轴向拉伸和压缩课件.docx

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轴向拉伸和压缩课件

第五章轴向拉伸和压缩

【学时】10（其中习题课2）

基本要求：

【基本要求】

1．理解内力和应力的概念[2]。

2．掌握轴力的计算和轴力图的绘制[1]。

3．掌握拉（压）杆横截面的应力[1]。

4．掌握轴向拉伸和压缩时的变形计算[2]。

5．掌握低碳钢和铸铁和的拉（压）试验[1]。

6．理解容许应力、安全系数的概念[2]。

7．了解应力集中的概念[3]。

8．掌握拉（压）超静定问题的解法[1]。

9．掌握剪切和挤压的实用计算[1]。

【重点】内力、轴力、截面法。

应力、应变、虎克定律及拉（压）强度条件，应掌握它们的概念，且熟悉掌握轴力的计算，轴力图的绘制及拉（压）强度条件的应用，低碳钢的应力——应变曲线图及特征点。

【难点】拉压超静定问题。

剪切面和挤压面面积的计算。

§5–1轴向拉压的概念及实例

【工程实例】曲柄连杆机构中连杆

受力特点：

外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合。

变形特点：

杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。

§5-2、轴向拉伸和压缩时的内力

一、内力：

1、内力的概念——由于外力作用而引起的内力的改变量，称为“附加内力”，简称内力。

2、求内力的方法——截面法：

①截开：

在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。

②代替：

任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。

③平衡：

对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。

3、轴力——由于轴向拉压引起的内力与杆的轴线一致，称为轴向内力，简称轴力。

符号约定：

拉伸引起的轴力为正值，指向背离横截面；压缩引起的轴力为负值，指向向着横截面。

二、轴力图：

轴力图——为了直观地表示整个杆件各截面轴力的变化情况，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标按选定的比例表示对应截面轴力的正负及大小。

