指数对数概念和运算公式.docx

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指数对数概念和运算公式

指数函数及对数函数重难点

根式的概念:

①定义：

若一个数的n次方等于a（n.1,且n∙N”），则这个数称a的n次方根.即，若

Xn=a,则X称a的n次方根n•1且n∙N"），

1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

a有两个n次方根且互为相反数，记

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数作

-n.a（a0）.

幕的有关概念:

m

A（PQ,4）an=nam（a0,m、nN*且n1）

a

rSrS

2）（a）^a（a0,r、SQ），

3）（ab）r=ar

br（a0,b0,r

（注）上述性质对

S∙R均适用.

例求值

例.化简求值

（1）

27、；

■（0.002）^2-10（∙.5-2）「（2-∙.3）°

（2）

（0.0273）

丄5]_∣2560∙125+（J2）5+0.1」I

」-一

（3）

3a「a_」a厂3a1—

（5）

1.72.5与1.73

/21、

2a廿

（11W

-6a2b3∣÷-3a6b6

L丿

I）I）

2331.5612=

指数函数的定义：

①定义：

函数y=ax（a0,且a=1）称指数函数，

1）函数的定义域为R,

2）函数的值域为（0,：

：

）,

3）当0：

：

：

a：

：

：

1时函数为减函数，当a1时函数为增函数

（1）

X2

y=2

（2）

X

y=（-2）

X

（3）y--2

（4）

X

y二■：

：

.

（5）

2

y二X

2

（6）y=4x

（7）

X

y二X

（8）

y=（a-1）x

（a>1,且a=2）

提问：

在下列的关系式中,

哪些不是指数函数，为什么?

例：

比较下列各题中的个值的大小

（1）

（2）。

护与0.8”

（3）1.70.3与0.93.1

例：

已知指数函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象过点（3,∏）,求

f（0）,f

（1）,f（-3）的值.

思考：

已知a=0.8°.7,b=0.80.9,C二1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.

例如图为指数函数

（1）y=ax,

（2）y=bx,（3）y

a,b,c,d与1的大小关系为

cx,⑷y=dx

（A）

a：

：

：

b：

：

：

1：

：

：

C：

：

:

d

（B）

b■a：

：

：

1：

：

：

d：

：

：

C

（C）

1：

：

：

a：

：

：

I

b：

：

：

C：

：

：

d

（D）

a：

：

：

b：

：

：

1：

：

：

d：

：

：

C

2x-1

1、函数y

是（）

2x1

A、奇函数

B

、偶函数

C、

既奇又偶函数D、非奇非偶函数

2、函数y

1

的值域是（

）

2x-1

A、-：

：

1B、一:

：

0U0,C、_1,■：

：

D、（」：

-1）U0,：

：

3、已知0：

：

：

a：

：

：

1,b：

：

：

-1,则函数y=ax∙b的图像必定不经过（）

A第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

例•求函数y=1的值域和单调区间

12丿

21I

例若不等式3X^aX>（l）x+1对一切实数X恒成立，则实数a的取值范围为.

3

3XA-2χE（-°o,l]

•f（X）=」，贝Uf（X）值域为.

3—2χw（1,p）

考查分段函数值域.

【解析】x∈（_∞,1]时,x_1≤0,0<3≤1,

•••—2

x∈（1,+∞）时，1—x<0,0<31_X<1,•—2

∙∙∙f（x）值域为（一2,—1]

【答案】（一2,—1]

例、已知f（ex+e"）=e2x+e'x-2,则函数f（x）的值域是

例点（2,1）与（1,2）在函数fX=2axb的图象上，求fX的解析式

X-1IX_^|

例.设函数f（x）=2∣rI,求使f（x）-2∖2的X取值范围.

_2X+b

例已知定义域为R的函数f（X）X2r-b是奇函数。

2+a

（I）求a,b的值；

（∏）若对任意的rR,不等式f（t2-2t）∙f（2t2-k）<0恒成立，求k的取值范围;

对数的概念：

1定义：

如果a（a.0,且a"）的b次幕等于N,就是ab=N,那么数b称以a为底N的对数，记作IOgaN=b,其中a称对数的底，N称真数.

