届高三文科数学一轮复习学案 11集合及其运算.docx

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届高三文科数学一轮复习学案11集合及其运算

§1.1　集合及其运算

最新考纲

考情考向分析

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.

2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

7.能使用韦恩（Venn）图表达集合的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩（Venn）图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB（或BA）

集合相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

知识拓展

1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩（∁UA）＝∅；A∪（∁UA）＝U；∁U（∁UA）＝A.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

题组二　教材改编

2．[P11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________.

答案　{x|x是直角}

3．[P44A组T5]已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

答案　2

解析　集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点

，

，则A∩B中有两个元素．

题组三　易错自纠

4．已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（　　）

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3或0

答案　B

解析　A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝

，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.

5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

答案　（3，＋∞）

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，

∵A⊆B，B＝{x|x3.

6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　0或

解析　若a＝0，则A＝

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝

.

综上，a的值为0或

.

题型一　集合的含义

1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

答案　1

解析　∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.

经检验，a＝1符合题意．

2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　B

解析　B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．

思维升华

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

题型二　集合的基本关系

典例

（1）设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是（　　）

A．5B．4C．3D．2

答案　B

解析　∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

（2）已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x

答案　[2018，＋∞）

解析　由x2－2019x＋2018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2018.

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

思维升华

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

跟踪训练

（1）已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　）

A.

或－

B．－

或

C.

或－

或0D．－

或

或0

答案　D

解析　由题意知，A＝{2，－3}．

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝

，

由B⊆A，可得

＝－3或

＝2，

∴a＝－

或a＝

.

综上可知，a的值为－

或

或0.

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

答案　（－∞，4]

解析　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；

当B≠∅时，若B⊆A，如图，

则

解得2

综上，m的取值范围是（－∞，4]．

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

典例

（1）（2017·全国Ⅰ）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x<0}B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅

答案　A

解析　∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．

又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，

A∪B＝{x|x<1}．

（2）（2018届珠海二中月考）已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

A．A∩B＝∅B．A⊆B

C．B⊆AD．A∪B＝R

答案　D

解析　∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.

命题点2　利用集合的运算求参数

典例

（1）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

答案　D

解析　因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

（2）集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）

A．0B．1C．2D．4

答案　D

解析　由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.

（3）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．

答案　（－∞，－1]∪{1}

解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}．

思维升华

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

跟踪训练

（1）（2017·天津）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C等于（　　）

A．{2}B．{1,2,4}

C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}

答案　B

解析　A∪B＝{1,2,4,6}．

又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝{1,2,4}．

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

A．[－1,2）B．[－1,3]

C．[2，＋∞）D．[－1，＋∞）

答案　D

解析　由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，

即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．

又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）．

题型四　集合的新定义问题

典例若集合E＝{（p，q，r，s）|0≤p

A．200B．150

C．100D．50

答案　A

解析　在集合E中，当s＝1时，p＝q＝r＝0，此时只有1个元素；当s＝2时，p，q，r∈{0,1}，此时有2×2×2＝8（个）元素；当s＝3时，p，q，r∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27（个）元素；当s＝4时，p，q，r∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64（个）元素，故card（E）＝1＋8＋27＋64＝100.

在集合F中，（t，u）的取值可能是（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共10种可能．同理，（v，w）也有10种可能，故card（F）＝10×10＝100，∴card（E）＋card（F）＝200.

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

跟踪训练定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于（　　）

A．{x|3

C．{x|3

答案　B

解析　A＝{x|1

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．ABD．BA

答案　D

2．（2017·浙江）已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于（　　）

A．（－1,2）B．（0,1）

C．（－1,0）D．（1,2）

答案　A

解析　∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，

∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．

3．（2016·四川）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

答案　C

解析　由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C.

4．（2017·吉林大学附中模拟）若集合A＝{x∈N|5＋4x－x2>0}，B＝{x|x<3}，则A∩B等于（　　）

A．∅B．{1,2}

C．[0,3）D．{0,1,2}

答案　D

解析　由A中不等式变形，得（x－5）（x＋1）<0，x∈N，解得－1

5．（2018·潍坊调研）已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{0,1}B．{1}

C．{1,2}D．{0,1,2}

答案　B

解析　因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．

6．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为（　　）

A．8B．4

C．3D．2

答案　B

解析　由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．

7．（2017·全国Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于（　　）

A．{1，－3}B．{1,0}

C．{1,3}D．{1,5}

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

8．已知集合A＝{x|－1

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

答案　B

解析　用数轴表示集合A，B（如图），

由A⊆B，得a≥0.

9．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q＝________.

答案　（1,2）

解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，

∴（∁RP）∩Q＝{x|1＜x＜2}．

10．若{3,4，m2－3m－1}∩{2m，－3}＝{－3}，则m＝______.

答案　1

解析　由集合中元素的互异性，

可得

　所以m＝1.

11．（2018·衡水模拟）若集合A＝{y|y＝lgx}，B＝{x|y＝

}，则集合A∩B＝________.

答案　[0，＋∞）

解析　集合A＝{y|y＝lgx}＝{y|y∈R}＝R，

B＝{x|y＝

}＝{x|x≥0}，

则集合A∩B＝{x|x≥0}＝[0，＋∞）．

12．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案　[1，＋∞）

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13．（2017·安徽黄山二模）已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，∁RB＝

，则A∩B等于（　　）

A．{－1,0,1}B．{－1,0}

C．{－2，－1,0}D．{0,1,2}

答案　C

解析　∵集合A＝{－2，－1,0,1,2}，

∁RB＝

＝{x|x<－2或x≥1}，

∴B＝{x|－2≤x<1}，则A∩B＝{－2，－1,0}．

14．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

可得m＝－1，n＝1.

15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案　6

解析　依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

16．已知集合A＝

，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1

答案　8

解析　由

≥1，得

≤0，

∴－1

又∵B＝{x|x2－2x－m<0}，

A∩B＝{x|－1

∴4是方程x2－2x－m＝0的根，

即42－2×4－m＝0，解得m＝8.

此时B＝{x|－2

故实数m的值为8.