这种表示轴力沿轴线方向变化的图形称为轴力图。

例1：

一直杆受外力作用如图所示，求此杆各段的轴力，并作轴力图：

解：

根据外力的变化情况，各段内轴力各不相同，应分段计算：

（1）、AB段：

用截面1-1假想将杆截开，取左段研究，设截面上的轴力为正方向，受力如图所示。

列平衡方程式：

∑FX=0：

N1-6=0

∴N1=6（拉力）；

（2）、BC段，取2-2截面左段研究，N2设为正向，受力如图所示，列平衡方程式：

∑FX=0：

N2+10-6=0

∴N2=-4（压力）；

（3）、CD段，取3-3截面右段研究，N3设为正，受力如图所示，列平衡方程式：

∑FX=0：

4-N3=0

∴N3=4（拉力）。

画轴力图的总结：

当自左向右画轴力图时，遇向左的轴向外力向上突变，遇向右的轴向外力向下突变。

§5-3、拉压杆的应力

一、应力的概念：

1、引入应力的原因：

两根相同材料做成的粗细不同的直杆在相同拉力作用下，用截面法求得的两杆横截面上的轴力是相同的。

若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。

这说明杆的强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的分布集度有关。

当粗细二杆轴力相同时，细杆内力分布的密集程度较粗杆要大一些。

2、应力——内力的密集程度（或单位面积上的内力）。

二、轴向拉压杆横截面上的应力：

1、平面假设：

杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为平面截面假设，简称平面假设。

2、应力计算：

（1）、拉压杆横截面上各点的应力是均匀分布的：

原因：

设想杆件由无数根纵向纤维所组成，根据平面截面假设可以推断出两平面之间所有纵向纤维的伸长相同。

又由材料是均匀连续的，可以推知，横截面上的轴力是均匀分布的，由此可得，拉压杆横截面上各点的应力是均匀分布的，其方向与轴力一致。

（2）、计算公式：

横截面上的应力的方向垂直于横截面，称为“正应力”并以“σ”表示。

σ的符号规定与轴力相同，当轴力为正时，σ为拉应力，取正号；当轴力为负时，σ为压应力，取负号。

（3）、单位：

[力]/[长度]2，国际单位为Pa（1Pa=1N/m2）。

常用的还有Kpa、Mpa、Gpa，其中1Kpa=103Pa，1Mpa=106Pa，1Gpa=109Pa。

例1：

一阶梯杆如图所示，AB段横截面面积为A1=100mm2，BC段横截面面积为A1=180mm2，试求各段杆横截面上的正应力。

解：

（1）、计算各段内轴力：

由截面法，求出各段杆的轴力为：

AB段：

N1=8KN（拉力）；

BC段：

N2=-15KN（压力）。

（2）、确定应力：

根据公式，各段杆的正应力为：

AB段：

σ1=N1/A1=8X103/100X10-6Pa=80Mpa（拉应力）；

BC段：

σ2=N2/A2=-15X103/180X10-6Pa=-83.3Mpa（压应力）。

§5-4、拉压杆的变形

纵向变形——直杆在轴向拉力或压力作用下，杆件产生轴向伸长或缩短，这种变形叫做纵向变形。

横向变形——直杆在轴向拉力或压力作用下，杆件产生横向尺寸的缩小或增大，这种变形叫做横向变形。

一、纵向变形和虎克定律：

1、纵向变形（绝对变形）：

△L=L1–L。

拉伸时，△L>0，压缩时△L<0。

且△L与杆的原长有关。

2、相对变形（纵向线应变）：

用ε表示：

ε在轴向拉伸时为正值，称为拉应变；在压缩时为负值，称为压应变。

3、虎克定律：

式中E为材料的弹性模量，单位为Pa，不同的材料，E的数值不同，由上式可知，对N、l相同的杆件，EA越大则变形△L越小，所以EA称为杆件的抗拉刚度。

将σ=N/A，ε=△L/L代入上式得：

σ=Eε。

上式表明在弹性范围内，杆件任一点的正应力与线应变成正比。

二、横向变形：

若以ε/表示横向应变，则有：

同一种材料，在弹性变形范围内，横向应变ε/和纵向应变ε之间有如下关系：

μ称为横向变形系数或泊松比。

由于μ取绝对值，而ε与ε/总是符号相反，故

ε/=-με。

例2：

一钢制阶梯杆如图所示，已知轴向外力P1=50KN，P2=20KN，各段杆长为l1=150mm，l2=l3=120mm，横截面面积A1=A2=600mm，A3=300mm，钢的弹性模量E=200Gpa，试求各段杆的纵向变形和线应变。

