟好

[例1]　

（1）（2013·湖北荆门调研）曲线y＝

在点（1,1）处的切线方程为________．

（2）（2013·广东高考）若曲线y＝ax2－lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝________.

解决函数切线的相关问题，需抓住以下关键点：

（1）切点是交点.

（2）在切点处的导数是切线的斜率.因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系—方程（组）.

（3）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点.

三、预测押题不能少

1．已知偶函数f（x）在R上的任一取值都有导数，且f′

（1）＝1，f（x＋2）＝f（x－2），则曲线y＝f（x）在x＝－5处的切线斜率为（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．－2

C．1D．－1

利用导数研究函数的单调性

一、基础知识要记牢

函数的单调性与导数的关系：

在区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数f（x）在区间（a，b）上单调递增；如果f′（x）<0，那么函数f（x）在区间（a，b）上单调递减．

二、经典例题领悟好

[例2]　（2013·全国卷Ⅰ节选）已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性．

利用导数研究函数单调性的一般步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数f（x）的定义域内解（或证明）不等式f′（x）>0或f′（x）<0即可．

②若已知f（x）的单调性，则转化为不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在单调区间上恒成立问题求解．

三、预测押题不能少

2．已知函数f（x）＝

x3＋mx2－3m2x＋1，m∈R.

（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）若f（x）在区间（－2,3）上是减函数，求m的取值范围．

利用导数研究函数的极值（最值）问题

一、基础知识要记牢

（1）若在x0附近左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则f（x0）为函数f（x）的极大值；若在x0附近左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则f（x0）为函数f（x）的极小值．

（2）设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．

二、经典例题领悟好

[例3]　（2013·福建高考节选）已知函数f（x）＝x－1＋

（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）求函数f（x）的极值；

（2）当a＝1时，若直线l：

y＝kx－1与曲线y＝f（x）没有公共点，求k的最大值．

（1）求函数y＝f（x）在某个区间上的极值的步骤：

第一步：

求导数f′（x）；

第二步：

求方程f′（x）＝0的根x0；

第三步：

检查f′（x）在x＝x0左右的符号；

①左正右负⇔f（x）在x＝x0处取极大值；

②左负右正⇔f（x）在x＝x0处取极小值.

（2）求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

第一步：

求函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）；

第二步：

将y＝f（x）的各极值与f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

三、预测押题不能少

3．已知函数f（x）＝ax－

－3lnx，其中a为常数．

（1）当函数f（x）的图像在点

处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在

上的最小值；

（2）若函数f（x）在区间（0，＋∞）上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

导数与不等式的交汇

导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，利用导数解决函数的单调性与最值的命题趋势较强，各套试题多以压轴题呈现，大多将导数与函数、不等式、方程、数列交汇命题，考查不等式证明，方程根的讨论，求参数范围．

一、经典例题领悟好

[例1]　（2013·辽宁省五校模拟）已知函数f（x）＝alnx＋1（a>0）．

（1）当x>0时，求证：

f（x）－1≥a

；

（2）在区间（1，e）上f（x）>x恒成立，求实数a的范围．

（1）本题三次利用函数思想，第

（2）问中首先分离常数，变为a>

，再构造函数g（x），求其最值确定a的范围.

（2）导数综合应用题型中应用函数思想的常见类型：

①构造新函数求最值解决不等式恒成立问题；

②构造新函数利用性质解决不等式证明问题；

③构造新函数求零点解决方程解的问题.

二、预测押题不能少

1．已知函数f（x）＝ex（x2＋ax－a），其中a是常数．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若存在实数k，使得关于x的方程f（x）＝k在[0，＋∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

导数应用中的创新问题

对导数考查其综合应用，命题综合性较强，试题不断追求创新，如2013年安徽卷以下面这个例题从创新的角度考查导数综合应用．

一、经典例题领悟好

[例3]　（2013·安徽高考）设函数f（x）＝ax－（1＋a2）x2，其中a>0，区间I＝{x|f（x）>0}．

（1）求I的长度（注：

区间（α，β）的长度定义为β－α）；

（2）给定常数k∈（0,1），当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．

本题以函数的形式给出，求解一元二次不等式，从而表示出I，在利用导数求最小值，比较d（1－k）与d（1＋k）大小时，也可以作差.

A组（全员必做）

1．函数f（x）＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．1

C．2D．无数个

2．（2013·广州调研）已知e为自然对数的底数，则函数y＝xex的单调递增区间是（　　）

A．[－1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．[1，＋∞）D．（－∞，1]

3．（2013·荆州市质检）设a为实数，函数f（x）＝x3＋ax2＋（a－2）x的导数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为（　　）

A．y＝－2xB．y＝3x

C．y＝－3xD．y＝4x

5．（2013·天津质检）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）＋xf′（x）>x2，下面不等式在R上恒成立的是（　　）

A．f（x）>0B．f（x）<0

C．f（x）>xD．f（x）

6．（2013·湖北高考）已知函数f（x）＝x（lnx－ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）B.

C．（0,1）D．（0，＋∞）

7．（2013·广东高考）若曲线y＝kx＋lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝________.

8．（2013·河南三市调研）若函数f（x）＝

x3－

x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．

9．（2013·山西大学附中模拟）已知函数f（x）＝

，其导函数记为f′（x），则f（2012）＋f′（2012）＋f（－2012）－f′（－2012）＝________.

10．（2013·福建高考）已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R）．

（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值．

B组（强化选做）

1．（2013·广州一模）设f（x）在（a，b）内可导，则f′（x）<0是f（x）在（a，b）内单调递减的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）>0，f′（x）>0，则函数y＝xf（x）（　　）

A．存在极大值B．存在极小值

C．是增函数D．是减函数

3．已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0,1）上为减函数，函数g（x）＝x2－alnx在（1,2）上为增函数，则a的值等于（　　）

A．1B．2

C．0D.

5．（2013·吉林质检）设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R）．若x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f（x）的图像的是（　　）

6．（2013·福建高考）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）

A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）

B．－x0是f（－x）的极小值点

C．－x0是－f（x）的极小值点

D．－x0是－f（－x）的极小值点

8．已知函数f（x）＝alnx＋

x2（a>0），若对定义域内的任意x，f′（x）≥2恒成立，则a的取值范围是________．

9．（2013·浙江金华十校模拟）设函数y＝f（x），x∈R的导函数为f′（x），且f（x）＝f（－x），f′（x）

ef

（2），f（3），e2f（－1）从小到大依次排列为________________．（e为自然对数的底数）

10．（2013·北京高考）已知函数f（x）＝x2＋xsinx＋cosx.

（1）若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，求a与b的值；

（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．

11．（2013·浙江十校联考）已知函数f（x）＝lnx＋ax（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）设g（x）＝x2－4x＋2，若对任意x1∈（0，＋∞），均存在x2∈[0,1]，使得f（x1）

12．（2013·温州十校联考）设f（x）＝

＋xlnx，g（x）＝x3－x2－3.

（1）如果存在x1，x2∈[0,2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（2）如果对于任意的s，t∈

，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．