与名师对话理空间向量及其运算.docx

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与名师对话理空间向量及其运算

第六节　空间向量及其运算

高考概览：

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．

[知识梳理]

1．空间向量的有关概念

名称

概念

表示

零向量

模为0的向量

0

单位向量

长度（模）为1的向量

相等向量

方向相同且模相等的向量

a＝b

相反向量

方向相反且模相等的向量

a的相反向量为－a

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

a∥b

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

（1）共线向量定理

空间两个向量a与b（b≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

（2）共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：

p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．

（3）空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

（1）数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

（2）空间向量数量积的运算律

①（λa）·b＝λ（a·b）；

②交换律：

a·b＝b·a；

③分配律：

a·（b＋c）＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

（1）设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）.

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a＝λb（b≠0，λ∈R）

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直

a·b＝0

（a≠0，b≠0）

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模

|a|

夹角

〈a，b〉

（a≠0，b≠0）

cos〈a，b〉＝

（2）设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）．

①＝－＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1）；

②||＝＝

.

[辨识巧记]

　四个注意点

（1）零向量不可以作为基向量．

（2）基底选定后，空间的所有向量都可由基底唯一表示．

（3）空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算．

（4）空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）空间中任意两非零向量a，b共面．（　　）

（2）对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.（　　）

（3）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．（　　）

（4）若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）×

2．已知a＝（1,5，－2），b＝（m,2，m＋2），若a⊥b，则m的值为（　　）

A．0B．6C．－6D．±6

[解析]　因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2（m＋2）＝0，

解得m＝6.

[答案]　B

3．（选修2－1P97A组T2改编）如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c

C．－a－b－c

D．－a－b＋c

[解析]　＝＋＝＋（＋）

＝＋＋＝－a－b－c.故选C.

[答案]　C

4．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则（　　）

A．m，n，p共线B．m与p共线

C．n与p共线D．m，n，p共面

[解析]　由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，

即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．

[答案]　D

5．已知向量a＝（1,2,3），b＝（x，x2＋y－2，y），并且a，b同向，则x，y的值分别为________．

[解析]　由题意知a∥b，所以＝＝，

即　　　　　　　

把①代入②得x2＋x－2＝0，（x＋2）（x－1）＝0，

解得x＝－2或x＝1.

当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.

当时，b＝（－2，－4，－6）＝－2a，

两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．

当时，b＝（1,2,3）＝a，a与b同向，所以

[答案]　1,3

考点一　空间向量的线性运算

【例1】　如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝

a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

（1）；

（2）＋.

[解]　

（1）因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b.

（2）因为M是AA1的中点，所以＝＋

＝＋

＝－a＋a＋c＋b＝a＋b＋c.

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a.

所以＋＝a＋b＋c＋a＋c

＝a＋b＋c.

（1）选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求．用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算．

（2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．

[对点训练]

　已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，

且使MG＝2GN，用向量，，表示向量.

[解]　＝＋＝＋＝＋（＋）

＝＋

＝＋＋.

考点二　空间向量的共线、共面问题

【例2】　

如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证：

E、F、G、H四点共面．

[思路引导]　→→

[证明]　取＝a、＝b、＝c，则＝＋＋＝＋2＋

＝b－a＋2a＋（＋＋）＝b＋a＋（b－a－c－a）＝b－c，

∴与b、c共面，即E、F、G、H四点共面．

　证明三点共线和四点共面的方法

三点（P，A，B）共线

空间四点（M，P，A，B）共面

＝λ

＝x＋y

对空间任一点O，＝＋t

对空间任一点O，＝＋x＋y

对空间任一点O，＝x＋（1－x）

对空间任一点O，＝x＋y＋（1－x－y）

[对点训练]

　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）．

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC内．

[解]　

（1）由已知＋＋＝3，

∴－＝（－）＋（－）．

即＝＋＝－－，

∴，，共面．

（2）由

（1）知，，共面且过同一点M.

∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．

考点三　空间向量的数量积及应用

空间向量的数量积的运算是向量知识的重点，可以解决长度、角度、垂直等问题，难度适中，重在计算能力的培养．

常见的命题角度有：

（1）求长度；

（2）求夹角；

（3）证垂直．

角度1：

求长度

【例3－1】　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．

[解]　∵AB与CD成60°角，

∴〈，〉＝60°或120°.

又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，

∴||＝＝

＝

＝

＝，∴||＝2或.

∴BD的长为2或.

角度2：

求夹角

【例3－2】　已知空间四边形OABC各边及对角线长AC，OB都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．

[解]　

如图所示，设＝a，＝b，＝c，

且设各棱长及对角线长均为1，故|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，且||＝||＝.

∴·＝（＋）·（－）

＝a＋b·c－b

＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－，

∴cos〈，〉＝＝－.

∵异面直线所成角的范围为0，，

∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.

角度3：

证垂直

【例3－3】　

如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．求证：

MN⊥AB，MN⊥CD.

[证明]　设＝p，＝q，＝r.

由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.

＝－＝（＋）－＝（q＋r－p），

∴·＝（q＋r－p）·p

＝（q·p＋r·p－p2）

＝（a2cos60°＋a2cos60°－a2）＝0.

∴⊥.即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.

　数量积有以下三方面应用

（1）求长度（距离）：

运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．

（2）求夹角：

设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．

（3）证垂直：

利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

[对点训练]

1.

已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为________cm.