解：

（1）、作轴力图：

N1=-30KN，N2=N3=20KN。

（2）、计算各段杆的纵向变形：

；

；

。

；

；

；

（3）、求各段杆的线应变：

§5-5、材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能

材料力学性能是指材料受外力作用时在强度和变形方面表现的各种特性。

如弹性模量E、泊松比μ以及极限应力等。

材料的力学性能是通过实验得到的。

介绍工程中广泛使用的两种金属材料：

低碳钢和铸铁在常温、静载（缓慢加载）下受轴向拉伸和压缩时的力学性能。

一、材料拉伸时的力学性能：

1、低碳钢的拉伸试验：

标准试件：

圆形面试件或矩形截面试件。

标距l0：

试件的有效工作总长度称为标距。

对圆形试件：

l0=10d或l0=5d；对矩形截面试件：

l0=11.3

或l0=5.65

。

试验：

将低碳钢制成的标准件安装在试验机上，开动机器缓慢加载，直至试件拉断为止。

试验机的自动绘图装置会将试验过程中的载荷P和对应的伸长量绘成曲线图，称为拉伸图。

为了消除试件原始几何尺寸的影响，常用应力作为纵坐标，应变作为横坐标，得到材料拉伸时的应力——应变曲线图。

将低碳钢的应力——应变曲线分成四个阶段：

（1）、弹性阶段：

（2）、屈服阶段：

（3）、强化阶段：

（4）、缩颈阶段：

试件拉断后，弹性变形消失了，只剩下残余变形，残余变形标志着材料的塑性。

工程中常用伸长率δ和断面收缩率ψ作为材料的二个塑性指标：

%

%

一般把δ>5%的材料称为塑性材料，把δ<5%的材料称为脆性材料，低碳钢的伸长率δ=20%~30%，是塑性材料。

2、铸铁的拉伸试验：

铸铁是脆性材料，其拉伸应力——应变曲线如图所示，图中无明显的直线部分，但应力较小时接近直线，可近似认为服从虎克定律。

工程上有时以曲线的某一割线的斜率作为弹性模量。

铸铁拉伸时无屈服现象和缩颈现象，断裂是突然发生的，强度极限是衡量铸铁强度的唯一指标。

二、材料在压缩时的力学性能：

1、低碳钢的压缩试验：

2、铸铁的压缩试验：

§5-6、许用应力和安全系数

一、许用应力：

许用应力——在强度计算中，把材料的极限应力除以一个大于1的系数n（称为安全系数），作为构件工作时所允许的最大应力，称为材料的许用应力，以[σ]表示。

二、安全系数：

1、安全系数的确定：

（1）、考虑载荷变化，构件加工精度不够，计算不准确，工作环境的变化；

（2）、考虑材料的性能差异及材质的均匀性。

2、安全系数的选取：

（1）、原则：

安全又经济。

（2）、安全系数的选取：

§5-7、轴向拉伸和压缩的强度计算

一、轴向拉伸和压缩时强度条件：

为了保证构件在外力作用下安全可靠地工作，必须使构件的最大工作应力小于材料的许用应力，即：

。

1、强度校核：

直接应用公式，若杆件满足强度条件，就能安全工作，否则，因强度不够而不安全。

2、设计截面：

将公式改成：

，即可确定杆件所需的横截面面积。

3、确定许用载荷：

可先由静力平衡方程求出杆件的内力与外力之间的关系，再代入：

N≤A[σ]，就可确定出杆件或结构所能承受的最大许可载荷。

二、举例：

1、某厂车间自行研制的一台悬臂吊车，其结构尺寸如图所示，电动葫芦能沿横杆AB移动。

已知电动葫芦和吊重共计20KN，以Q表示，拉杆BC用A3圆钢，其直径d=20mm，许用应力[σ]=120Mpa。

问：

（1）、校核该拉杆的强度。

（2）、若该杆的强度不足，可提出怎样的解决办法？

解：

（1）、取B点为研究对象，画出其受力图。

由∑Fy=0：

RBCsinα-Q=0。

解得：

RBC=Q/sinα。

在△ABC中，sinα=AC/BC=1.5/3.35，代入上式得：

RBC=44.66KN。

∴Nmax=RBC=44.66KN。

校核BC杆的强度：

σ=Nmax/ABC=4X44.66X103/πd2=4X44.66X103/πX202=142Mpa>[σ]=120Mpa。

∴BC杆的抗拉强度不足。

（2）、可提出如下办法来满足BC杆的强度要求：

①：

选用较好的材料，如可选用45号钢，其抗拉的许用应力[σ]=220Mpa。

②：

增大BC杆的直径，从而增大BC杆的横截面面积。

∵A≥Nmax/[σ]，A=πd2/4。

∴πd2/4≥Nmax/[σ],

∴

，取整圆d=22mm。

③：

当该吊杆结构已设计好，工作的载荷在可减轻的情况下，可提出第三种办法：

减轻吊重。

∵Nmax≤[σ]ABC=120Xπd2/4=120XπX202/4=37699（N），

Nmax=RBC=Qmax/sinα→Qmax=RBCsinα=37699X1.5/3.35=16889N。

2、一钢木结构如图所示。

AB为木杆，其截面面积

，许用应力[σ]1=7Mpa；BC杆为钢杆，其截面面积

，许用应力[σ]2=160Mpa，求该结构在B处可吊的最大载荷P。

解：

（1）、先由AB杆的最大内力求出最大载荷P1。

由：

σ=NAB/A1≤[σ]1。

∴NAB≤A1[σ]1=7X10X103=7X104N。

取B点为研究对象，画出其受力图。

列平衡方程式：

∑Fx=0：

NAB–NBCcos300=0……………

（1）

∑Fy=0：

NBCsin300-P1=0。

…………….

