数学选修23排列组合.docx
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数学选修23排列组合
2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷
一．选择题（共21小题）
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）
A．42B．96C．48D．124
2．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（ ）
A．1860B．1320C．1140D．1020
3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（ ）
A．360B．520C．600D．720
4．一个五位自然
，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i=1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ）
A．110B．137C．145D．146
5．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（ ）
A．240种B．192种C．120种D．96种
6．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有（ ）
A．600B．464C．300D．210
7．当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是（ ）
A．50B．1440C．720D．2160
8．为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．432B．456C．534D．720
9．某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：
先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（ ）
A．512B．511C．1024D．1023
10．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）
A．
种B．
种
C．
种D．
种
11．如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（ ）
A
B
C
D
A．192种B．128种C．96种D．12种
12．4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．对于任意正整数n，定义“n!
!
”如下：
当n是偶数时，n!
!
=n•（n﹣2）•（n﹣4）…•6•4•2，
当n是奇数时，n!
!
=n•（n﹣2）•（n﹣4）…•5•3•1
现在有如下四个命题：
①（2003！
！
）•（2002！
！
）=2003×2002×…×3×2×1；
②2002!
!
=21001×1001×1000×…×3×2×；
③2002!
!
的个位数是0；
④2003!
!
的个位数是5．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（ ）种．
A．
A
B．C
C
C
34
C．
43D．C
C
C
43
15．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ）
A．36B．24C．18D．12
16．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A．18B．36C．72D．108
17．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种B．960种C．1008种D．1108种
18．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法种数为（ ）
A．18B．30C．36D．48
19．高三
（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A．1800B．3600C．4320D．5040
20．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）
A．60个B．48个C．36个D．24个
21．组合数Cnr（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）
A．
B．（n+1）（r+1）
C．nr
D．
二．解答题（共1小题）
22．规定
，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C﹣153的值；
（2）组合数的两个性质：
①Cnm=Cnn﹣m；②Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（x∈R，m∈N*）的情形？
若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
（3）已知组合数Cnm是正整数，证明：
当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．
2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．（2003•北京）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）
A．42B．96C．48D．124
【分析】方法一：
分2种情况：
（1）增加的两个新节目相连，
（2）增加的两个新节目不相连；
方法二：
7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中后，原节目的顺序不变，故不同插法：
．
【解答】解：
方法一：
分2种情况：
（1）增加的两个新节目相连，
（2）增加的两个新节目不相连；
故不同插法的种数为A61A22+A62=42．
方法二：
7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
，
故选A．
【点评】本题考查排列及排列数公式的应用．
2．（2016•绵阳校级模拟）某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（ ）
A．1860B．1320C．1140D．1020
【分析】分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，分2种情况讨论，
若只有甲乙其中一人参加，有C21•C63•A44=960种情况；
若甲乙两人都参加，有C22•C62•A44=360种情况，
其中甲乙相邻的有C22•C62•A33•A22=180种情况；
则不同的发言顺序种数960+360﹣180=1140种．
故选C．
【点评】本题考查排列、组合知识，考查计数原理，利用加法原理，正确分类是关键．
3．（2016•衡水模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（ ）
A．360B．520C．600D．720
【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，分2种情况讨论，
若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；
若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，
其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；
则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，
故选C．
【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．
4．（2016•吉林校级二模）一个五位自然
，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i=1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ）
A．110B．137C．145D．146
【分析】本题是一个分类计数问题，数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加．
【解答】解：
由题意知本题是一个分类计数问题，
数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，
当a3=0时，前面两位数字可以从其余5个数中选，有
=10种结果，后面两位需要从其余5个数中选，有C52=10种结果，共有10×10=100种结果，
当a3=1时，前面两位数字可以从其余4个数中选，有6种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有6种结果，共有36种结果，
当a3=2时，前面两位数字可以从其余3个数中选，有3种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有3种结果，共有9种结果，
当a3=3时，前面两位数字可以从其余2个数中选，有1种结果，后面两位需要从其余2个数中选，有1种结果，共有1种结果，
根据分类计数原理知共有100+36+9+1=146．
故选D．
【点评】本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列．
5．（2016•丰城市校级二模）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（ ）
A．240种B．192种C．120种D．96种
【分析】利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数．
【解答】解：
不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法，
考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192，
故选：
B．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素特殊位置优先的原则．
6．（2016•南充三模）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有（ ）
A．600B．464C．300D．210
【分析】根据题意，按照个位数字的可能情况，分个位数字分别为0，1，2，3，4时进行讨论，分别求出每种情况下六位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，分5种情况讨论：
