2．函数f（x）＝xlnx的单调减区间为（ ）．
A.B.C.D.
3．设f′（x）是f（x）的导函数，y＝f′（x）图象如图，则y＝f（x）图象可能是（ ）．
4．对于函数y＝1＋3x－x3来说，有（ ）．
A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3
C．极小值为－2，极大值2D．极小值为－1，极大值3
5．若f（x）的定义域为（a，b），f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则f（x）在（a，b）内极小值的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋（c－3a－2b）x＋d过点（0,3），且函数在x＝1处有极值，则c，d的值分别为（ ）．
A．0,2B．0,3C．1,2D．1,3
7．三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则它的导函数f′（x）的图象最可能是（ ）．
8．已知函数f（x）＝x3－3x＋3，当x∈时，函数f（x）的最小值为（ ）．
A.B．－5C．1D.
9．函数f（x）＝ax3－2x在[2,8]上是减函数，则（ ）．
A．a＝B．a＝0C．a≤D．a<0
10．函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________，增区间为________．
11．函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的减区间为________，增区间为________．
12．已知函数f（x）＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
13．若f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋1有极大值和极小值，则a的范围为________．.
14．f（x）＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
15．若函数f（x）＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围为________．
16．将正数a分解为两个正数的和，使这两个正数的立方和为最小，则这两个正数分别为________和________．
17．设气球以每秒36πcm3的常速注入气体，假设气体压力不变，那么在8秒末气球半径的增加速度为________．
18．求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝x3－x；
（2）f（x）＝ex－x＋1.
19．（2011·安徽高考）设f（x）＝，其中a为正实数．
（1）当a＝时，求f（x）的极值点．
（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．
20．设f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′（x），若y＝f′（x）的图象关于直线x＝－对称，且f′
（1）＝0.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．
21．用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？
并求出它的最大容积．
导数练习题B
1．下列各选项中的函数，在定义域上为减函数的是（ ）．
A．f（x）＝x3＋xB．f（x）＝C．f（x）＝sinx－xD．f（x）＝－x2x
2．对于R上的可导函数f（x）来说，若（x－1）f′（x）>0，则必有（ ）．
A．f（0）＋f
（2）<2f
（1）B．f（0）＋f
（2）≤2f
（1）C．f（0）＋f
（2）≥2f
（1）D．f（0）＋f
（2）>2f
（1）
3．设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R）．若x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（ ）．
4．（2011·福建高考）若a>0，b>0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（ ）．
A．2B．3C．6D．9
5．已知f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是（ ）．
A．－37B．－29C．－5D．以上都不对
6．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1,0）点，则f（x）的（ ）．
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极大值为－，极小值为0 D．极大值为0，极小值为－
7．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（ ）．
A．150B．200C．250D．300
8．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的容积最大时底面边长为（ ）．
A.B.C．1D.
9．若函数f（x）＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间（－2,0）上单调递减，且在区间（－∞，－2）及（0，＋∞）内单调递增，则实数p＝________.
10．函数f（x）＝在（0，＋∞）上递增，则a的范围为________．
11．函数f（x）＝x＋2cosx（－π12．若函数f（x）＝x4＋ax3＋2x2＋b仅在x＝0处存在极值，则a的取值范围为________．
13．函数f（x）＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间是（0,3），则m＝________.
14．如图为函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x·f′（x）<0的解集为________．
15．建造一个总体积一定的圆柱形锅炉，若两个底面的材料每单位面积的造价为a元，侧面的材料每单位面积的造价为b元，当造价最低时，锅炉的直径与高的比值为________．
16．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
17．已知函数f（x）＝x2＋＋alnx（x>0），若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，求a的取值范围．
18．设函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f
（2））处与直线y＝8相切，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
19．（2011·全国卷）已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋（3－6a）x＋12a－4（a∈R）．
（1）证明：
曲线y＝f（x）在x＝0处的切线过点（2,2）；
（2）若f（x）在x＝x0处取得极小值，x0∈（1,3），求a的取值范围．
20．（创新拓展）已知函数f（x）＝x3＋2bx2＋cx－2的图象与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝f（x）＋mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围，以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．
21．已知函数f（x）＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.
（1）当t＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间．
22．（创新拓展）设f（x）＝－x3＋x2＋2ax.
（1）若f（x）在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）当0
导数练习题A（答案）
1．C2．C 3．C 4．D 5．B 6．B7．C 8．C 9．C
10.（－1,11） （11，＋∞）和（－∞，－1）11．（0,2）和（－∞，－1） （－1,0）和（2，＋∞）．
12．313．a>2或a<－1.14．3215．（－∞，0）16． 17．cm/s
18．解
（1）f′（x）＝3x2－1，由f′（x）>0知x>或x<－.
由f′（x）<0知－（2）f′（x）＝ex－1，由f′（x）>0知x>0，由f′（x）<0知x<0.
所以f（x）的增区间为（0，＋∞），减区间为（－∞，0）．
19．解 对f（x）求导得f′（x）＝ex.①
（1）当a＝时，令f′（x）＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
结合①，可知
x
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
（2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上符号不变，结合①式与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立）．
∴Δ＝4a2－4a≤0，∴020．解
（1）f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1，
f′（x）＝6x2＋2ax＋b＝6（x＋）2＋b－，又f′（x）图象关于x＝－对称，∴－＝－，∴a＝3.
