一元一次方程知识点及经典例题.docx
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一元一次方程知识点及经典例题
一元一次方程知识点及经典例题（总15页）
一、知识要点梳理
知识点一：
方程和方程的解
1.方程：
含有_____________的______叫方程
注意：
a.必须是等式b.必须含有未知数。
易错点：
（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；
（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。
考法：
判断是不是方程：
例：
下列式子：
（1）.8-7=1+0
（2）.
1、一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：
ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）。
要点诠释：
一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1次；
（3）整式方程．
2、方程的解：
判断一个数是否是某方程的解：
将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：
一元一次方程的解法
1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）
等式的性质1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果
，那么
；（c为一个数或一个式子）。
等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果
，那么
；如果
，那么
要点诠释：
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：
（其中m≠0）
特别须注意：
分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：
－
=1.6，将其化为：
－
=1.6。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：
解一元一次方程的一般步骤
变形步骤
具体方法
变形根据
注意事项
去分母
方程两边都乘以各个分母的最小公倍数
等式性质2
1．不能漏乘不含分母的项；
2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
乘法分配律、去括号法则
1．分配律应满足分配到每一项
2．注意符号，特别是去掉括号
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边
等式性质1
1．移项要变号；
2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边
合并同
类项
把方程中的同类项分别合并，化成“
”的形式（
）
合并同类项法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变
未知数的系数化成“1”
方程两边同除以未知数的系数
，得
等式性质2
分子、分母不能颠倒
要点诠释：
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
①a≠0时，方程有唯一解
；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b≠0时，方程无解。
牛刀小试
例1、解方程
（1）y-
例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值
已知方程
的解与方程
的解相同，求m的值.
例3、解方程知识与绝对值知识综合题型
解方程：
二、经典例题透析
类型一：
一元一次方程的相关概念
1、已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④
x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦
＝8；⑧x＝0。
其中方程的个数是（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
举一反三：
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：
（1）-2x2+3=x
（2）3x-1=2y（3）x+
=2（4）2x2-1=1-2（2x-x2）
[变式2]已知：
（a-3）（2a+5）x+（a-3）y+6＝0是一元一次方程，求a的值。
[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是（）
A．－5 B．5 C．7 D．2
类型二：
一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1．巧凑整数解方程：
2、
举一反三：
[变式]解方程：
＝2x－5
2．．巧去括号解方程：
4、
举一反三：
[变式]解方程：
4．运用拆项法解方程：
5、
5．巧去分母解方程：
6、
举一反三：
[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程
的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解：
原方程可变形为
（__________________________）
去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（__________________________）
去括号，得9x+15=4x-2.（____________________________）
（____________________）,得9x-4x=-15-2.（____________________________）
合并，得5x=-17.（合并同类项）
（____________________）,得x=
.（_________________________）
6．巧组合解方程：
7、
思路点拨：
按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。
7．巧解含有绝对值的方程：
8、|x－2|－3＝0
思路点拨：
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。
举一反三：
【变式1】（2011福建泉州）已知方程
，那么方程的解是________.
；
[变式2]5|x|-16＝3|x|-4
[变式3]
8．利用整体思想解方程：
9、
思路点拨：
因为含有
的项均在“
”中，所以我们可以将
作为一个整体，先求出整体的值，进而再求
的值。
参考答案
例1：
解：
是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B
总结升华：
根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：
一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
举一反三
1.解析：
判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。
答案：
（1）
（2）（3）不是，（4）是
2.解析：
分两种情况：
（1）只含字母y，则有（a-3）（2a+5）＝0且a-3≠0
（2）只含字母x，则有a-3＝0且（a-3）（2a+5）≠0不可能
综上，a的值为
。
3.答案：
B
例2. 解：
移项，得
。
合并同类项，得2x＝－1。
系数化为1，得x＝－
。
举一反三
解：
原方程可变形为
＝2x－5
整理，得8x＋18－（2＋15x）＝2x－5，
去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－5
移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2
合并同类项，得－9x＝－21
系数化为1，得x＝
。
例4解：
去括号，得
去小括号，得
去分母，得（3x－5）－8＝8
去括号、移项、合并同类项，得3x＝21
两边同除以3，得x＝7
∴原方程的解为x＝7
举一反三
解：
依次移项、去分母、去大括号，得
依次移项、去分母、去中括号，得
依次移项、去分母、去小括号，得
，∴x＝48
例5 解：
原方程逆用分数加减法法则，得
移项、合并同类项，得
。
系数化为1，得
。
例6解：
原方程化为
去分母，得100x－（13－20x）＝7
去括号、移项、合并同类项，得120x＝20
两边同除以120，得x＝
∴原方程的解为
总结升华：
应用分数性质时要和等式性质相区别。
可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。
举一反三
【答案】解：
原方程可变形为
（_分式的基本性质_）
去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（_等式性质2_）
去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_）
（______移项_______）,得9x-4x=-15-2.（等式性质1_）
合并，得5x=-17.（合并同类项）
（__
_____系数化为1____）,得x=
.（等式性质2）
例7解：
移项通分，得
化简，得
去分母，得8x－144＝9x－99。
移项、合并，得x＝－45。
例8解法一：
移项，得|x－2|＝3
当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5
当x－2＜0时，原方程可化为－（x－2）＝3，解得x＝－1。
所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：
x＝5或x＝－1。
解法二：
移项，得|x－2|＝3。
因为绝对值等于3的数有两个：
3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。
分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。
举一反三
1.【答案】
2.解：
5|x|-3|x|＝16-4
2|x|＝12
|x|＝6
x＝±6
3.解：
|3x-1|＝8
3x-1＝±8
3x＝1±8
3x＝9或3x＝-7
x＝3或
例9解：
移项通分，得：
化简，得：
移项，系数化1得：
总结升华：
解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要能随机应变（灵活打乱步骤）解方程。
对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。
三、课堂练习
一、选择题
1、已知下列方程：
（1）x-2=
;
（2）0.3x=1;（3）
=5x-1;（4）x