1）以10为底的对数称常用对数，Iog10N记作IgN，

2）以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称自然对数，logeN记作InN

2基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数），

2）Ioga1=0，

3）Iogaa=1，

4）对数恒等式：

alogaN=N

例利用对数恒等式alog

=N,求下列各式的值:

（1）

（I）IOg43.（丄严54_（!

）log35

（4）（5）（3）

Iog14Iog12

33亠10logo.012T7

25log52亠49∣og73T00lg"

⑷2log412_3log927-5皿3

③运算性质：

如果a∙0,a=0,M.0,N.0,则

1）IOga（MN）=IOgaMIOgaN；

2）IOgaM=IogaM-IOgaN；

N

3）IogaMrl=n∣ogaM（nR）.

④换底公式：

IOgaN=IOgmN（a0,a=0,m0,m=1,N0）,IOgma

1）IOgab∣Ogba=1,2）Iogambn=丄Iogab.

m

对数函数的运算规律

例.用IogaX，Iogay，Iogaz表示下列各式:

（1）Ioga翌；

Z

解:

（1）IogaXy

Z

TOga（Xy）-IogaZ

=IogaXIogay_logaz；

（2）logax3zy.

（2）Ioga学

耳Z

=Ioga（X2W）Toga逅

=IOgaX2Ioga、y-g3z

11

=2logax2logay）logaz

例.求下列各式的值：

（1）log24725；

（2）Ig5TQQ

解：

（1）原式=Iog247log225=7log245log22=7251=19；

1222

（2）原式=一Ig10Ig10=-

555

例.计算：

（1）Ig14-21g7Ig7-Ig18；

3

（3）1

（5）lg25+lg2∙Ig50+（lg2）2

（2）

⑷∣g2

Ig243

Ig9

•Ig50+（lg5）

72

解：

（1）Ig14—2lg§Ig7_lg18=∣g（27）-2（lg7-Ig3）Ig7-lg（322）

^lg2Ig7-2lg72lg3Ig7-2lg3-Ig^0；

（2）Ig243Ig355lg35

Ig9一Ig32一2Ig3一2

I-9

5

Og

1-8

3log125

2

Og

2

3

■4

11515

log23log32log22=

22444

例.求值：

⑴Q%3+l%3）Qo幻2+Iogg2）；

（2）-■-/-；

拖$

（3）⑶.

例.求值

（1）Iog89∙Iog2732

IOg2QOga32+1OgI-+log436）

⑶J

（4）（log2125+log425+log85）（log1258+log2s4+log52）

对数函数性质典型例题

例•比较下列各组数中两个值的大小：

（1）Iog23.4，log28.5；

（2）Iog0.3l.8，Iog0.32.7；

解：

（1）对数函数y=Iog2X在（0,=）上是增函数，

于是log23.4：

：

Iog28.5；

（2）对数函数y=log°.3X在（0,畑）上是减函数，

于是logo.3l∙8log°.32.7；

2、比较大小

Ioga兀∣ogae,（a>1）

12

（1）log22log2（a+a+1）

（2）

3若Ioga（a21）：

：

loga2a：

：

：

0,则a的取值范围是（）

11

（A）（0,1）（B）（O,/（C（亦）（D）（1,

4已知a=log0.70.8,b=log1.10.8,c=1.107,贝Ua,b,c的大小关系是（）

（A）a：

：

：

b：

：

C（B）b：

：

：

a：

：

：

C（C）c：

：

：

a■b（D）b：

：

：

c■a

例比较下列各组数中的两个值大小：

a5.1,loga5.9（a>0且a≠1）

c,d与1的大小关系?

提示：

作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.•••0

dv1

例求下列函数的定义域.

