课时1导数的概念及运算.docx

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课时1导数的概念及运算

课时1导数的概念及运算

课时目标：

了解导数的概念，理解导数的几何意义，能用导数定义，求函数y＝c，y＝x，

，

的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

知识梳理：

1.导数与导函数的概念

（1）设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），若Δx无限趋近于0时，比值

＝

无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数（derivative），记作.

（2）如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在（a，b）内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f（x）在开区间内的导函数.记作f′（x）或y′.

2.导数的几何意义

函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k＝.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f（x）＝C（C为常数）

f′（x）＝

f（x）＝xα（α为常数）

f′（x）＝

f（x）＝sinx

f′（x）＝

f（x）＝cosx

f′（x）＝

f（x）＝ex

f′（x）＝

f（x）＝ax（a>0，a≠1）

f′（x）＝

f（x）＝lnx

f′（x）＝

f（x）＝logax（a>0，a≠1）

f′（x）＝

4.导数的运算法则

若f′（x），g′（x）存在，则有

（1）[f（x）±g（x）]′＝

（2）[f（x）·g（x）]′＝

（3）[

]′＝

5.复合函数的导数

若y＝f（u），u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.

基础自测：

1.（教材改编）若f（x）＝x·ex，则f′

（1）＝.

2.（教材改编）①（cosx）′＝sinx；②若y＝

，则y′＝－

；③（－

）′＝

.其中正确的个数是.

3.（教材改编）曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线方程为.

典型例题：

题型一　导数的计算

例1　求下列函数的导数.

（1）y＝x2sinx；

（2）y＝lnx＋

；（3）y＝

；

（4）y＝sin（2x＋

）；（5）y＝ln（2x－5）.

小结：

例2　

（1）（2016·南通一调）在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2（x>0）和y＝x3（x>0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则

的值为.

（2）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，－1），并且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的方程为.

小结：

课堂训练：

（1）f（x）＝x（2016＋lnx），若f′（x0）＝2017，则x0＝.

（2）若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′

（1）＝2，则f′（－1）＝.

（3）已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为.

课堂小结：

布置作业：

课时2导数的运算

课时目标：

掌握导数运算的相关方法

基础自测：

1、（教材改编）若过曲线y＝

上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为.

2、（教材改编）函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有条.

典型例题

命题点1　求参数的值

例1　

（1）（2016·徐州模拟）函数y＝ex的切线方程为y＝mx，则m＝.

（2）（2016·苏州暑假测试）已知函数f（x）＝x－1＋

，若直线l：

y＝kx－1与曲线y＝f（x）相切，则实数k＝.

命题点2　导数与函数图象的关系

例2　

如图，点A（2，1），B（3，0），E（x，0）（x≥0），过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f（x）的图象为下图中的.

小结：

例3若存在过点O（0，0）的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.

小结：

课堂训练：

（1）（2016·泰州模拟）已知曲线y＝

－3lnx的一条切线的斜率为

，则切点的横坐标为.

（2）（2016·昆明模拟）设曲线y＝

在点（

，1）处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝.

课堂小结：

布置作业：

课时3用导数研究函数的单调性

课时目标：

掌握利用导数判断函数单调性及求单调区间的方法.

知识梳理：

函数的单调性

在某个区间（a，b）内，如果f′（x）0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减.

基础自测：

1.（教材改编）f（x）＝x3－6x2的单调递减区间为______.

2.（教材改编）函数f（x）＝x－2sinx在（0，π）上的单调递增区间为____________.

3.（教材改编）函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________.

典型例题：

题型一　不含参数的函数的单调性

例1　

（1）函数y＝

x2－lnx的单调递减区间为______.

（2）已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f（x）的单调递增区间是________________.

小结：

题型二　含参数的函数的单调性

例2　（2016·江苏新海中学月考改编）已知函数f（x）＝2x3＋

tx2－3t2x＋

（t≠0），求f（x）的单调区间.

小结：

课堂训练：

（1）函数y＝4x2＋

的单调增区间为____________.

（2）已知函数f（x）＝xlnx，则下面关于函数f（x）单调性的判断正确的是________.

①在（0，＋∞）上递增；②在（0，＋∞）上递减；

③在（0，

）上递增；④在（0，

）上递减.

（3）讨论函数f（x）＝（a－1）lnx＋ax2＋1的单调性.

课堂小结：

布置作业：

课时4用导数研究函数的单调性

（2）

课时目标：

掌握函数单调性及单调区间的求法.

典型例题：

例1　（2016·南通模拟）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝

ax2＋2x（a≠0）.

（1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.

变式训练：

1.本题

（2）中，若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1，4]上单调递增，求a的取值范围.

2.本题

（2）中，若h（x）在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.

小结：

例2已知函数f（x）＝exlnx－aex（a∈R）.

（1）若f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线y＝

x＋1垂直，求a的值；

（2）若f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围.

小结：

例3已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）＋ax2＋bx，其中函数g（x）的图象在点（1，g

（1））处的切线平行于x轴.

（1）确定a与b的关系；

（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性.

小结：

课堂训练：

1.（2015·课标全国Ⅱ改编）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>0时，xf′（x）－f（x）＜0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是________________.

2.

已知函数y＝f（x）在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为______________.

3.（2016·苏州模拟）若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为（－1，3），则b＋c＝________.

4.若函数f（x）＝－

x3＋

x2＋2ax在[

，＋∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是________.

