中考数学高频考点剖析专题4代数之方程组问题原卷.docx
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中考数学高频考点剖析专题4代数之方程组问题原卷
备考2019中考数学高频考点剖析
专题四代数之方程（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
方程和方程组问题，是历年中考的必考内容之一，考查的知识点包括一元一次方程、二元一次方程组、分式方程及其一元二次方程四个方面，总体来看，难度系数低，整式方程以选择填空为主，分式方程以计算为主，综合不等式进行考查，解析题也是重点考查内容。
也有少量的解析题。
解析题主要以二元一次方程和其它方程的综合为主。
结合2018年全国各地中考的实例，我们从四方面进行方程与方程组问题的探讨：
（1）一元一次方程；
（2）二元一次方程组；
（3）分式方程．
（4）一元二次方程
考点剖析☆典型例题
例1（2018·吉林长春·7分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：
如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．
（1）求每套课桌椅的成本；
（2）求商店获得的利润．
【分析】
（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据利润=销售收入﹣成本结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：
（1）设每套课桌椅的成本为x元，
根据题意得：
60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，
解得：
x=82．
答：
每套课桌椅的成本为82元．
（2）60×（100﹣82）=1080（元）．
答：
商店获得的利润为1080元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（2）根据数量关系，列式计算．
例2（2018·湖北十堰·3分）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：
“今有共买物，人出八，盈三：
人出七，不足四，问人数、物价几何？
”意思是：
现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：
如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？
设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（ ）
A．
B．
C．
D．
=
【分析】设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可．
【解答】解：
设有x人，物品的价格为y元，
根据题意，可列方程：
，
故选：
A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
例3（2018·辽宁省沈阳市）（8.00分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2.3.4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【解答】解：
（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：
400（1﹣x）2=361，
解得：
x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：
每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：
预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据数量关系，列式计算．
例4（2018
·辽宁省盘锦市）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
【解答】解：
（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得：
=1.5×
，解得：
x=25，经检验，x=25是原分式方程的解．
答：
第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：
500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，解得：
y≥35．
答：
每套悠悠球的售价至少是35元．
例5（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的
倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
【分析】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为
x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作
天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为
x米，
根据题意得：
﹣
=3，
解得：
x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴
x=
×40=60．
答：
乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作
天，
根据题意得：
7m+5×
≤145，
解得：
m≥10．
答：
至少安排甲队工作10天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；
（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
考点过关☆专项突破
类型一一元一次方程
1.（2018•湖北恩施•3分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元
2.（2018·湖北省武汉·3分）将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2019B．2018C．2016D．2013
3.（2018·浙江省台州·4分）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
4.（2018·湖南省常德·3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：
每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 ．
5.（2018·湖北江汉·3分）某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动，现准备将6000件生活物资发往A，B两个贫困地区，其中发往A区的物资比B区的物资的1.5倍少1000件，则发往A区的生活物资为 件．
6.（2018·山东临沂·3分）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？
我们以无限循环小数0.为例进行说明：
设0.=x，由0.=0.7777…可知，l0x=7.7777…，所以l0x﹣x=7，解方程，得x=
，于是．得0.=
．将0.
写成分数的形式是 ．
7.（2018•安徽•分）《孙子算经》中有过样一道题，原文如下：
“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？
”大意为：
今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？
请解答上述问题.
8.（2018·江苏镇江·6分）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的
，这两天共读了整本书的
，这本名著共有多少页？
类型二二元一次方程组
1.（2018·辽宁大连·3分）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：
100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？
设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为．
2．（2018·湖北荆州·3分）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：
“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
”译文：
“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？
”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2018·山东泰安·3分）夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？
若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2018·新疆生产建设兵团·5分）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2018·广东广州·3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：
“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？
”意思是：
甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13辆（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？
设每枚黄金重x辆，每枚白银重y辆，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2018·四川自贡·4分）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个．
7.（2018·山东青岛·3分）5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为 ．
8.（2018•湖南省永州市•10分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
9.（2018•江苏扬州•8分）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：
a⊗b=2a+b．例如3⊗4=2×3+4=10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，求x+y的值．
10.（2018·湖北省宜昌·7分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：
“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：
有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
请解答．
类型三分式方程
1．解方程：
=
+1．
2．（2018·云南省昆明·4分）甲、乙两船从相距300km的A.B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
3．（2018·辽宁省阜新市）甲、乙两地相距600km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意可列方程为（ ）
A．
=4 B．
=4
C．
=4 D．
=4×2
4.（2018·浙江舟山·4分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10％，若设甲每小时检x个，则根据题意，可列出方程：
________。
5.（2018·新疆生产建设兵团·5分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的
倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元．
6.（2018·云南省曲靖）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
7.（2018·云南省·6分）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
8.（2018·广西梧州·10分）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A.B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．
（1）求A.B两种型号电动自行车的进货单价；
（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；
（3）该商店如何进货才能获得最大利润？
此时最大利润是多少元？
类型四一元二次方程
1.（2018·广西梧州·6分）解方程：
2x2﹣4x﹣30=0．
2.（2018·四川宜宾·3分）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2%B．4.4%C．20%D．44%
3.（2018·辽宁大连·3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
4.（2018四川省绵阳市）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A.9人B.10人C.11人D.12人
5.（2018•湖北黄冈•3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
6.（2018•江苏盐城•10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
7.（2018·重庆市B卷）（10.00分）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：
2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：
2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：
从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
类型五方程与方程组及其它方程的综合应用
1.（2018•乐山•10分）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．
（1）求证：
无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在
（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
2.（2017重庆B）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
3.（2018·广东广州·14分）已知抛物线
。
（1）证明：
该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在圆P上。
①试判断：
不论m取任何正数，圆P是否经过y轴上某个定点？
若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由；
②若点C关于直线
的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为，圆P的半径记为，求
的值。
4.（2018·湖北省宜昌·10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：
生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在
（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
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