中考数学冲刺专题几何探究和证明含答案.docx

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中考数学冲刺专题几何探究和证明含答案

2020中考数学冲刺专题：

几何探究与证明（含答案）

1.如图①，已知在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG.

第1题图

（1）求证：

EG＝CG；

（2）将图①中△BEF绕点B逆时针旋转45°，则点F落在对角线BD上，如图②，取DF中点G，连接EG，CG.问EG和CG相等吗？

若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，问线段EG和CG有何关系？

（请直接写出答案）

（1）证明：

∵在正方形ABCD中，

∴∠BCD＝90°.

∵EF⊥BD，

∴∠FED＝90°.

∵G为DF中点，

∴EG＝

DF，CG＝

DF.

∴EG＝CG；

（2）解：

EG＝CG.

证明：

如解图①，延长EF交CD于点H，连接GH，

第1题解图①

∵在正方形ABCD中，

∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，

∴∠EBF＝

∠ABC＝45°.

∵EF⊥AB，

∴∠FEB＝90°，

∴∠EFB＝90°－∠EBF＝45°，

∴∠EBF＝∠EFB，

∴BE＝FE.

∵∠BCD＝∠ABC＝∠BEF＝90°，

∴四边形EBCH是矩形，

∴HC＝EB＝EF，∠FHC＝90°，

∴∠FHD＝180°－∠FHC＝90°.

∵CD∥EB，

∴∠HDF＝∠EBF＝45°，

∴∠DFH＝90°－∠HDF＝45°，

∴∠HDF＝∠DFH，

∴HD＝FH.

∵G为DF中点，

∴∠DHG＝

∠DHF＝45°，

∴∠GHC＝180°－∠DHG＝135°.

∵∠EFG＝180°－∠DFH＝135°，

∴∠GHC＝∠EFG，

∵在Rt△DHF中，G为DF中点，

∴GH＝

DF＝GF，

∴△EFG≌△CHG（SAS），

∴EG＝CG；

（3）解：

EG＝CG，EG⊥CG.

【解法提示】如解图③，理由如下：

第1题解图②

过点F作CD的平行线并延长CG交于点M，连接EM、EC，过点F作FN垂直于AB于点N，∵G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∴∠EFM＝180°－45°－∠BFH＝135°－∠BFH，∠EBC＝∠EBF＋∠FBH＝45°＋90°－∠BFH＝135°－∠BFH，∴∠EFM＝∠EBC，∴△EFM≌△EBC（SAS），∴∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG.

2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点（不与点A、C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E.