[解析]　设＝a，＝b，＝c

由已知条件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6

〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°

||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2

＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c

＝68，则||＝2.

[答案]　2

2.

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

（1）求的长；

（2）求与夹角的余弦值．

[解]　

（1）记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝.

||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×＋＋＝6，

∴||＝，即AC1的长为.

（2）＝b＋c－a，＝a＋b，

∴||＝，||＝，

·＝（b＋c－a）·（a＋b）

＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，

∴cos〈，〉＝＝.

即与夹角的余弦值为.

课后跟踪训练（五十）

基础巩固练

一、选择题

1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋（＋）等于（　　）

A.B.C.D.

[解析]　依题意有＋（＋）＝＋＝.

[答案]　A

2．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2），则|AB|的最小值为（　　）

A．3B．3C．2D．2

[解析]　|AB|＝

＝＝，

当a＝－1时，|AB|min＝＝3.

[答案]　B

3．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（　　）

A.B.C.D.

[解析]　设P（x，y，z）,由题意可知

∴x2＋y2＋z2＝，∴＝.

[答案]　A

4．已知a＝（λ＋1,0,2），b＝（6,2μ－1,2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　）

A．2，B．－，

C．－3,2D．2,2

[解析]　因为a＝（λ＋1,0,2），b＝（6,2μ－1,2λ）

a∥b，所以2μ－1＝0，解得μ＝，

＝，解得λ＝2或λ＝－3，

所以λ与μ的值可以是：

2，或－3，，

故选A.

[答案]　A

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

[解析]　由AC⊥b，BD⊥b⇒AC⊥CD，BD⊥CD，

故可得·＝0，·＝0，

∴·＝（＋＋）·

＝·＋||2＋·

＝0＋||2＋0＝1

∴cos〈，〉＝＝，

故向量，的夹角为60°，

∴a与b的夹角为60°.故选C.

[答案]　C

二、填空题

6．已知点A（1,2,1），B（－1,3,4），D（1,1,1），若＝2，则||的值是________．

[解析]　设P（x，y，z）则＝（x－1，y－2，z－1）

＝（－1－x,3－y,4－z）

由＝2知x＝－，y＝，z＝3

∴P.又D（1,1,1），

由两点间距离公式可得||＝.

[答案]　

7．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.

[解析]　由P与A，B，C三点共面，所以＋＋λ＝1，解得λ＝.

[答案]　

8.

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为__________．

[解析]　由图可知，＝＋＝＋＝＋（－）＝c＋（b－a）＝－a＋b＋c.

[答案]　－a＋b＋c

三、解答题

9.

如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：

B、G、N三点共线．

[证明]　设＝a，＝b，＝c，

∵M为△BCD的重心，

∴＝（＋＋）＝（a＋b＋c），

则＝＋＝＋

＝－a＋（a＋b＋c）＝－a＋b＋c，

∵＝＋＝＋（＋）

＝－a＋b＋c＝.

∴∥，又有公共点B，即B、G、N三点共线．

10.

直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．

（1）求证：

CE⊥A′D；

（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

[解]　

（1）证明：

设＝a，＝b，＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴＝b＋c，＝－c＋b－a.

∴·＝－c2＋b2＝0，

∴⊥，即CE⊥A′D.

（2）＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.

·＝（－a＋c）·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

能力提升练

11．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（4,2,3），则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是（　　）

A．（4,0,3）B．（3,1,3）

C．（1,2,3）D．（2,1,3）

[解析]　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（x，y，z），则p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，又p＝4a＋2b＋3c，故（x＋y）a＋（x－y）b＋zc＝4a＋2b＋3c，由于a，b，c不共面，所以根据空间向量基本定理，x＋y＝4，x－y＝2，z＝3，即x＝3，y＝1，z＝3，即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是（3,1,3）．

[答案]　B

12．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为（　　）

A．a2B.a2C.a2D.a2

[解析]　如图，设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.

＝（a＋b），＝c，

∴·＝（a＋b）·c

＝（a·c＋b·c）＝（a2cos60°＋a2cos60°）＝a2.

[答案]　C

13．已知空间三点A（1,1,1），B（－1,0,4），C（2，－2,3），则与的夹角θ的大小是________．

[解析]　因为＝（－2，－1,3），＝（－1,3，－2），

所以cos〈，〉＝＝

＝＝－.

又0°≤〈，〉≤180°，所以θ＝〈，〉＝120°.

[答案]　120°

14.

（2019·济南月考）如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.

（1）求线段AC1的长；

（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．

[解]　

（1）设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.

∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，

∴||＝|a＋b＋c|＝

＝

＝＝.

∴线段AC1的长为.

（2）设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，

·＝（a＋b＋c）·（b－c）

＝a·b＋|b|2＋b·c－a·c－b·c－|c|2

＝0＋1＋1－22＝－2，

||＝

＝

＝＝，

∴cosθ＝＝＝.

故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.

拓展延伸练

15．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为（　　）

A．－1B．0C．1D．2

[解析]　在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝·＋（＋）·（－）＋·＝·＋·＋·－·＝·（＋）＋·（－）＝·＋·＝0.

[答案]　B

16．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A（2,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），D（1,1，）．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）

A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3

C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1

[解析]　根据题目条件，在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥D－ABC，如图，显然S1＝S△ABC＝×2×2＝2，S2＝S3＝×2×＝.

故选D.

[答案]　D