V7≡i

例•求函数y=Iog1（χ2-2x-3）的单调区间

2

解：

设y=logIU,U=X-∙2x-∙3,由U∙0得X-∙2x-∙3■0,知定义域为

2

2

（」：

，-1）-（3「：

）又U=（X-1）-4,则当X∙（」：

，T）时，u是减函数；当X∙（3,=）

时，U是增函数，而y=log1u在R■上是减函数

2

2

I（X2SxA）—I八、,

y=log1_

2

的单调增区间为（-°0,-1）,单调减区间为（3,+zlC）

例函数y=log0.52X-∣og0.5X+2的单调减区间是

2

例已知y=log4（2x+3—X）.

（1）求定义域；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）求y的最大值，并求取最大值时X值.

考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值.

2

【解】

（1）由2x+3—X>0,解得—1

∙∙∙f（X）定义域为{x∣—1

（2）令u=2x+3—X,则u>0,y=log4U由于u=2x+3—X2=—（X—1）2+4

再考虑定义域可知，其增区间是（一1,1）,减区间是［1,3）

又y=log4u为（0,+∞）增函数，

故该函数单调递增区间为［一1,1］,减区间为［1,3）

（3）τu=2x+3—X2=—（X—1）2+4≤4

∙y=log4u≤log44=1

故当x=1时，U取最大值4时，y取最大值1.

例求函数y=log3（x2∙6x10）的最小值.

2

变式•求函数f（x）=lg（-X∙8x-7）的定义域及值域.

例已知函数y=f（2x）定义域为[1,2],则y=f（log2X）的定义域为（）

A.:

1,2]B.:

4,16]C.[0,1]D.（—∞,0]

考查函数定义域的理解.

【解析】由1≤x≤2=∙2≤2x≤4,

∙y=f（x）定义域为[2,4]

由2≤log2X≤4,得4≤x≤16

【答案】B例作出下列函数的图像，并指出其单调区间.

（1）y=lg（—x）,⑵y=log2区+1|

（3）y=|叫（x—1）∣,（4）y=log2（1—x）.

2

已知函数f（t）=log2t,t

[2,8]

（1）求f（t）的值域G

（2）若对于G内的所有实数X,不等式—χ2+2mx-m+2n≤1恒成立，求实数m的取值范围.

例已知函数f（X）=Ig1一24-,其中a为常数，若当X∈（-∞,1］时，f（X）有意义,

a2—a+1

求实数a的取值范围.

分析：

参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常

困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元（X）的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”解：

Ll—Aa>0,且a2—a+仁（a—1）2+->0,

a—a+124

XX11∖

∙∙∙1+2+4∙a>0,a>-（7X）,

42

11

当X∈（-∞,1］时，y=-与y=-都是减函数,

例已知a>0且a≠1,f（logaX）=

a

a2-1

（X—-）

X

求f（X）；

判断f（X）的奇偶性与单调性；

对于f（X）,当X∈（—1,1）时，

（1）令t=logaX（t∈R）,则

tat-t

X=aIf（t）2（a-a）,.f（X）=2彳

a-1a-1

⑵f（—x）=二a（a»-aX）=-f（x）,且xR,.f（x）为奇函数当a1时,-/0,

a-1a-1

U（X）=ax-a»为增函数,当0：

：

：

a：

：

：

1时,类似可判断f（x）为增函数综上,无论a∙1或0.a：

：

1,f（x）在R上都是增函数.

（3）f（1-m）f（1-m）<0,f（x）是奇函数且在R上是增函数,f（1_m）：

：

f（m-1）又

X（-1,1）

T：

：

1「m：

：

1

二*Tvm2Tc1=⅛IVmW√2.

（1）

⑵⑶解：

有f（1

—m）+f（1

m2）<0,求m的集合M.

aX—X

2（ax-aj,（xR）.

4x2x

1—m

11+X

例已知函数f（χ）=丄-Iog2=^,求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

X1-X

例、已知函数

kx1

f（X）=Igl,（kR且k.0）.

X—1

（I）求函数

f（x）的定义域；（∏）若函数f（x）在［10,+∞）上单调递增，求k的取值范

围.