课堂小结：

布置作业：

课时5函数的极值

课时目标：

掌握函数求极值、最值的方法.

知识梳理：

函数的极值

（1）求函数y＝f（x）的极值的方法

一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f（x0）是极小值.

（2）求可导函数极值的步骤：

①求f′（x）；

②求方程的根；

③考察f′（x）在方程的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得.

基础自测：

1.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f

（2）＝________.

2.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________.

3.函数f（x）＝x3－3a2x＋a（a>0）的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________.

典型例题：

命题点1　根据函数图象判断极值

例1　

（1）（2016·淮安模拟）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能是________.

（2）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________.

①函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f

（1）；

②函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（1）；

③函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f（－2）；

④函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（2）.

小结：

命题点2　求函数的极值

例2　设a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.

（1）求f（x）的极值；

（2）是否存在实数a，使得方程f（x）＝0恰好有两个实数根？

若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.

小结：

命题点3　已知极值求参数

例3　

（1）若函数f（x）＝

在x＝1处取极值，则a＝________.

（2）（2016·南京学情调研）已知函数f（x）＝

x3＋x2－2ax＋1，若函数f（x）在（1，2）上有极值，则实数a的取值范围为________.

小结：

课堂训练：

（1）函数f（x）＝（x2－1）2＋2的极值点是______________.

（2）函数y＝2x－

的极大值是________.

（3）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________________.

课堂小结：

布置作业：

课时6用导数研究函数的最值

课时目标：

会求一些实际问题的最大值及最小值.

知识梳理：

函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值.

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值.

（3）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

第一步　求f（x）在区间（a，b）上的极值；

第二步　将第一步中求得的极值与f（a），f（b）比较，得到f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值.

基础自测：

1.函数f（x）＝

＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是________.

2.（2016·徐州模拟）已知函数f（x）＝

x3－x2－x＋m在[0，1]上的最小值为

，则实数m的值为________.

3.若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.

典型例题：

例1　已知a∈R，函数f（x）＝

＋lnx－1.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）求f（x）在区间（0，e]上的最小值.

小结：

例2　已知函数f（x）＝

（1）求f（x）在区间（－∞，1）上的极小值和极大值点；

（2）求f（x）在[－1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值.

小结：

例3已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a>0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值.

小结：

课堂训练：

（1）设函数f（x）＝x3－

－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f（x）>a，则实数a的取值范围是________________.

（2）若函数f（x）＝

x3＋x2－

在区间（a，a＋5）上存在最小值，则实数a的取值范围是________.

（3）.（2016·扬州模拟）函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx－34（a，b，c∈R）的导函数为f′（x），若不等式f′（x）≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，f（x）的极小值等于－115，则a的值是________.

课堂小结：

布置作业：

第7课时　导数与函数的综合问题

课时目标：

会利用导数研究函数的有关性质.

基础自测：

1.函数f（x）＝（x－1）2（x－2）2的极大值是________.

2.已知曲线y＝x2＋alnx（a>0）上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为________.

3.如果不等式

≤

对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围为____________.

典型例题：

命题点1　解不等式

例1　设f（x）是定义在R上的奇函数，f

（2）＝0，当x>0时，有

<0恒成立，则不等式x2f（x）>0的解集是________________.

小结：

命题点2　证明不等式

例2　（2016·全国丙卷）设函数f（x）＝lnx－x＋1.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：

当x∈（1，＋∞）时，1<

（3）设c>1，证明：

当x∈（0，1）时，1＋（c－1）x>cx.

小结：

命题点3　不等式恒成立或有解问题

例3　已知函数f（x）＝

.

（1）若函数f（x）在区间（a，a＋

）上存在极值，求正实数a的取值范围；

（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

恒成立，求实数k的取值范围.

小结：

变式训练：

本题

（2）中，若改为存在x0∈[1，e]，使不等式f（x）≥

成立，求实数k的取值范围.

课堂训练：

1.（2015·福建）已知函数f（x）＝lnx－

.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）证明：

当x＞1时，f（x）＜x－1；

（3）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x－1）.

课堂小结：

布置作业：

第8课时　导数与函数的综合问题

课时目标：

会利用导数处理实际问题.

基础自测：

1.若商品的年利润y（万元）与年产量x（百万件）的函数关系式：

y＝－x3＋27x＋123（x>0），则获得最大利润时的年产量为________百万件.

2.（2017·南京质检）直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋1的图象及g（x）＝2x－1的图象相交于点A和点B，则AB的最小值为________.

3.已知函数f（x）＝

若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是____________.

典型例题：

题型一利用导数研究函数零点问题

例1　（2016·扬州模拟）设函数f（x）＝xex－asinxcosx（a∈R，其中e是自然对数的底数）.

（1）当a＝0时，求f（x）的极值；

（2）若对于任意的x∈[0，

]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间（0，

）上有两个零点？

若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

小结：

题型二　利用导数研究生活中的优化问题

例2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝

＋10（x－6）2，其中3

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

小结：

例3设f（x）＝

＋xlnx，g（x）＝x3－x2－3.

（1）如果存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（2）如果对于任意的s，t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围.

小结：

课堂训练：

1.（2016·南通模拟）已知函数f（x）＝a＋

lnx（a∈R）.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

2.（2016·苏北四市调研）经市场调查，某商品每吨的价格为x（1

a2－a（a>0）；月需求量为y2万吨，y2＝－

x2－

x＋1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.

（1）若a＝

，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？

（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围.

课堂小结：

布置作业：