又f′
（1）＝0，∴2＋a＋b＋1＝0，∴b＝－12.
（2）由
（1）知f（x）＝2x3＋3x2－12x＋1.
f′（x）＝6x2＋6x－12＝6（x－1）（x＋2）．由f′（x）＝0得x1＝1，x2＝－2.
当x∈（－∞，－2）时，f′（x）>0，当x∈（－2,1）时，f′（x）<0，当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0.
∴f（x）在（－∞，－2）上递增，在（－2,1）上递减，（1，＋∞）上递增．
∴当x＝－2时，f（x）取得极大值f（－2）＝21，当x＝1时，f（x）取得极小值f
（1）＝－6.
21．解 设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x＋0.5）m，高为＝（3.2－2x）（m）．
由3.2－2x>0和x>0，得0设容器的容积为ym3，则有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0整理，得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x.∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0.
解得x1＝1或x2＝－（不合题意，舍去）．
从而在定义域（0,1.6）内，只有在x＝1处使得y′＝0.
因此，当x＝1时，y取得最大值且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8（m3），这时高为3.2－2×1＝1.2（m）．
导数练习题作业B（答案）
1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．A 7．D8．B
9．－610．[0，＋∞）11． 和 ， 12．
13．14．（0，）∪（－∞，－）15．16．
17．解 由f（x）＝x2＋＋alnx，得f′（x）＝2x－＋.
若函数为[1，＋∞）上的单调增函数，则f′（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，
即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞）上恒成立，也即a≥－2x2在[1，＋∞]上恒成立．令φ（x）＝－2x2，上述问题等价于a≥φ（x）max，而φ（x）＝－2x2在[1，＋∞）上单调递减，
则φ（x）max＝φ
（1）＝0，于是a≥0为所求．
18．解
（1）f′（x）＝3x2－3a，因为曲线y＝f（x）在点（2，f
（2））处与直线y＝8相切，
所以⇒⇒
（2）因为f′（x）＝3（x2－a）（a≠0），
当a<0时，f′（x）>0，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．
当a>0时，由f′（x）＝0⇒x＝±，
当x∈（－∞，－）时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，
当x∈（－，）时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x∈（，＋∞）时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增．所以当a>0时，f（x）的单调增区间为（－∞，－），（，＋∞），减区间为（－，）.
19．
（1）证明 f′（x）＝3x2＋6ax＋3－6a.
由f（0）＝12a－4，f′（0）＝3－6a得曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y＝（3－6a）x＋12a－4，
由此知曲线y＝f（x）在x＝0处的切线过点（2,2）．
（2）解 由f′（x）＝0得x2＋2ax＋1－2a＝0.
①当－－1≤a≤－1时，f（x）没有极小值；
②当a>－1或a<－－1时，由f′（x）＝0得x1＝－a－，x2＝－a＋，
故x0＝x2.由题设知1<－a＋<3.
当a>－1时，不等式1<－a＋<3无解；
当a<－－1时，解不等式1<－a＋<3得－综合①②得a的取值范围是.
20．解
（1）由已知，切点为（2,0），故有f
（2）＝0，即4b＋c＋3＝0.①
又f′（x）＝3x2＋4bx＋c，则f′
（2）＝12＋8b＋c＝5，即8b＋c＋7＝0.②
联立①②，解得b＝－1，c＝1.所以函数的解析式为f（x）＝x3－2x2＋x－2.
（2）因为g（x）＝x3－2x2＋x－2＋mx，
令g′（x）＝3x2－4x＋1＋m＝0，当函数有极值时，方程3x2－4x＋1＋m＝0有实数解，所以Δ＝4（1－m）≥0，得m≤1.
当m＝1时，g′（x）＝0有实数根x＝，在x＝左右两侧均有g′（x）>0，故函数g（x）无极值；
当m<1时，g′（x）＝0.有两个实数根x1＝（2－），x2＝（2＋）．
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，＋∞）
g′（x）
＋
0
－
0
＋
g（x）
极大值
极小值
所以当m∈（－∞，1）时，函数g（x）有极值，且
当x＝（2－）时，g（x）有极大值；
当x＝（2＋）时，g（m）有极小值
21．解
（1）当t＝1时，f（x）＝4x3＋3x2－6x，f（0）＝0，f′（x）＝12x2＋6x－6，f′（0）＝－6.所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝－6x，即6x＋y＝0.
（2）f′（x）＝12x2＋6tx－6t2，令f′（x）＝0得x＝－t或x＝.
①当t<0时，f′（x）>0得x>－t或x<，f′（x）<0得②当t>0时，f′（x）>0得x>或x<－t，f′（x）<0得－t22．解
（1）f′（x）＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.
当x≥时，f′（x）的最大值为f′＝＋2a，由＋2a>0，得a>－.
所以f（x）在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.
（2）令f′（x）＝0得x1＝，x2＝，
所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上递减，在（x1，x2）上递增．当0∴f（x）在[1,4]上的最大值为f（x2），
又f（4）－f
（1）＝－＋6a<0，即f（4）（1）．
∴f（x）在[1,4]上的最小值为f（4）＝8a－＝－，
∴a＝1，x2＝2.从而f（x）在[1,4]上的最大值为f
（2）＝.
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