-4x=3;（5）x=0;（6）x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（）
A2B3C4D5
2、下列四组变形中，正确的是（）
A由5x+7=0,得5x=-7B由2x-3=0,得2x-3+3=0
C由
=2,得x=
D由5x=7,得x=35
3、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2小时可把空池灌满；单独开乙水龙头3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（）
A
小时B
小时C2小时D3小时
4、下列方程中，是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（）
A7x=x+5B7x+5=xC6x=11D-8+3=-6x
5、下列方程的变形中，是移项的是（）
A由3=
x，得
x=3B由6x=3+5x，得6x=5x+3
；
．其中一元一次方程的个数是 （）．
A．2 B．3 C．4 D．5
13、已知关于
的方程
的解是
，则
的值是 （ ）．
A．-5 B．-6 C．-7 D．8
14、方程
移项后，正确的是（）．
A．
B．
C．
D．
15、方程
，去分母得 （）．
A．
B．
C．
D．
16、甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2．5km，则乙的时速是 （）．
A．12．5km B．15km C．17．5km D．20km
17、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25％，另一件赔25％，那么这两件衣服售出后商店是 （）．
A．不赚不赔 B．赚8元 C．亏8元 D．赚15元
二、填空题：
1、圆的周长为4，半径为x,列出方程为。
2、已知方程（m-2）x
+5=9是关于x的一元一次方程，则m=.
3、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是。
4、3a
b
与2a
b
是同类项，则m=.
5、若
+（y+1）
=0,则x-y=.
6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商品仍获利10元，那么原来标价为。
7、当x=时，
的值是0.
三、一元一次方程应用题（找出等量关系）
一、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
1、数字问题
要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：
100a+10b+c。
例1、若三个连续的偶数和为18，求这三个数。
例2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：
原两位数+36=对调后新两位数
例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
分析：
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
2、日历中的规律：
横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。
例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________
例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被___________整除。
A3B4C5D6
例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？
3、等积变形问题
常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。
例1、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，应截圆钢多长？
例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为
内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm（
结果保留整数
）
4、和、差、倍、分问题：
倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
（1）劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化.
例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？
例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
（2）配套问题：
例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）
例2.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
分析：
列表法。
每人每天
人数
数量
大齿轮
16个
x人
16x
小齿轮
10个
人
等量关系：
小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍
解：
设分别安排x名、
名工人加工大、小齿轮
答：
略.
（3）分配问题：
例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
例2.三个正整数的比为1：
2：
4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几（比例分配问题常用等量关系：
各部分之和＝总量。
）
（4）年龄问题：
例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？
例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。
5、工程问题
工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例1.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
分析设工程总量为单位1，等量关系为：
甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解：
设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（
+
）×3+
=1，
...................
例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？
6、①打折销售问题
（1）销售问题中常出现的量有：
进价、售价、标价、利润等
（2）基本关系式：
①利润＝售价—进价；②售价=标价×折数；③利润率＝利润/进价。
由①②可得出④利润＝标价×折数－进价。
由③④可得出⑤利润率＝。
②市场经济问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。
问：
买这件衣服需要多少钱若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱利润是多少
例2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？
7、行程问题。
（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）
要掌握行程中的基本关系：
路程＝速度×时间。
①相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：
甲走的路程+乙走的路程=全路程
②追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：
同时不同地：
甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
（1）分析：
相遇问题，画图表示为：
等量关系是：
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解：
设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480
解这个方程，230x=390
∴x=1
答：
略.
（2）分析：
相背而行，画图表示为：
等量关系是：
两车所走的路程和+480公里=600公里。
解：
设x小时后两车相距600公里，
由题意得，（140+90）x+480=600解这个方程，230x=120
∴x=
答：
略.
（3）分析：
等量关系为：
快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600 50x=120
∴x=2.4
答：
略.
（4）分析：
追及问题，画图表示为：
等量关系为：
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：
设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480
解这个方程，50x=480 ∴x=9.6
答：
略.
（5）分析：
追及问题，等量关系为：
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，140x=90（x+1）+480
50x=570 解得，x=11.4
1答：
略.
③环形跑道上的相遇和追及问题：
同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。
航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
例：
一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
1、A、B两地相距150千米。
一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？
2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米／小时，则两城市间的距离为多少？
4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？
5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。
8、银行储蓄问题。
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
利润＝
×100%利息＝本金×利率×期数
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。
本
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