排列组合分类精选试题.doc

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排列组合分类精选试题1

常考点一：

与几何图形结合

1．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4．以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个（　　）

A．116 B．128 C．215 D．98

2.在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成　　个三角形（用数字作答）．

2．在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点，将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（　　）

A．30个 B．35个 C．20个 D．15个

3．已知集合A={5}，B={1，2}，C={1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（　　）

A．6 B．32 C．33 D．34

4．用1，3，5，7，9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，若A、B、C的值互不相同，则不同的直线共有（　　）

A．25条 B．60条 C．80条 D．181条

5．已知直线（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（　　）

A．60条 B．66条 C．72条 D．78条

5．从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为（　　）

A．43 B．72 C．86 D．90

6．方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）

A．60条 B．62条 C．71条 D．80条

7．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（　　）

A．24对 B．30对 C．48对 D．60对

8．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（　　）

A．70个 B．64个 C．58个 D．52个

21．由正方体的八个顶点中的任意两个所确定的所有直线中取出两条，这两条直线是异面直线的概率是　　．

20．以长方体ABCD﹣A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率是　　（用数字作答）．

总结

常考点二：

多排问题

10．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（　　）

A．6种 B．12种 C．24种 D．48种

12．将1、2、3、…9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当6在图中的位置时，则填写空格的方法有（　　）

A．8种 B．18种 C．12种 D．24种

11．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（　　）

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

23．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排正中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是　　．

22．大小形状完全相同的8张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中任意抽取6张卡片排成3行2列，则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为　　．

17．25人排成5×5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？

9．16人排成4×4方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有（　　）

A．600种 B．192种 C．216种 D．96种

14．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（　　）

A．144种 B．180种 C．288种 D．360种

16．某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为　　（用数字作答）．

18．在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有　　种停放方法．（用数字作答）

总结

常考点三：

正难则反

三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？

用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。

从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？

15．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（　　）

A． B． C． D．

24．随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为　　（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）

（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （）

A．300种 B．240种 C．144种 D．96种

总结

常考点四：

整除问题

25．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有　　个．

26．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的四位数有　　个．

总结

（一）能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

　　能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；

　　能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

　　能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

（二）能被3、9整除的数的数字特性

　　能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

　　（三）能被7整除的数的数字特性

　　能被7整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

　　能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。

　　（四）能被11整除的数的数字特性

　　能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

　　能被11整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11整除。

　　（五）能被13整除的数的数字特性

　　能被13整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13整除。

排列组合分类精选试题1

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2014春•雨城区校级期中）如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4．以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个（　　）

A．116 B．128 C．215 D．98

【解答】解：

由题意需要分三类，第一类，3个点全在半圆周上有=20个，

第二类，二个点在半圆周上，有=60个，

第三类，一个点在半圆周上，有=36个，

根据分类计数原理可得，20+60+36=116个．

故选：

A．

2．（2015春•齐齐哈尔校级月考）在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点，将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（　　）

A．30个 B．35个 C．20个 D．15个

【解答】解：

根据题意，x轴的正半轴上有4个点，y轴的正半轴上有5个点，

可以利用这8个点，构造凸四边形，每一个凸四边形的对角线的交点必在凸四边形的内部，即必在第一象限；

最多有C52C32=30个交点落在第一象限；

故选：

A．

3．（2010•杭州模拟）用1，3，5，7，9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，若A、B、C的值互不相同，则不同的直线共有（　　）