（2）

联立

（1）、

（2）式得：

P1=4.04X104N。

（2）、再由BC杆的最大内力求出最大载荷P。

∵σ=NBC/A2≤[σ]2。

得：

NBC≤A2[σ]2=160X0.6X103=9.6X104N。

列平衡方程式：

∑Fy=0：

NBCsin300-P2=0

得：

P2=4.8X104N。

（3）、比较P1和P2：

∵P1=4.04X104N

∴取最大载荷为P1=4.04X104N。

§5-8、拉压超静定问题简介

一、静定问题：

1、概念：

静定问题——杆件的约束反力和杆件的内力可以用静力学平衡方程求出，这类问题称为静定问题。

2、举例：

二、超静定问题：

1、概念：

超静定问题——构件的约束反力或杆件的数目多于静力平衡方程的数目，因而仅用平衡方程不能求解，这类问题称为超静定问题。

2、举例：

3、静不定次数：

未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数。

三、变形谐调条件：

求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系，即变形谐调条件，列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（虎克定律）建立所需的补充方程。

四、举例：

1、图所示为两端固定的杆。

在C、D两端处有一对力P作用，杆的横截面面积为A，弹性模量为E，求A、B处支座反力，并作轴力图。

解：

假设A、B处的约束反力如图所示：

据此列出平衡方程：

∑Fx=0：

RA-P+P-RB=0。

得：

RA=RB……………

（1）。

因式中含有两个未知量，不能解出，还需列一个补充方程。

显然，杆件各段变形后，由于约束的限制，总长度保持不变，故变形谐调条件为：

△l1+△l2+△l3=0。

依虎克定律，得到变形的几何方程为：

整理后得：

2RA+RB=P……………….

（2）。

将

（1）式代入

（2）式，可解得：

RA=RB=P/3。

2、如图所示结构中，梁AB可视为刚体，其弯曲变形可忽略不计，杆1为钢质圆杆，直径d1=20mm，其弹性模量E1=200Gpa，杆2为铜杆，其直径d2=25mm，弹性模量E2=100Gpa，不计刚梁AB的自重，试求：

（1）、载荷P加在何处，才能使刚梁AB受力后保持水平？

（2）、若此时P=30KN，求两杆内横截面上的正应力？

解：

（1）、选取刚梁AB为研究对象，画出其受力图。

∑Fy=0：

NA-P+NB=0。

………….

（1）

∑mA（F）=0：

-PX+NBX2=0……………

（2）

变形谐调条件为：

△l1=△l2。

即：

（虎克定律）

解得：

NA=0.8533NB………………（3）

由

（1）代入

（2）得：

X=2NB/（NA+NB）。

由（3）代入上式得：

X=1.08m。

（2）、由

（2）式得：

NB=PX/2=30X1.08/2=16.2KN。

NA=P-NB=13.8KN。

∴σ1=NA/A1=13.8X4/πx（0.02）2=43.9Mpa。

σ2=NB/A2=16.2X4/πx（0.025）2=33Mpa。

§5-9、应力集中的概念

一、应力集中的概念：

在杆件截面突变处附近的小范围内，应力的数值急剧增大，而离开这个区域稍远处，应力就大为降低，并趋于均匀分布，这种现象称为应力集中。

二、应力集中系数：

应力集中的程度用理论应力集中系数α表示：

应力集中系数值取决于截面的几何形状与尺寸，截面尺寸改变越急剧，应力集中的程度就越严重。

因此，杆件上应尽量避免带尖角、槽或小孔，在阶梯轴肩处，过渡圆弧的半径以尽可能大些为好。

塑性材料对应力集中不敏感，实际工程计算中可按均匀分布计算。

脆性材料因无屈服阶段，当应力集中处的最大应力达到强度极限时，该处首先产生裂纹。

因此，脆性材料对应力集中十分敏感，必须考虑应力集中的影响。