（1）如图①，当∠BAC＝45°时，则线段AE与线段CD之间的数量关系为________；

（2）如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD之间的数量关系，并说明理由；

（3）当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系（用含α的三角函数表示）．

第2题图

解：

（1）AE＝

CD；

【解法提示】如解图①，在BC上取一点G，使AD＝BG，连接DG，

∵∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，

∴AC－CD＝BC－BG，

即CD＝CG，

∴△CDG是等腰直角三角形，

∴DG＝

CD，∠DGC＝45°，

∴∠DGB＝135°，

∵AP⊥AB，

∴∠BAP＝90°，

∴∠DAE＝90°＋45°＝135°，

∴∠DAE＝∠DGB，

∵DE⊥DB，

∴∠EDB＝90°，

∴∠EDA＋∠BDC＝90°，

∵∠BDC＋∠DBC＝90°，

∴∠EDA＝∠DBC，

∴△EAD≌△DGB（ASA），

∴AE＝DG，

∴AE＝

CD；

（2）猜想：

AE＝2CD，

理由是：

如解图②，过点D作DF∥AB，交BC于点F，

则∠FDC＝∠BAC＝30°，

＝

，

∴

＝

，

∵AP⊥AB，DE⊥BD，

∴∠BAP＝∠BDE＝90°，

∵∠ADE＋∠BDE＋∠BDC＝180°，

∴∠ADE＋∠BDC＝90°，

∵∠ACB＝90°，∠FDC＝30°，

∴∠DBC＋∠BDC＝90°，CF＝

DF，

∴∠ADE＝∠DBC，

∵∠DAE＝∠BAC＋∠BAP，∠BFD＝∠FDC＋∠ACB，

∴∠DAE＝∠BFD，

∴△DAE∽△BFD，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴

＝2，即AE＝2CD；

（3）CD＝AE·sinα，

【解法提示】如解图③，过点D作DF∥AB，交BC于点F，则∠FDC＝∠BAC＝α，

＝

，∴

＝

，∵AP⊥AB，DE⊥BD，∴∠BAP＝∠BDE＝90°，∵∠ADE＋∠BDE＋∠BDC＝180°，∴∠ADE＋∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∠FDC＝α，∴∠DBC＋∠BDC＝90°，sin∠FDC＝sinα＝

，∴∠ADE＝∠DBC，∵∠DAE＝∠BAC＋∠BAP，∠BFD＝∠FDC＋∠ACB，∴∠DAE＝∠BFD，∴△DAE∽△BFD，∴

＝

，∴

＝

，∴

＝

＝sinα，∴CD＝AE·sinα.

第2题解图

3.已知在正方形ABCD中，点E在直线AB上，点F在直线BC上，连接DE、DF，∠EDF＝45°.

（1）如图①，点E，点F分别在线段AB，BC上时，直接写出AE，CF，EF的数量关系；

（2）如图②，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，求AE，CF，EF的数量关系；

（3）如图③，在

（2）的条件下，若AE＝2AB＝8，求EF的长．

第3题图

解：

（1）EF＝AE＋CF.

【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如解图①：

延长BA，使AM＝CF，且AD＝CD，∠C＝∠MAD，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠ADM＝∠CDF，DM＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，∴∠ADM＋∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠FDE，且DM＝DF，DE＝DE，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM＋AE＝AE＋CF，∴EF＝AE＋CF；

第3题解图①第3题解图②

（2）如解图②：

在AB上截取AM＝CF，

∵AD＝CD，AM＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，

∴△ADM≌△CDF（SAS），

∴DM＝DF，∠ADM＝∠CDF，

∵∠ADM＋∠MDC＝90°，

∴∠CDF＋∠MDC＝90°，即∠MDF＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠EDF＝∠MDE＝45°，且DM＝DF，DE＝DE，

∴△MDE≌△FDE（SAS），

∴EF＝EM，

∵AE＝AM＋ME，

∴AE＝CF＋EF；

（3）∵AE＝2AB＝8，

∴AB＝BC＝BE＝4，

∵AE＝CF＋EF，

∴CF＝8－EF，

在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，

∴EF2＝16＋（4＋8－EF）2，

∴EF＝

.

4.在菱形ABCD中，P为直线AD上的点，Q为直线CD上的点，分别连接PC，PQ，且PC＝PQ.

（1）若∠B＝60°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图①，证明：

DQ＋PD＝AB；

（2）若∠B＝60°，点P在线段DA的延长线上，点Q在线段CD上，如图②，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系，并给予证明；

（3）若∠B＝120°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图③，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系？

并给予证明．

第4题图

（1）证明：

如解图①，在CD上取CH＝DQ，连接PH，

∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC，

∵CH＝DQ，

∴△PCH≌△PQD（SAS），

∴PH＝PD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝AB，∠PDC＝∠B＝60°，

∴△PHD是等边三角形，

∴PD＝HD，

∴PD＋DQ＝DH＋CH＝CD＝AB；

（2）解：

猜想PD－DQ＝AB.

证明：

如解图②，延长CA到点M，使得AM＝AP，连接PM.

∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠CAD＝∠PAM＝60°，

∴△PAM是等边三角形，

∴AM＝PM，∠M＝∠ACD＝60°，

∴PM∥CD，

∴∠PCD＋∠CPM＝180°，

∵PC＝PQ，

∴∠PCQ＝∠PQC，

∵∠PQC＋∠PQD＝180°，

∴∠CPM＝∠PQD，

∴△PCM≌△QPD（AAS），

∴CM＝PD，PM＝DQ＝AM，

∵CM＝AC＋AM＝AB＋DQ，

∴PD－DQ＝AB；

（3）解：

猜想：

DQ－PD＝AB.