A．25条 B．60条 C．80条 D．181条

【解答】解：

用1，3，5，7，9五个数字中的三个来替换A、B、C；A、B、C的值互不相同，

是分步乘法计数原理，直线条数是5×4×3=60

故选B

4．（2007•湖北）已知直线（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（　　）

A．60条 B．66条 C．72条 D．78条

【解答】解：

可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，

故选A

5．（2005•天津）从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为（　　）

A．43 B．72 C．86 D．90

【解答】解：

椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m≠n，所以有两类，

一类是m，n从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A82=56

令一类是m从9，10，两个数字中选一个，n从{1，2，3，…6，7，8}中选一个

方法是：

2×8=16

所以满足题意的椭圆个数是：

56+16=72

故选B．

6．（2012•四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）

A．60条 B．62条 C．71条 D．80条

【解答】解：

方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：

（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；

（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；

以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；

（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；

（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；

共有16条．

综上，共有23+23+16=62种

故选B．

7．（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（　　）

A．24对 B．30对 C．48对 D．60对

【解答】解：

正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，

同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，

不满足题意的共有：

3×6=18．

从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：

66﹣18=48．

故选：

C．

8．（1990•全国）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（　　）

A．70个 B．64个 C．58个 D．52个

【解答】解：

正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个

不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个

所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：

70﹣12=58个

故选C．

9．（2015春•松原校级期末）16人排成4×4方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有（　　）

A．600种 B．192种 C．216种 D．96种

【解答】解：

由题意知本题是一个计数原理的应用，

从4列中选择三列C43=4；

从某一列中任选一个人甲有4种结果；

从另一列中选一个与甲不同行的人乙有3种结果；

从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有2种结果

根据分步计数原理知共有4×4×3×2=96，

故选：

D．

10．（2008•全国卷Ⅰ）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（　　）

A．6种 B．12种 C．24种 D．48种

【解答】解：

填好第一行和第一列，

其他的行和列就确定，

∴A33A22=12，

故选B

11．（2012•济南三模）将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（　　）

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

【解答】解：

∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，

1、2、9只有一种填法，5只能填右上角或左下角，

5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个；

余下两个数字按从小到大只有一种方法．

共有2×3=6种结果，

故选A．

12．（2015春•河池期末）将1、2、3、…9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当6在图中的位置时，则填写空格的方法有（　　）

A．8种 B．18种 C．12种 D．24种

【解答】解：

如图所示，中间数为4，其他数从左到右依次增大，从上到下依次增大，故左上角必须填数字1，右下角必须填数字9．

设未填的方格中应填的数字依次是a、b、c、d、e、f，

其中d，f只能是7和8，有A22种填法，

当a，c排定后b，e随之排定，故只要排好a，c即可，

在2，3，4，5中按a小c大来选排，有C24种排法，

因此，一共有A22•C24=12种不同的填法，

故选：

C．

13．（2017•自贡模拟）已知集合A={5}，B={1，2}，C={1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（　　）

A．6 B．32 C．33 D．34

【解答】解：

不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36，

但集合B、C中有相同元素1，

由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，

故所求的个数为36﹣3=33个，

故选C．

14．（2017•洛阳模拟）甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（　　）

A．144种 B．180种 C．288种 D．360种

【解答】解：

根据题意，分3步进行讨论：

1、先安排甲，在6个位置中任选一个即可，有C61=6种选法；

2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，有C21=2种选法；

3、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，有A44=24种安排方法；

则这6名同学的站队方法有6×2×24=288种；

故选：

C．

15．（2011•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55=120种结果，

下分类研究同类书不相邻的排法种数

假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4×2×2×2×1=32种可能；

假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有4×1×2×1×1=8种可能；

假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1=8种可能．

∴同一科目的书都不相邻的概率P=，

故选B．

二．选择题（共1小题）

16．（2010•鹤城区校级二模）某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为　1200　（用数字作答）．

【解答】解：

由题意知本题是一个计数原理的应用，

从5列中选择三列C53=10；

从某一列中任选一个人甲有6种结果；

从另一列中选一个与甲不同行的人乙有5种结果；

从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有4种结果

根据分步计数原理知共有10×6×5×4=1200．

故答案为：

1200．

三．选择题（共1小题）

17．（2016春•泰兴市校级月考）25人排成5×5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？

【解答】解：

由题意知本题是一个计数原理的应用，

从5列中选择三列C53=10；

从某一列中任选一个人甲有5种结果；

从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果；

从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有3种结果

根据分步计数原理知共有10×5×4×3=600．

四．选择题（共3小题）

18．（2016春•邗江区校级期中）在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有　14400　种停放方法．（用数字作答）