①个位数为0，十位数必然比个位数字大，将剩下的5个数字全排列即可，则有A55个符合条件的六位数；
②个位数为1，十位数可为2、3、4、5，有A41种情况，
首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，
将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，
故有A41•A31•A33个符合条件的六位数；
③个位数为2，十位数为3、4、5，有A31种情况，
首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，
将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，
故有A31•A31•A33个符合条件的六位数；
④个位数为3，十位数为4、5，有A21种情况，
首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，
将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，
故有A21•A31•A33个符合条件的六位数；
⑤个位数为4，十位数为5，有1种情况，
首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，
将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，
故有A31•A33个符合条件的六位数．
所以共有A55+A31•A33（A41+A31+A21+1）=300个符合条件的六位数；
故选：
C．
【点评】本题考查排列、组合的运用，涉及分类讨论的运用，注意分类讨论时按照一定的顺序，做到不重不漏．
7．（2016•达州模拟）当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是（ ）
A．50B．1440C．720D．2160
【分析】确定B、C两路军车的量数类型，然后求解这6辆军车不同的分开行驶方案总数．
【解答】解：
由题意可知B、C两路军车的量数类型有2、4；3、3；4、2；三种类型．由于军车互不相同，排列是有顺序的，2、4；4、2；类型的结果都是：
A62A44．3、3类型的结果为：
A63A33．
则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是：
2A62A44+A63A33=2160．
故选：
D．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力．
8．（2016•山东二模）为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．432B．456C．534D．720
【分析】先分别求出2，4，6插入到1，3，5的所形成的空中，再排除2，4，6都在1，3，5的所形成的空中，问题得以解决．
【解答】解：
第一类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把2号品种，插入到中间空中，再把4号插入到1，2，3，5，所形成的4个空的中的一个，然后把6号再插入到其中，故有A32A22A41A51=240种，
第二类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把4或6号，插入到中间空中，再把剩下的一个插入到所形成的4个空的中的一个，然后把2号插入前面所成的3个空（不包含两端）的1个，故有A32A22A21A41A31=288种，
从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个排列，把2，4，6号捆绑在一起并插入到其中，有A32A22A33=72种，
故编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为240+288﹣72=456种，
故选：
B．
【点评】本题考查了排列中的相邻问题和不相邻问题，关键是优先安排特殊元素，属于中档题．
9．（2016•上海模拟）某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：
先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（ ）
A．512B．511C．1024D．1023
【分析】由于每道题的都有两种情况，答或者不答，故根据分步计数原理可得．
【解答】解：
每道题的都有两种情况，答或者不答，从10﹣9，有两种选择，从9﹣8也有两种选择，以此类推8﹣7，7﹣6，6﹣5，5﹣4，4﹣3，3﹣2，2﹣1，而从1题到第10道题只有一种选择，故有1×29=512种，
故选：
A．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是理解题意，属于中档题．
10．（2016•威海一模）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）
A．
种B．
种
C．
种D．
种
【分析】确定参观甲博物馆的年级有
种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据乘法原理可得结论．
【解答】解：
因为有且只有两个年级选择甲博物馆，
所以参观甲博物馆的年级有
种情况，
其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，
根据乘法原理可得
×54种情况，
故选：
D．
【点评】本题考查排列组合知识的运用，考查乘法原理，比较基础．
11．（2016•洛阳二模）如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（ ）
A
B
C
D
A．192种B．128种C．96种D．12种
【分析】根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，
对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，
则不同的填法共有16×6=96种，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点．
12．（2016春•平凉校级期末）4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】正确把4个不同的小球分成三份，再把这不同的三份全排列，利用乘法原理即可得出．
【解答】解：
把4个不同的小球分成三份有
=
这些不同的分法，再把这不同的三份全排列有
种方法．
根据乘法原理可得：
4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为
．
故选A．
【点评】正确理解排列、组合及乘法原理的意义是解题的关键．
13．（2014春•吉州区校级期中）对于任意正整数n，定义“n!
!
”如下：
当n是偶数时，n!
!
=n•（n﹣2）•（n﹣4）…•6•4•2，
当n是奇数时，n!
!
=n•（n﹣2）•（n﹣4）…•5•3•1
现在有如下四个命题：
①（2003！
！
）•（2002！
！
）=2003×2002×…×3×2×1；
②2002!
!
=21001×1001×1000×…×3×2×；
③2002!
!
的个位数是0；
④2003!
!
的个位数是5．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用双阶乘的定义判断各个命题是解决该题的关键．关键要理解好双阶乘的定义，把握好双阶乘是哪些数的连乘积．
【解答】解：
①中（2003!
!
）（2002!
!
）=2003×2002×…×4×2×2009×2007×…×3×1，正确；
②2002!
!
=2002×2000×…×4×2=（2×1001）×（2×1000）×…×（2×2）×（2×1）=21001×1001×1000×…×2×1，故②正确，
③2002!
!
=2002×2000×…×4×2有因式10，故2002!
!
个位数为0，③正确；
④2003!
!
=2003×2001×…×3×1，其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故为5，④正确．正确的有4个．
故选D．
【点评】本题考查新定义型问题的求解思路与方法，考查新定义型问题的理解与转化方法，体现了数学中的转化与化归的思想方法．注意与学过知识间的联系．
14．（2016•赤峰模拟）数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（ ）种．
A．
A
B．C
C
C
34
C．
43D．C
C
C
43
【分析】先分组，再分配，最后选组长，根据分步计数原理可得．
【解答】解：
将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题有C123C93C63C33，最后选一名组长各有3种，
故不同的分配方案为：
C123C93C6334，
故选：
B．
【点评】本题考查排列、组合的应用，分组分配问题，进行分组分析时要特别注意是否为平均分组，属于中档题．
15．（2016•湖南模拟）高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ）
A．36B．24C．18D．12
【分析】由题意，先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，问题得以解决
【解答】解：
先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，
故甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为
=36种．
故选：
A
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，特殊位置优先安排的原则，属于基础题
16．（2016•银川校级一模）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种
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A．18B．36C．72D．108
【分析】分析图形中的3，5，7，有3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，共6种可能，即可得出结论
【解答】解：
首先看图形中的3，5，7，有3种可能，
当3，5，7，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，
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