3x2

1.函数f（x）=

Ig（3x1）的定义域是

（

）

1

A（——，…）

3

1

B∙（13⑴C

（-Al

1

D.（-二厂#

2..已知函数f（X）=Ig（2x-b）（b为常数），若x∈[1,+∞]时，f（X）≥0恒成立，

则

（）

Ab≤1B.bv1Cb≥1D.b=1

3、函数y=X2亠2x-3的单调递减区间为（）

A.（-∞,-3）B.（-∞,-1）C:

1,+∞]D.[—3,-1]

4、设f（X）是定义在A上的减函数，且f（X）>0,则下列函数：

y=3—2f（X）,y=1+2,y=f2

f（x）

（x）,y=1-f（x）,其中增函数的个数为（）

A1B.2C3D.4

5、.若集合M={y∣y=2—x},P={y∣y=..x-1},M∩P=（）

A.{y∣y>1}B∙{y∣y≥1}C.{y∣y>0}D.{y∣y≥0}

f1F5

6、设％=40.9』2=80.48』3=I,则（）

12丿

Ay3%y?

B、y2y1y3C、H3HD、y1y2y3

7、在b=log（a/）（5-a）中，实数a的取值范围是（）

Aa5或a：

：

2B、2：

：

a：

：

3或3：

：

a：

：

5C、2：

：

：

a■.5D、3：

：

a：

：

4

8、已知函数

n-3

n兰10I（I

f（n）=丿

J[f（n+5）]

其中nEN

则f（8）的值为（

）

n<10

（A）2

（B）4

（C）6

（D）7

A.loganχ=IlogaX

n

Xlogax=X

D.logaχn+logayn=n（Iogaχ+logay）

Iogax=nIoganX

B.

11l°g^9的值是（）

log23

23

A.B.1C.-D.2

32

2

12函数f（X）=lnX--零点所在的大致区间是

X

A（1，2）B（2，3）C（e，+∞）D11,-禾口3,4

Ie丿

13.若关于X的不等式X2-4x_m对任意[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是

A.m--3或m丄OB.-3二m^0

C.m_-3D.m_-3

14.函数y=Iog1（2x2-3x1）的递减区间为

2

——31——1

A.（1,+--）B.（—--,—]C.（,+■-）D.（—--,—]

422

15.如果f（X）是定义在R上的偶函数，它在[0「：

）上是减函数，那么下述式子中正确的是

33

A.f

（一）乞f（a2-a1）B.f

（一）-f（a2-a1）

44

32

C.f（Hf（a2-a•1）D.以上关系均不确定

4

16.函数f（x）、f（X2）均为偶函数，且当X∈[0,2]时，f（x）是减函数，设

1

a=f（log82），=f（7∙5）,c=f（-5）,则a、b、C的大小是

A.a.beB.a.c.bC.b.a.cD.cab

17、如果方程lg2X（lg5lg7）lgX∙Ig5∣jg7=0的两根是：

■/:

则ILP的值是（）

A、Ig^Jg7Blg35C35D

1

18、已知∣og7[∣og3（∣og2X）]=0,那么X2等于（

1

、35

）

_1_

2、3

_1_

3.3

19.三个数60.7,O.76,log0.76的大小顺序是

（A）0.76clog0.76<6°.7（B）0.76<60.7clog0.76

（C）Iog0.76£60"cθ.76（D）log°.76cθ.76£60"

1

20、函数yX的值域是（）

2-1

A-：

：

1B、[一匚-,OU。

，：

：

C、-1,：

：

D、（■,-1）U0,:

很明显，按照作业成本法下模型所核算出的菜品成本与传统成本法核算出的菜品成本不同。

根据模型所核算出的菜品成本包括了根据资源动因、作业动因分配而来的职工薪酬、广告宣传费、维护折旧费、能源通讯费、清洁保管费等间接费用，而传统成本法核算出的菜品成本仅包括了模型中所提到的直接成本费用。