证明：

如解图③，在DQ上截取DM＝DP，连接PM.

∵∠B＝∠ADC＝120°，

∴∠PDM＝60°，

∴△PDM是等边三角形，

∴PD＝PM，∠PMC＝∠PDQ＝60°，

∵PC＝PQ，

∴∠PCM＝∠Q，

∴△PCM≌△PQD（AAS），

∴CM＝DQ，

∴CD＋DM＝DQ，

∴AB＋PD＝DQ，

即DQ－PD＝AB.

第4题解图

5.在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且

＝k，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F.

（1）如图①，当k＝1时，求证：

AF＋EF＝AB；

（2）如图②，当k＝2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：

________；

（3）如图③，当

＝k时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．

第5题图

（1）证明：

如解图①，延长AD、EF交于点G，

当k＝1时，DE＝BD，

∵EF∥AB，

∴∠BAD＝∠EGD，

在△ABD与△GED中，

，

∴△ABD≌GED（AAS），

∴AB＝GE，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∴∠FGD＝∠DAC，

∴AF＝GF，

∵GF＋EF＝GE，

∴AF＋EF＝AB;

（2）解：

AF＋EF＝2AB.

【解法提示】如解图②，延长AD、EF交于点G，当k＝2时，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴

＝

＝2，即GE＝2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝2AB；

（3）解：

猜想：

AF＋EF＝kAB.

证明：

如解图③，延长AD、EF交于点G，当

＝k时，

∵EF∥AB，

∴∠BAD＝∠EGD，

又∵∠BDA＝∠EDG，

∴△ABD∽△GED，

∴

＝

＝k，即GE＝kAB，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∴∠FGD＝∠DAC，

∴AF＝GF，

∵GF＋EF＝GE，

∴AF＋EF＝kAB.

第5题解图

类型二　两条线段之间的数量

关系与位置关系证明

6.如图，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，DF.

（1）如图①，点D在AC上，延长DF，交BC于点G，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？

并说明理由；

（2）将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置，延长DF至G使GF＝DF，DG与AB交于点O，连接BG，CG，DC，请判断

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

第6题图

解：

（1）DF＝CF，DF⊥CF；

理由：

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.

∵F为BE中点，

∴EF＝BF，

∴△DEF≌△GBF（AAS），

∴DE＝GB，DF＝GF.

∵AD＝DE，

∴AD＝GB，

∵AC＝BC，

∴AC－AD＝BC－GB，

∴DC＝GC.

∵∠ACB＝90°，

∴△DCG是等腰直角三角形，

∵DF＝GF，

∴DF＝CF，DF⊥CF；

（2）

（1）中的结论仍然成立，理由是：

在△FDE和△FGB中，

，

∴△FDE≌△FGB（SAS），

∴∠DEF＝∠GBF，DE＝GB，

∴BG∥DE，

如解图，延长DE交BC于点M，

∵DE∥BG，

∴∠CBG＝∠DMB，

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，

∴∠DAC＋∠DMC＝180°，

∴∠DMB＝∠DAC＝∠CBG，

在△CAD和△CBG中，

∵

，

∴△CAD≌△CBG（SAS），

∴CD＝CG，∠DCA＝∠GCB，

∴∠DCG＝∠BCG＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACB＝90°，

∵DF＝GF，

∴DF＝CF，DF⊥CF.

第6题解图

7.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点CD不重合），连接AE，平移△ADE使点D移动到点C得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG.