【解答】解：

第一步先选车有种，第二步因为每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，从中选取一辆车后，把这辆车所在的行列全划掉，依次进行，则有=种，根据分步计数原理得；=14400种．

故答案为：

14400．

19．（2014秋•朝阳区期末）在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成　120　个三角形（用数字作答）．

【解答】解：

第一类：

三角形顶点不包括O点，在OA上取两点，在OB上取一点，或者在OA上取一点，在OB上取两点，此时构成三角形的个数为+=96，

第二类：

三角形顶点，包括O点，在OA上取一点，在OB上取一点，此时构成三角形的个数为=24，

根据分类计数原理，以这11个点为顶点共可以组成96+24=120个三角形

故答案为：

120．

20．（2007春•洪泽县月考）以长方体ABCD﹣A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率是　　（用数字作答）．

【解答】解：

用长方体的八个顶点做三角形可做C83=56个，

从56个三角形中任取两个三角形共有C562=1540种不同的取法，

要使两个三角形共面，则两个三角形要在同一个长方体的表面或对角面上有12×C42=72，

∴P==．

故答案为：

五．选择题（共3小题）

21．（2014•江北区校级模拟）由正方体的八个顶点中的任意两个所确定的所有直线中取出两条，这两条直线是异面直线的概率是　　．

【解答】解：

因为从正方体的八个顶点中任取两个点共有C82=28条直线，

从中任意取出两条有C282种取法，

从八个顶点任取四个不共面的点共有C84﹣12组；

而其中每一组不共面的四点可出现3对异面直线．

∴所求的概率为P==．

故答案为：

．

22．（2015春•重庆校级月考）大小形状完全相同的8张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中任意抽取6张卡片排成3行2列，则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为　　．

【解答】解：

根据题意，从8张卡片中任取6张，有A86种不同的取法，

再求出“3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5”的情况数目，

依据要求，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C21A22=4种排法，

然后确定其余4个数字，其排法总数为A64=360，

其中不合题意的有：

中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，

余下两个数字有A42=12种排法，

所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；

由乘法原理可知满足“3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5”共有4×312=1248种不同的排法，

则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为=．

故答案为：

．

23．（2015春•泉州校级期末）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排正中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是　346　．

【解答】解：

由题意知本题是一个分类计数问题，

都在前排左面4个座位6种

都在前排右面4个座位6种

分列在中间3个的左右4×4×2=32种

在前排一共6+6+32=44种

甲乙都在后排共有=110种

甲乙分列在前后两排

A22×12×8=192种

一共有44+110+192=346种，

故答案为：

346

六．选择题（共1小题）

24．（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为　0.985　（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）

【解答】解：

由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的事件数129，

至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，

∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，

故答案为：

0.985

七．填空题（共2小题）

25．（2005•黑龙江）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有　192　个．

【解答】解：

六个数字组成没有重复数字的四位数共A64

由于0不能排第一位，要去掉A53

不5整除可以看做总数减去能被5整除的数当个位是0或5时，这四位数就能被5整除．当个位是0时有A53

当个位是5时有A53﹣A42

∴共有A64﹣3×A53+A42=192，

故答案为：

192．

26．（2010•南开区一模）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的四位数有　96　个．

【解答】解：

各位数字之和是3的倍数能被3整除，符合题意的有：

一类：

含0、3则需1、4和2、5各取1个，可组成C21C21C31A33；

二类：

含0或3中一个均不适合题意；

三类：

不含0，3，由1、2、4、5可组成A44个，

共有C21C21C31A33+A44=96个．

故答案为：

96．

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