第7题图

（1）如图①，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系和位置关系；

（2）如图②，若点E在线段CD的延长线上其余条件不变时，猜想

（1）中的结论是否仍然成立，请你给出证明；

（3）若点E在线段DC的延长线上且∠AGF＝120°，正方形ABCD的边长为2，直接写出DE的长度．

（1）解：

AG＝EG，AG⊥EG，理由如下：

由平移得EF＝CD＝AD，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB＝∠CDB＝45°，

∵FG⊥BD，

∴∠DGF＝90°，

∴∠GFD＋∠CDB＝90°，

∴∠DFG＝45°，

∴GD＝GF，

在△AGD和△EGF中，

，

∴△AGD≌△EGF（SAS），

∴AG＝EG，∠AGD＝∠EGF，

∴∠AGE＝∠AGD＋∠DGE＝∠EGF＋∠DGE＝90°，

∴AG⊥EG；

（2）解：

（1）中结论仍然成立．

证明：

由平移得EF＝CD＝AD，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB＝∠CDB＝45°，

∵FG⊥BD，

∴∠DGF＝90°，

∴∠GFD＋∠CDB＝90°，

∴∠DFG＝45°，

∴GD＝GF，

在△AGD和△EGF中，

，

∴△AGD≌△EGF（SAS），

∴AG＝EG，∠AGD＝∠EGF，

∴∠AGE＝∠AGD－∠DGE＝∠EGF－∠DGE＝90°，

∴AG⊥EG；

（3）DE＝2

.

【解法提示】同

（1）可得，AG＝EG，AG⊥EG，

∴∠GEA＝45°，∵∠AGF＝120°，∴∠AGB＝∠EGF＝30°，又∵∠GFD＝45°，∴∠CEG＝∠EFG＋∠EGF＝75°，∴∠AED＝∠CEG－∠GEA＝30°，

在Rt△ADE中，AD＝2，

∴DE＝2

.

第7题解图

8.在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与直线AB交于点F.

猜想：

如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为________；

探究：

如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明；

应用：

如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．

第8题图

解：

猜想：

AF＝DE；

【解法提示】∵∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠CED＝90°，∵∠AFE＋∠AEF＝90°，∴∠AFE＝∠CED，∠AEF＝∠DCE，∵AE＝AB，AB＝CD，∴AE＝CD，∴在△AEF和△DCE中，

，

∴△AEF≌△DCE，∴AF＝DE；

探究：

AF＝DE，

证明：

∵∠A＝∠FEC＝∠D＝90°，

∴∠AEF＝∠DCE，

在△AEF和△DCE中，

，

∴△AEF≌△DCE（ASA），

∴AF＝DE.

应用：

∵△AEF≌△DCE，

∴AE＝CD＝AB＝2，AF＝DE＝3，FB＝FA－AB＝1，

∵BG∥AD，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴BG＝

.

9已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE.

（1）如图①，当点D在边BC上时，求证：

①BD＝CE，②AC＝CE＋CD；

第9题图

（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？

若不成立请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系并说明理由；

（3）如图③，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．

（1）证明：

①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；

②∵BC＝BD＋CD，AC＝BC，BD＝CE，

∴AC＝CE＋CD；

（2）解：

AC＝CE＋CD不成立，

AC、CE、CD之间存在的数量关系是AC＝CE－CD.

理由：

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∵BC＝BD－CD，

∴BC＝CE－CD，

∵AC＝BC，

∴AC＝CE－CD；

（3）解：

AC、CE、CD之间存在的数量关系是AC＝CD－CE.

【解法提示】∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴∠DAB＝∠EAC，∴在△ADB和△AEC中，

，∴△ADB≌△AEC，∵BD＝CE，∵CD＝BD＋BC，∴BC＝CD－CE，∴AC＝CD－CE.

10.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作∠DAF＝60°，在射线AF上截取点F，使AF＝AD，过点D作DE∥AF，过点F作EF∥AD，DE、EF交于点E，连接CF，

（1）如图①，当点D在边BC上时，求证：

①BD＝CF；②AC＝CF＋CD；

（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

第10题图

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠DAF＝60°，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF＝BD，

∴CF＋CD＝BD＋CD＝BC＝AC，

即①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；

（2）解：

AC＝CF＋CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC＝CF－CD，

理由是：

由

（1）知：

AB＝AC＝BC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝60°，

∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAF＋∠DAC，

即∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD＝CF，

∴CF－CD＝BD－CD＝BC＝AC，

即AC＝CF－CD；

（3）解：

AC＝CD－CF.

【解法提示】理由是：

∵∠BAC＝∠DAF＝60°，

∴∠DAB＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，

，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF＝BD，∴CD－CF＝CD－BD＝BC＝AC，即AC＝CD－CF.